直线方程与圆方程应用举例
直线系、圆系方程
直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。
直线方程与圆的方程的应用举例
第二页，课件共有16页
第三页，课件共有16页
第四第页四，页，课课件件共共有1有6页16页
第第五五页页，，课课件件共共有有1166页页
蜡烛1
蜡烛1的像和蜡烛2
平面镜成像正视图
平面镜成像的特点:
L1
L2
（1）像和物的大小 相等 ， （２）像和物到镜面的距离 相等 ，
第十第六十六页页，，课课件件共共有有16页16页
1．光线从点M（−2，3）射到点P（1，0），
然后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．
第九第页九页，，课课件件共共有有161页6页
第第十十页页，，课课件件共共有有1166页页
巩固知识 典型例题
第第十十一一页页，，课件件共共有有116页6页
巩固知识 典型例题
第十第二十二页页，，课课件件共共有有16页16页
平面镜成像是靠光的反射形射规律
第第七七页页，，课课件件共共有有1166页页
例8 从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过 点N（－8，3）（如图）．求反射点P的坐标．
巩 固 知 识 典 型 例 题
第八第页八，页，课课件件共共有1有6页16页
76 练习第1题 ，活动单P32
物点发光反射聚反射光线反向延长会聚像点无数物点像点无数物点点对应无数像点组成虚像2利用光的反射规律1对称法巩固知识典型例题例8从m22射出一条光线经过x轴反射后过点轴反射后过点n83如图
直线方程与圆的方程的应用举例
第一第页一，页，课课件件共共有1有6页16页
例8 从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过 点N（－8，3）（如图）．求反射点P的坐标．
（３）像和物的连线与镜面 垂直，
（４）平面镜所成的像是
6.6直线与圆的方程应用举例
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
3.某圆拱桥的跨度是20m，圆拱高4m，现有宽10m的 船,水面以上高3m,船能否从桥下通过?
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
点Q(-3,2)关于x轴的对称点Q’的坐标 为 (-3,-2),故直线PQ’的斜率为
故直线PQ’的点斜式方程为y-3=x-2,即 y=x+1,直线与x轴的交点坐标为(-1,0), 故反例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
6.6 直线与圆的方程应用举例
再见
台风影响的区域是以O(0,0)为圆心, r=9为半 径的圆形区域. 因为圆心O(0,0)到直线PQ的距离为
即d>r,所以轮船航线所在直线与以台风中心为圆 心,90km为半径的圆相离,轮船可沿原航线航行,不 会受到台风影响.
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1.从点P(1,4)射出一条光线,经过x轴反射后过点 Q(-4,2),求反射点M的坐标.
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
2.我国的赵州桥是世界上现存年代最久远、跨度最大、 保存最完整单孔坦弧敞肩石拱桥,它的跨度是37.02m,圆 拱高约7.2m,求圆拱所在圆的方程.
10.5直线与圆的方程应用举例
48（海里）．
32 42
由48 50 ，故渔船在不改变航向的情况下，它会受到台风 的影响．
10.5直线与圆的方程应用举例
1．若直线3x 4y m 0 与圆x2 y2 6x 5 0相切，求 m 的值． 2．著名的圆拱桥赵州桥跨度是 米．圆拱高约为 米，求这座 圆拱桥的圆拱所在圆的方程．
3．已知圆C：x2 y2 16 ，点 P(1, 2) 在圆内，过点 P 的直线 l与
圆 C 相交于 A、B 两点，且弦 AB是所有过点 P的弦中长度最
短的，求直线 l的方程．
解：建立如图所示直角坐标系，使圆心
在 y 轴上．设圆心的坐标是 ，圆的半径是r
，那么圆的方程是 x2 ( y b)2 r2 因为点A、P都在圆上，所以它们的坐标（9，0），
（0，4）都满足方程 x2 ( y b)2 r2 ．于是，得到方程组
92 (0 b)2 r2 , 02 (4 b)2 r2.
10.5直线与圆的方程应用举例
例2 一艘渔船正沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报，台风中心位于渔船的正东方80海里处，受到影响的 范围是半径为50海里的圆形区域．已知港口位于台风中心正北 方60海里处，假设台风中心不移动，试问：渔船在不改变航向 的情况下，它是否会受到台风的影响．
解：如图以台风中心为坐标原点，东西方向
为 轴x ，南北方向为 轴y 建立平面直角坐标系．
于是渔船Ａ和港口Ｂ的坐标分别为(80, 0)、(0, 60)
直线 AB的斜率为 k 60 0 3
0 (80) 4
求得直线 AB的方程为3x 4y 240 0 ．
10.5直线与圆的方程应用举例
240
台风中心点O 到直线 AB 的距离为 d
直线与圆的方程的应用
谢谢各位老师莅临指导
汇报人姓名
通过代数运算,解决代数问题;
3
把代数运算结果“翻译”成几何结论.
4
课堂小结：
1、熟悉直线、圆的方程；
2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何结论。
课后作业：课本144页 练习：2、4
解:
01
建立适当的直角坐标系，将实际量转化成数学量；
02
利用数学知识解出所要求的数学量；
03
将数学量回归实际量，下结论。
注意:(用坐标系解决实际问题)
练习1:某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高4m.现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过? (精确到0.1;其中 )
01
分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥,只需判断
02
解：
例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
1
分析:
2
证明：
用坐标法解决几何问题的步骤:
建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
4.2.1 直线与圆的方程的应用
直线与圆的方程在生产、 生活实践以及数学中有着广泛的应用,本节课我们将通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用
例1:如图是圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑.求支柱 的高度(精确到0.01;其中 )
直线与圆的方程的应用
1 所以 | O' E | | BC | 2
用坐标方法解决几何问题时，用坐标和方程表 示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转 化为代数问题；然后通过坐标方法解决平面几何问 题；最后解释平面几何问题的几何含义。 坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论。
2 (2)2 (y 10.5) 1Hale Waihona Puke .52因为y>0,所以
y 14.5 2 ( 2) 2 10.5 14.36 10.5 3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
思考
如果不建立坐标系，能解决这个问题吗？ P2 P A A1 A2 O A3 A4 B
将点D的横坐标-5代入上式，得y=3.1。 由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从 船下经过。 1 4.以B为原点，BC所在直线为x轴，线段BC长的 6 为单位长，建立坐标系。则
A(3,3 3 ), B(0,0),C(6,0), D(2,0),E(5, 3 )
直线AD的方程是 y 3 3(x 2) 3 (x 5) 3 直线BE的方程是 y 5
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时,则 L⊥AM,由 1 k AM 2
L的方程为y－1=2(x－3)即2x－y－5=0。
习题答案
1.由已知，圆C的圆心坐标为（3，0），半径长 r=3，圆心到直线2x-y-2=0的距离是
| 2 3 0 2 | 4 d 5 5 5
直线2x-y-2=0被直线截得的弦长是
于是有
(a 10)2 b 2 r 2 2 2 2 (a 10) b r 2 2 2 a (b 4) r
直线与圆的方程公式大全一数
直线与圆的方程公式大全一数在数学中，直线和圆是基本的几何图形，它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将介绍直线和圆的方程公式，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、直线的方程公式直线是由无数个连续的点组成的，它具有方程的形式。
常见的直线方程有点斜式、一般式和截距式。
点斜式方程如果已知直线上的一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，那么可以使用点斜式方程来表示直线。
点斜式方程的一般形式为：(y - y₁) = k(x - x₁)其中，(x, y)是直线上的任意一点。
一般式方程一般式方程是直线的标准形式，它的一般形式为：Ax + By + C = 0其中，A、B和C为常数，A和B不能同时为零。
斜截式方程斜截式方程也是直线的常用表示形式，它表示为：y = mx + b其中，m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
二、圆的方程公式圆是由平面上的一组点构成的，这些点到圆心的距离都相等。
圆可以用方程来表示，常见的圆方程有标准方程和一般方程。
标准方程圆的标准方程形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般方程圆的一般方程是以一般标准形式来表示，它可以表达为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E和F为常数。
三、应用举例直线和圆的方程公式在几何问题和实际应用中都有广泛的应用。
以下是一些具体的示例：1.直线的方程可以用于求解两直线之间的夹角。
2.圆的方程可以用于计算圆的面积和周长。
3.圆与直线的方程公式可以用于求解直线与圆的交点。
这些应用仅仅是直线和圆方程公式广泛应用的一小部分示例，它们在几何学、物理学、工程学等领域都起着重要作用。
总结直线和圆是几何学中最基本的图形，它们的方程公式对于解决几何问题和实际应用都非常重要。
本文介绍了直线的点斜式、一般式和斜截式方程，以及圆的标准方程和一般方程。
直线和圆的方程的典型例题
问题，利用数形结合法求最值.
［例5］已知直线l:y=k(x－a)及圆O:x2+y2=r2(a＞r＞0)，直线l与圆O
相交于A、B两点，求当k变动时，弦AB的中点的轨迹方程．
【解法一】设轨迹上任一点为M(x,y),A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1+k2)x2－2ak2x+a2k2－r2=0,
(4+2sinθ)2=60+32sinθ+24cosθ=60+40sin(θ+).(其中tan=), 当sin(θ+)=－1时, (|AP|2+|BP|2)min=20, 此时60+24cosθ+32sinθ=20,即3cosθ+4sinθ=－5. 由得
∴P点的坐标为(). 【解法二】设P点的坐标为(x,y). ∵A(－1,0)、B(1,0), ∴|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x－1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2. 要使|AP|2+|BP|2取得最小值，需使|OP|2最小. 又点P为圆C：(x－3)2+(y－4)2=4上的点， ∴(|OP|)min=|OC|－r(r为半径). 由(x－3)2+(y－4)2=4知：C(3，4)，r=2. ∴|OC|－r=－2=5－2=3, 即(|OP|)min=3,∴(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20. 此时，OC：y=x 由得 或 (舍) ∴点P的坐标为(). 【点评】解法一是利用了圆的参数方程的形式设出了点P的坐标， 使所求的式子转化为三角函数式，利用三角函数法求最值;解法二设出 的是P点的普通坐标(x,y),使要求的式子转化为求圆上的点到坐标满足(x－)2+y2=．
直线与圆的方程应用举例
|2×1+2|
22 +(−1)
＝
2
4 5
.r＝
5
5.∴航行过程有触礁风险
（2）如果要确保避开触礁风险，应该怎么设定航行路线？即确定m的取值范围.
d＝
|2×1+|
22 +(−1)2
＞r＝ 5.∴｜m＋2｜＞5.∴m＜－7或m＞3
亲爱的同学们，下节课见！
令x＝1，则1＋（y＋4）2＝25.∴y＝±2 6－4.∴｜MN｜＝2 6－4
一、填空题
光线从点M（－3，2）射出，经过x轴反射后经过点N（x＋1 ，反射点C的坐标是
（－1，0） .
二、解答题
1.从点A（5，2）射出光线，到达点C（2，0）后，被x轴反射后经过点B（－
（2）研究方程及性质：引入直线或圆的方程，计算、分析有关性质；
（3）回答实际问题：把上述结果应用到实际情境，解决实际问题.
一、选择题
1.光线从点M（0，1）射出，经过x轴反射后经过点N（4，3），则入射光线
所在的直线方程是（
A.y＝－x＋1
A ）.
B.y＝x＋1
1
2
C.y＝ x＋1
D.y＝x－1
2.船舶在海上的航行路线所在直线方程是3x－4y＋m＝0，海中有一片圆形暗
礁区域，圆的方程是x2＋y2＝1.如果航行过程没有触礁风险，那么下列m的取
值有可能的是（
A. 0
D ）.
B. 2
C. 4
D.6
二、解答题
1.光线从点M（－1，2）射出，经过x轴反射后经过点N（5，3），求：
（1）入射光线所在的直线方程；
5
6
5
6
7
6
直线与圆的方程应用
直线与圆的方程应用我跟你们说，这直线与圆的方程应用可太有意思了，也特别实用。
我记得在学校学这部分知识的时候，一开始觉得那些公式啊，什么点到直线的距离公式、圆的标准方程，就像一堆乱码在我脑袋里打转。
可一旦开始做实际应用的题目，就像打开了新世界的大门。
就说建筑设计里吧，经常要用到直线与圆的方程。
我有个亲戚是搞建筑的，他跟我讲，在设计圆形的建筑或者景观的时候，得先确定圆心的位置和半径，这就得靠圆的方程了。
他拿着图纸，指着上面的一个圆形花坛设计图说：“你看，这里要画个圆，就得先算出方程，这样才能准确地定位，不然这花坛可能就画歪了，那可就闹笑话了。
”我看着那图纸，似懂非懂地点点头说：“原来是这样，这数学还真能变成实实在在的建筑啊。
”还有啊，在交通规划里也少不了它。
比如说规划一个环形路口，得计算圆的周长、面积，还有和周围直线道路的衔接。
我有次在路口等红绿灯的时候，就看着那环形路口发呆，心里想着这里面肯定也有直线与圆的方程在起作用。
我就跟旁边等灯的人说：“你知道吗？这个环形路口的设计可离不开数学里的直线与圆的方程呢。
”那人一脸疑惑地看着我，说：“啥方程？这路口不就这么修起来的吗？”我笑着跟他解释了一通，他听了后，半信半疑地说：“还真没看出来，这数学还挺神奇的。
”在定位导航方面也和直线与圆的方程有关。
我自己开车出去玩的时候，导航软件告诉我离目的地还有多远，走哪条路是直线距离最短，哪条路是绕着某个区域走更顺畅。
我就琢磨着，这背后肯定是根据我的位置、目的地的位置，用直线与圆的方程之类的数学知识算出来的最佳路线。
我跟朋友说：“这导航可真聪明，其实都是数学在背后帮忙呢。
”朋友说：“你就别瞎琢磨了，能把我们带到地方就行。
”我不服气地说：“这可不一样，知道了原理才更有意思嘛。
”再说说工业制造里，比如制造圆形的零件，要保证尺寸精度，就得靠这些方程来计算加工的参数。
我参观过一个工厂，看到那些工人师傅对着图纸和数据，在机器上调整参数。
直线与圆的方程应用举例
2.画出方程 x3 4y2表示的曲线.
解：显然 x3 4y2 中， x, y必须满足 x 3 , 2 y2. 由 x3 4y2 得，(x3)2y2 4. 所以方程 x3 4y2表示的曲线是: 以圆心为(3,0)，半径为2的圆的右半圆.
y
o
x
画出方程 y 9(x1)2 表示的曲线.
3.如图是某拱桥的圆拱示意图. 跨度AB=20m，拱高OP=4m.
所以方程
表示的曲线是:
O
150
A 100 B x
(2)当卸完货返航时，船水面以上高3.
有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，
如图是某拱桥的圆拱示意图.
∵A, B, P在圆上，
直线与圆的方程应用举例
如图，某城市的摩天轮的高度是100米，在离摩天轮约150米处有一建筑物，某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑物顶部看到
16 4 E F 0
A
A1 A2 O A3 A4
Bx
解得 D=0，E=21，F= –100，
因此，圆的方程为x2+y2+21y–100=0.
令x= –2， 解得y≈3.86. 答：支柱A2P2的高度约为3.86m.
某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米. 有一货船，装满货过 桥，顶部宽4米，水面以上高3米， (1)请问此船能否通过？ (2)当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
y
PN
A
OM
Bx
垂足为H，交圆面，某直角城坐标市系，的用坐摩标和天方程轮表示的问题高中的度几何是元素1，0将0平米面几，何问在题转离化为摩代数天问题轮； 约150米
处有一建筑物，某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑 所以方程
直线系、圆系方程及其应用
圆系方程及其应用（熟记----大题可以小做）一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。
（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。
） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交； 3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
直线与圆的方程应用举例教案
直线与圆的方程应用举例教案引言直线与圆是高中数学中常见的几何概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本教案将通过一些具体的实例，帮助学生更好地理解直线与圆的方程，并学习如何应用这些知识解决实际问题。
例题1：判断点在直线上的方法问题描述在直角坐标系中，给定直线的方程为2x−3y=6，判断点P(4,−2)是否在直线上。
解题思路要判断点是否在直线上，可以将点的坐标代入直线的方程，若等式成立，则点在直线上。
具体步骤如下：1.将点的坐标代入直线的方程：$2 \\cdot 4 - 3 \\cdot (-2) = 6$。
2.计算等式左边的值：8+6=14。
3.判断等式是否成立：14=14，因此点P(4,−2)在直线2x−3y=6上。
结论点P(4,−2)在直线2x−3y=6上。
例题2：求直线与圆的交点问题描述在直角坐标系中，给定圆的方程为x2+y2=25，直线的方程为y=2x+1，求直线与圆的交点。
解题思路要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，求解方程组得到交点的坐标。
具体步骤如下：1.将直线的方程代入圆的方程：x2+(2x+1)2=25。
2.化简方程：x2+4x2+4x+1=25。
3.组合同类项：5x2+4x−24=0。
4.求解方程：可以使用因式分解或二次方程公式求解方程5x2+4x−24=0，得到x1=2和x2=−2.4。
5.将x的值代入直线的方程，求解y的值：$y = 2 \\cdot 2 + 1 = 5$ 和$y = 2 \\cdot (-2.4) + 1 = -3.8$。
6.得到两个交点的坐标：交点1为P1(2,5)，交点2为P2(−2.4,−3.8)。
结论直线y=2x+1与圆x2+y2=25相交于两个点，分别为点P1(2,5)和P2(−2.4,−3.8)。
例题3：利用圆的方程求解实际问题问题描述一个游乐场的中央有一座圆形喷泉，喷泉周围有一圈供游客休息坐椅的位置。
已知坐椅到喷泉的距离为10米，并且坐椅到喷泉的连线垂直于坐椅到游乐场中心的半径。
直线与圆的位置关系的应用问题
直线与圆的位置关系的应用问题为了解直线与圆的位置关系的应用问题，我们首先需要掌握直线与圆的基本性质和定义。
直线是由无限多点连成的一条无宽度的路径，而圆是由中心点和半径确定的，周围的所有点到中心点的距离都相等。
在解决直线与圆的位置关系的应用问题时，我们常常会遇到以下几种情况：直线与圆相交，直线在圆内或圆外切，直线与圆相切。
在接下来的讨论中，我们将会具体分析这几种情况并且给出相关的例题。
情况一：直线与圆相交当直线与圆有两个交点时，我们可以利用勾股定理和圆的性质来求解。
假设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)^2 + (y - n)^2 =r^2。
我们可以将直线方程带入圆的方程，然后解方程组得到交点坐标。
通过计算交点的坐标，我们可以得到直线与圆的位置关系以及两个交点的具体位置。
情况二：直线在圆内或圆外切当直线与圆相切时，我们可以利用距离公式来求解。
首先，我们找到圆心到直线的距离，并与圆的半径进行比较。
如果圆心到直线的距离与半径相等，则直线在圆上；如果圆心到直线的距离大于半径，则直线在圆外；如果圆心到直线的距离小于半径，则直线在圆内。
情况三：直线与圆相切当直线与圆相切时，我们可以利用切线的性质来求解。
切线与圆相切于一点，且与该点的切线垂直。
我们可以利用切线的斜率与圆心到该点的连线的斜率乘积为-1来求解切点的坐标。
通过计算切点的坐标，我们可以得到直线与圆的位置关系以及切点的具体位置。
下面我们通过两个具体的例题来进一步说明直线与圆的位置关系的应用问题。
例题一：已知直线y = 2x + 1与圆(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4相交，求交点的坐标。
解：将直线方程y = 2x + 1代入圆的方程(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，得到(x - 2)^2 + (2x + 1 - 3)^2 = 4。
展开并化简方程，得到5x^2 + 8x + 12 = 0。
解这个二次方程，可得到两个交点的x坐标为-1和-2。
直线方程与圆的方程应用举例教案
直线方程与圆的方程应用举例教案引言在数学中，直线和圆是常见的几何图形。
直线通过两个点来确定，而圆则由一个中心点和半径来确定。
直线方程和圆方程是描述这两类图形的重要工具。
本教案将通过一些具体的应用举例，帮助学生理解和应用直线方程与圆的方程。
一、直线方程应用举例1. 汽车行驶问题假设一辆汽车的初始位置是坐标原点 (0, 0)，车辆以速度 v 向着 x 轴正方向行驶。
现在要求学生根据这些信息来推导出汽车的运动方程。
解答思路：汽车在 x 轴上的位置可以用直线方程 y = 0x + 0 表示，其中斜率为0，截距为 0。
由于速度 v 表示的是单位时间内汽车在 x 轴上的移动距离，所以坐标点 (x, y) 表示汽车的位置可以表示为 (x, y) = (vt, 0)，其中 t 表示时间。
2. 电费问题某市居住用电计费采用两阶梯计费，每月电量低于200度的部分电费按0.5元/度计算，超过200度的部分电费按0.8元/度计算。
假设一个家庭每月用电量为 x 度，要求学生根据这些信息来推导计费公式。
解答思路：当用电量低于200度时，电费总额为 0.5x；当用电量超过200度时，电费总额为 0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200)。
综合起来，可以得到计费公式为：电费总额 =\\begin{cases}0.5x, & \\text{if } x \\leq 200 \\\\0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200), & \\text{if } x > 200\\end{cases}二、圆的方程应用举例1. 池塘中的青蛙一个半径为10 米的圆形池塘中有一只青蛙。
青蛙可以跳跃的最大距离为r 米，要求学生根据这些信息来判断青蛙是否能够跳出池塘。
解答思路：青蛙能够跳出池塘的条件是能够找到一条直线，其长度大于圆的半径。
根据勾股定理，直线的长度可以用直角三角形的两条边的平方和的开根号表示。
直线与圆的方程应用举例
直线与圆的方程应用举例嘿，各位朋友们，今天咱们来聊聊数学里的一对欢喜冤家——直线与圆。
它们的关系，就像是猫和老鼠，既是一场追逐游戏，也是一次心灵的碰撞。
准备好了吗？咱们来一场“直线vs圆”的趣味对决！想象一下，直线是那种一根筋的家伙，笔直行走在自己的路上，从不停留，也从不转弯。
它巨大的魅力在于简洁、直接，就像是人生中的目标，一旦确定了就勇往直前，无所畏惧。
数学上，我们用“y=mx+b”来描绘它，m是斜率，b是截距，几个简单的数字，就勾勒出直线的全部身世。
而圆呢？这家伙可就圆滑多了，它没有起点也没有终点，周而复始，圆润无角。
它就像一个大家庭，圆心是家的核心，半径是爱的范围，无论你走到哪里，只要没离开这个范围，就都是家的一份子。
圆的方程“(x-a)²+(y-b)²=r²”，a、b是圆心坐标，r是半径，简单的公式里藏着无限的可能。
当直线遇上圆，那可真是一场好戏！它们要么擦肩而过，相忘于江湖；要么撞个满怀，激情碰撞出交点。
比如，直线从圆外呼啸而过，我们得算它到圆心的最短距离；或者直线恰好穿过圆心，那可得小心了，它可是把圆分成了两半哦！要是直线和圆“来电”，那更是不得了，直接就有了两个甜蜜的交点，就像两颗心找到了共鸣的频率。
解决这类问题，就像是解谜游戏，你得动动脑筋，运用那些枯燥的数字和符号，去揭示它们之间的秘密。
有时候，一个巧妙的变换，就能让你豁然开朗，找到问题的答案。
这不仅仅是知识的运用，更像是一场智力的冒险，让人乐此不疲。
所以，别看直线直愣愣的，圆溜圆滑滑的，它们在一起玩耍的时候，可以创造出无限精彩的数学风景。
下次碰到直线与圆的题目，不妨把它当成一场趣味游戏，用幽默和好奇心去发现数学的美妙吧！。
直线方程与圆的方程
一、直线的方程： 概念：倾斜角 （１）倾斜角的范围：001800<≤α，这样定义的倾斜角可以使平面上的任意一条直线都有唯一的一个倾斜角．（２）特殊位置：当︒=0α时，直线l 与x 轴平行；当︒=90α时，直线l 与x 轴垂直．２．直线的斜率．（１）斜率的概念当倾斜角不是︒90时，它的正切值叫做这条直线的斜率，记作：αtan =k ．说明：当︒=90α时，直线l 没有斜率（但是有倾斜角）；当︒≠90α时，直线l 有斜率，且是一个确定的值．由此可知斜率是用来表示倾斜角不等于︒90的直线对于x 轴的倾斜程度的量．（２）斜率公式：1212x x y y k --=，其中 ),(,),(2211y x y x 是直线l 上两点的坐标．例1：已知两点(1,5),(3,2)A B ---，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率．３．直线方程的五种形式：（１）点斜式：()11x x k y y -=-；（２）斜截式：b kx y +=； （３）两点式：121121x x x x y y y y --=--； （４）截距式：1=+by a x ； （５）一般式：0(,Ax By C A B ++=不同时为0)．例２．过点(2,1)P 作直线l 分别交,x y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．练习：例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和在x 轴与y 轴上的截距，并画图．４．两条直线的位置关系：（１）平行（不重合）的条件：212121,//b b k k l l ≠=⇔且；21//l l ⇔212121C C B B A A ≠=． （２）两条直线垂直的条件：12121-=⋅⇔⊥k k l l ；21l l ⊥02121=+⇔B B A A ．（３）直线1l 到直线2l 的角公式为：21121k k k k tg +-=θ． （４）直线1l 与直线2l 夹角的公式：21121tan k k k k +-=θ．)900(︒≤<︒θ （5）点到直线的距离公式：2200B A CBy Ax d +++=． （7）过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 特例：点P(x,y)到原点O的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
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8．4 圆
例8 从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过 点N（－8，3）（如图）．求反射点P的坐标．巩ຫໍສະໝຸດ 解 已知反射点P在x轴上，
固
故可设点P的坐标为(x，0)．由于
知
识
入射角等于反射角，即∠NPQ＝
典
∠QPN.设直线PM的倾斜角为α，则直线NP的倾斜角为π－α．所以
型
kPM tan tan(π ) kNP，
解得F=-64,D=0,E=12
所以圆的方程为 x2 y2 12 y 64 0
当x=2时，y= 95 6 >3
所以这条船能通过该桥
河南省计划修一条连接A，B两地笔直公路。经测量，B地 在A地的正东方向2KM处。在A地的北偏东60°方向，B地 北偏西45°方向上的C处有一个半径为0.7KM的公园，那 么计划修建的公路会不会穿过公园？为什么？
解：建立如图直角坐标系， 单位长度为10km，
∵航线所在直线AB的斜率k 4 0 4 ,
07 7 y
直线AB在y轴上的截距为4， ∴直线AB的方程是 y 4 x 4,
7
即4x+7y–28＝0.
港口B O
∵点O与直线AB的距离是
台风
轮船A x
28 3.47 3. 42 72
∴这艘轮船不改变航线不会受到台风的影响.
知 （1，0）, 圆心C在y轴．
识
设半径为r，则 | CD |2 | DG |2 | CG |2 ，
典
即
r2 (r 1)2 32，
型
解得 r 5．
例
所以圆心为（0，−4），圆的方程为 x2 ( y 4)2 25．
题
将x＝1代入方程（取正值）得 y 4 24 0.9m．
答 E点的柱子长度约为0.9 m．
C
60 A
45 B
作业
继 续
读书部分：阅读教材相关章节
探 索
书面作业：教材习题8.4 A（必做）
活
教材习题8.4 B（选做）
动
探
实践调查：寻找圆与直线的位置
究
关系在现实生活中的应用．
8．4 圆
例
即
20 30
题
2 x 8 x
解得 x 2．
故反射点P的坐标为（－2，0）．
8．4 圆
例9 某施工单位砌圆拱时，需要制作如图所示的木模．设圆拱高 为1m，跨度为6 m，中间需要等距离的安装5根支撑柱子，求E点的柱 子长度（精确到0.1m）．
巩
解 以点D为坐标原点，过AG的直线
固 为x轴，建立直角坐标系，则点E的坐标为
反射光线所在直线的方程．
略.
运
用
知
2．赵州桥圆拱的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，适当选取坐标
识 系求出其拱圆的方程．
强
化
练
略.
习
8．4 圆
一艘轮船A在沿直线返回港口B的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长 为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如 果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
某圆拱桥的水面跨度 16m，拱高 4 m．现有一船，顶部宽 4 m 水面以上高 3 m，这条船能否从桥下通过？
解 建立如图所示的坐标系．依题意，有 A(－8,0)，B(8,0)，P(0,4)．设所求圆的方 程是 x2 y2 Dx Ey F 0
648D F 0 648D F 0
16 4E F 0
8．4 圆
解决直线与圆的实际应用题的步骤为： (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何 模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
1．光线从点M（−2，3）射到点P（1，0），然后被x轴反射，求