高三高考平面向量题型总结

平面向量

一、平面向量的基本概念：

1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。

向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________.

2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________.

3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________.

4.单位向量：__________________________.

5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。

6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②,,c b b a == 则c a = ；③

,//,//c b b a c a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；

⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法：

1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.

（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量

（1）PM QP MN NQ +++（2）)()()(MB PM AB CQ BC BP +++++

（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b

为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：

例1.（09山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，2=+，则

0=+0=+0=+0=++例2.（13四川）在平行四边形ABCD

中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+，则.______=λ （3）多边形法则

2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法：

减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-=（终点向量减始点向量）

在平行四边形中，已知以a 、b

为邻边的平行四边形中，a -+, 分别为平行四边形的两

条对角线，当a a -=+ 时，此时平行四边形是矩形。

例1.已知86==a ，且a a -=+ ，则a a -=+ =______

例2.设点M 是BC 的中点，点A 在线段BC 外，BC=16-=+，____

=

向量的加减运算：

例1.（08辽宁）已知、O A 、B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足CB →+2AC →

=0，则OC →

=______ OA →OB →

.—OA →

+2OB →

C.

32OA →—31OB →D.—31OA →+3

2OB →

例2.(15课标全国I ）设D 是三角形ABC 所在平面内一点，3=，则______

A.3431+-=

B.34

31-= 3134+=

.3

1

34-= 例3.（12全国）在ABC ∆中，AB 边上的高为CD ,CB →

=a,CA →

=b,a •b=0,2,1==b a ,则AD →

=______

例4.（10全国）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB →

=a,CA →

=b,2,1==b a ，则CD →

=________

例5.在ABC ∆中，设D 为边BC 的中点,E 为边AD 的中点,若BE →

=m AB →

+n AC →

，则m +n =___ 例6.（15北京理）在ABC ∆中，点N M ,满足==,2，若y x +=，

则_________==y x

例7.（13江苏）设D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，若BC BE AB AD 32

,21==，

若DE →

=1λAB →

+2λAC →

(1λ,2λ为实数)，则1λ+2λ=_________

例8.（12东北四市一摸）在ABC ∆中，设P 为边BC 的中点，内角C B A ,,的对边c b a ,,，若c AC →

+a PA →

+b PB →

=0，则ABC ∆的形状为________

(三）实数与向量的积：

1.定义：实数λ与非零向量a 的乘积a

λ是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当0=λ时，_______

2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。

3.运算律：设a 、b

是任意向量，μλ,是实数，则实数与向量的积适合以下运算： 4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理）

①如果a λ= ，则a // ；若a // ，0≠，则存在唯一的实数λ，使得a λ=

.

②若a 、b

是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数

μλ,，使________.

③若22122111,e e e e a μλμλ+=+= ，21,e 不共线，b a //

，则在有意义的前提下，21

21μμλλ=

例1.（15课标全国II ）设向量若a 、b 是两个不平行的向量，向量b a + λ与b a 2+

平行，则

____=λ

例2.（09湖南）对于非零向量,,a b “0a b +=”是“//a b ”的___A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例3.（12四川）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使

||||

=a b a b 成立的充分条件是A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |

5.单位向量

给定一个向量a ，与a 同方向且长度为1的向量叫做a

的单位向量，即_______________ 重要结论：

已知ABC ∆，O 为定点，P 为平面内任意一点.

①PA →

+PB →

+PC →

=0⇔________________________⇔_______________________.

②若OP →=3

1OA →+OB →+OC →

，则P 为ABC ∆__________________________

③若OP →=OA →+λ（AB →+AC →

），),0(+∞∈λ，则P 点的轨迹__________________. ④若OP →

=OA →

+λ_________,),0(+∞∈λ,则P 点的轨迹通过ABC ∆的内心 ⑤若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ∆的外心 ⑥若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ∆的垂心

例1.（10湖北）在ABC ∆中，点M 满足MA →

+MB →

+MC →

=0，若存在实数m ，使得AB →

+AC →

=m AM →

，则

m =________.