三向应力状态简介

2 1
CL10TU19 30
下面考虑体积变化：
V0 a b c
V1 a(1 1) b(1 2 ) c(1 3 ) 2 a b c (1 1 2 3 )
单位体积的体积改变为:
V1 V0 V0
1 2 3
b 1
3
c
a
也称为体积应变。
CL10TU20 30
1
2
3
1 2
uv
3(1 2)
2E
2 m
1 2
6E
(
1
2
3)2
u f u uv
1 62E
( 1
1
2 )2
( m
2 m
3)2
(
3 1)2 1
m
3
m
3 m
26
§10-7 强度理论的概念
max [ ] max [ ]
流动破坏 材料破坏的形式主要有两类：
断裂破坏
27
§10-8 常用的四种强度理论
max
1
3
2
47.2MPa
12
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
解： 1 50MPa
2 50MPa
3 50MPa
max
1 3
2
50MPa
CL10TU13 33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
CL10TU14 34
解：
E
1
3
E
1 3
当三个主应力同时作用时：
1
1 E
1 （ 2 3）
CL10TU17 30
广义胡克定律：
1
1 E
1
（
2
）
3
2
1 E
2
（
3
）
1
3
1 E
3 （ 1 2 ）
18
对于二向应力状态：
1
1 E
( 1
2)
2
1 E
( 2
1 )
3 E ( 1 2 )
1
max
1
3
2
3
• τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°
角的平面上，以τ1，3表示
CL10TU10 31
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
CL10TU11 32
解：
1 30 20
3
2
30
2
20
2
402
52.2
MPa
42.2
2 50MPa
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类：
一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。 一、关于脆断的强度理论
28
1.最大拉应力理论（第一强度理论）
• 它假定：无论材料内各点的应力状态如何，
只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
3
2
1
7
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。
3
2
1
8
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。
3
2
1
9
• 在三向应力状态情况下：
2
max 1
min 3
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 [ ]
29
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
2
2 EA 2EA
变形比能：
P
l l
uU
P2l
2
1
V 2EA Al 2E 2
CL10TU40
22
变形比能：
u 1
2
u
1 2
1
1
1 2
2
2
1
2
3
3
2
1 3
23
变形比能：
u
1 2
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1 2E
121
122 E
2 3
2( 1
1 （ 2
2 2 3
3）
3 1)
,
u
u
E
b
E
31
• 由此导出失效条件的应力表达式为：
1 ( 2 3 ) b
[ ] b
n • 第二强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ]
32
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如 端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生 断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向， 这与第二强度理论的结果相近。
2
1 E
2
（
3
）
1
3
1 E
3 （ 1 2 ）
24
2
m
2 m
1
m
1 m
3
m
3 m
m
1
2
3
3
变形3比(1能=2体)积改1变比能2 +形状3 改 变 比m 能
u E= uv 3 +
uK f CL10TU25 41
u 1 2E
2 1
2 2
2 3
2( 1 2 2 3 3 1)
§10-4 三向应力状态简介
主单元体：六个平面都是主平面
2
1 3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应CL力10T: U130
首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的 各斜截面上的应力。
σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应力 圆圆周上各点的坐标。
30
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应变状态如何， 只要有一点的最大伸长线应变ε1达到单向拉 伸断裂时应变的极限值 εu，材料即破坏。
• 所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu •ຫໍສະໝຸດ Baidu若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工
作，则
1
1 E
1 （ 2 3 ）
2
3
3
1
1 1
3 2
3
2
2
3
2
1
3
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆 周上各点的坐标。
2
3
1
1
3 2
4
3
2
1
5
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点的 坐标。
2
3
1
1
3 2
6
E
( 1
2
3)
3(1 2) 1 2 3 m
式当中Km：03.(51E213时1E2，EEE1113)2
1
3
（
2
K 3
）
体2 积 弹（性模3量 1）
3
3 （ 1 2 ）
0
21
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
P
拉压变形能：
U 1 P l 1 P P l P2l
1 120 40
2
2
120 40 2 2
302
130 MPa
30
3 30MPa
max
1 3
2
80MPa
15
§10-5 广义胡克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E
CL10TU16 35
下面计算沿 1方向的应变：
1引起的应变为
1
1
E
2
2 、 3引起的应变为
1
2
CL10TU33 50