20_2第二型曲线积分PPT课件

第20章 曲线积分
第20章
第一节、第一型曲线积分 第二节、第二型曲线积分
第2节
第二型曲线积分
第20章
一、 第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系
一、 第二型曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L B F
F (x, y) (P(x, y), Q(x, y))
Li ( i 1, , k), 且 Li P(x, y)dx Q(x, y)d y 存在,则
k
P(x, y)dx Q(x, y)dy
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
i1 L i
2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)d y
P(x,
L
y)dx
2). 如果 L 是闭曲线 ,则记为
L P dx Q d y 或 L P dx Q d y R dz
3). 存在条件：若P(x, y), Q(x, y)在光滑曲线弧 L 上
连续，则第二型曲线积分存在.
数学分析
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3. 性质 1) 若 L 可分成 k 条首尾相接的有向光滑曲线弧
ab P[
Q(x, y)d
x, (x)]
y
Q
[
x,
(
x)]
(
x)d x
x (t)
2. 空间光滑曲线弧 : y (t) t : ,
z (t)
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z) d z
P
[
(t),
(t
)
,
(t)]
(t
)
Q[ (t), (t),(t)] (t)
A
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L o
x
移动到点 B, 求移动过程中变力所作的功W.
常力沿直线所作的功
F W F AB cos
解决办法: “分割” “近似代替”
A
B F AB
“求和”
“取极限”
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1) 分割-------“大化 小”.
把L分成 n 个小弧段, F 沿 M k 1M k
Q(x,
y)d y
3)
k
k
L Pi (x, y)dx Qi (x, y)d y
i 1
i 1
L Pi (x, y)d x Qi (x, y)d y
数学分析
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 设 P(x, y), Q(x, y) 在有向光滑弧 L 上有定义且
n
lim
0
i 1
P[
(
i
)
,
(
i
)]
(
i
)ti
P[ (t), (t)] (t)dt
同理可证
Q(x, y)dy Q[ (t), (t)] (t) d t
L
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推论：1. 如果 L 的方程为 y (x), x : a b,则
L
P(
x,
y)dx

连续,
L
的参数方程为
x y
(t) (t)
t :
, 则曲线积分
存在, 且有
L P(x, y)dx Q(x, y)dy P[ (t), (t)](t) Q[ (t), (t)] (t)d t
证明: 下面先证
L P(x,
y)dx
P[ (t),
(t )] (t )dt
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P(k , k )xk Q(k , k )yk
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3) 求和-------近似和.
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) 取极限
n
W
lim
T 0 k 1
P(ξk ,
ηk
)Δxk
Q(ξk ,
ηk
)Δyk
其中 T 1mkaxnsk .
10
n
根据定义
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P(
i
,
i
)xi
设分点 xi 对应参数 ti , 点(i , i ) 对应参数 i ,由于
xi xi xi1 (ti ) (ti1) ( i)ti
n
L
P(
x,
y)d
x
lim
0
i 1
P[
(
i
)
,
(
i
)]
(
i
)ti
因为L 为光滑弧 , 所以(t)连续
所做的功为 Wk , 则
y
n
W Wk
F (k , k )
L
M ykk
Mxk k1
B
k 1
A
2) 近似代替-------“常代变”
x
有向小弧段 M k1M k 用有向线段 M k 1M k (xk , yk )
近似代替, 在 M k1M k 上任取一点 (k , k ), 则有
Wk F (k , k ) M k 1M k
Q(x, y) 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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n
L
P(x,
y)dx
lim
T 0
k 1
P(
k
, k )xk ,
称为对
x
的曲线积分;
n
Q(x, y)dy
L
lim
T 0
Q(k
k 1
,k ) yk
,
称为对 y 的曲线积分.
若记 d s (d x , dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P(x, y)dx Q(x, y)dy
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注：
1). 如果L是空间可求长曲线段, P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) 是定义在 L 上的函数，可定义空间曲线上的 第二型曲线积分，
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
R[ (t), (t),(t)](t) d t
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例1. 计算
xyd x ,
L
其中L
为沿抛物线
y2
x
从点
A(1, 1)到B(1, 1) 的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB AO : y x, x :1 0
lim
T 0
P(k , k )xk Q(k , k )yk
k 1
记 P(x, y)dx Q(x, y)d y 或 P(x, y)dx Q(x, y)d y
作L
L
L
都存在, 则称此极限为函数 F (x, y) 在有向曲线弧 L 上
第二型曲线积分, 或对坐标的曲线积分. 其中 P(x, y) ,
y F (k , k )
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
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2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
F (x, y) (P(x, y), Q(x, y))
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n