四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题-附答案解析
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（1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式 ，并写出该函数的最小正周期；
（2）若利用 的图象用图象变化法作 的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法）
第一步： 的图象向右平移 _____得到 _____的图象；
第二步： 的图象（纵坐标不变）______得到 _____的图象；
【详解】
（1）当 ， 时， ，
，
（2）
令 ，则 ，
设 ，
①当 时， ，
②当 时，函数 的对称轴为 （或 ）
当 （或 ），即 时，
当 （或 ），即 时，
【点睛】
本题考查向量坐标的模长公式和角角公式求解，三角换元法在三角函数中的应用，含参二次函数在给定区间最值的求法，属于难题
22．（1） ；（2）
【解析】
因为 ，当 时， ，所以当 时， 取到最小值， ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查函数最值的求解，拆分构造函数是解题关键，属于中档题
17．（1）4；（2）
【解析】
【分析】
（1）结合对数的运算性质求解即可；
（2）由条件判断 为第二象限的角，再结合同角三角函数和诱导公式化简求值即可
【详解】
（1）原式
（2） ， ，
【详解】
因为函数 为偶函数，故 又 ，故 ，
则 ，当 时，令 ，当 时，函数取得最小值， ，当 时， ，故函数的值域为
故选：B
【点睛】
本题考查由奇偶性求解参数，在给定区间求解函数值域，属于中档题
11．B
【解析】
【分析】
可采用构造函数形式，令 ，采用数形结合法即可求解
【详解】
由题可知， ，当 时， ，
第三步： 的图象（横坐标不变）_____得到 的图象.
21．已知：向量 ， .
（1）当 ， 时，求 及 与 夹角的余弦值；
（2）若给定 ， ，函数 的最小值为 ，求 的表达式.
22．已知：函数 ， .
（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；
（2）设函数 ，若 ，对于任意 总成立.求 的取值范围.
参考答案
A． B． C． D．
4．设 ， ， ，则下列结论成立的是（）
A． B．
C． D．
5．函数 的单调递减区间为（）
A． B． C． D．
6．若 为幂函数，则 （）
A．9B． C． D．
7．已知函数 的最小正周期为 ，则 （）
A．1B． C．0D．
8． 中， 为 边上一点，且 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
易得函数周期为4，则 ，结合函数为奇函数可得 ，再由 时， 即可求解
【详解】
，
则 ，
又 ， ，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题
16．
【解析】
【分析】
可拆分理解，构造 ，由对勾函数可得 时取得最小值，又当 时， 也取到最小值，即可求解
【详解】
令 ，由对勾函数性质可知当 时， ；
1．B
【解析】
【分析】
先化简集合A，B，再求 即可
【详解】
由题可知
故
故选：B
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题
2．D
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标关系求解即可
【详解】
由
故选：D
【点睛】
本题考查由向量平行的坐标运算求解参数，属于基础题
3．A
【解析】
【分析】
采用整体法和函数图像平移法则即可求解
【详解】
，则 ，则
故选：C
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，属于中档题
9．D
【解析】
【分析】
建立不等式组 且 即可求解
【详解】
由题可知 ，解得 ，
故选：D
【点睛】
本题考查具体函数的定义域求法，属于基础题
10．B
【解析】
【分析】
由函数为偶函数可得 ，可求 值，再采用整体法求出 在 的范围，结合函数图像即可求解值域
【分析】
（1）分类讨论，当参数 时， 恒成立，符合题意；当参数 时，满足 ，解不等式组即可；
（2）将不等式等价转化为 在 上恒成立，令 ，不等式组化为 ， ，再采用分离参数法，通过求解关于 的函数最值，进而求解参数 范围
【详解】
（1）函数 的定义域为 ，即 在 上恒成立，
当 时， 恒成立，符合题意
当 时，必有
13．若向量 ， 为单位向量， 与 的夹角为 ，则 ______.
14．已知一个扇形的面积为 ，弧长为 ，圆心角为 ，则函数 的单调递增区间为______.
15．奇函数 对任意实数 都有 成立，且 时， ，则 ______.
16．函数 的最小值为_______.
17．求下列表达式的值.
（1） ；
（2）已知： ， .
5．B
【解析】
【分析】
先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解
【详解】
由题可知， 或 ，
可看作 ，则 为增函数， ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，根据复合函数的增减性，当 时， 为减函数
故选：B
【点睛】
本题考查对数型复合函数的增减区间判断，属于基础题
6．C
【解析】
【分析】
由幂函数的性质可求参数 和幂函数表达式，将 代入即可求解
为方程 的两根，
即 的两根，
故 ；
而
则 ，
即 ，解得 ，所以 ；
当直线 在图中 的位置时， 且 ，得 ；此时
则 ，得 .
所以， 的取值范围是 .
故选：A
【点睛】
本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题
13．
【解析】
【分析】
由 求出模长，再由向量的数量积公式求解即可
【详解】
综上： 的取值范围是
（2）
，对任意 总成立，
等价于 在 总成立
即： 在 上恒成立
设： ，因为 ，所以 ，
不等式组 化为
时， （当且仅当 时取等号）
时，不等式组显然成立
当 时， 恒成立
，即
在 上递减，所以 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查由具体函数定义域范围求解参数范围，由不等式恒成立求解参数取值范围，分离参数法的应用，转化与化归能力，计算能力，属于难题
第三步： 的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到 的图象
【点睛】
本题考查五点代入法的具体应用，函数解析式的求法，函数图像平移法则的具体应用，属于中档题
21．（1） ； ；（2）
【解析】
【分析】
（1）当 ， 时，求得 ， ，结合模长和夹角公式即可求解；
（2）先化简得 ，采用换元法令 ，设 ，再分类讨论 和 时对应表达式，再结合对称轴与定义域关系可进一步求解；
②当 时， 为奇函数
证明：
为奇函数
（2）当 时， 为增函数
证明：任取 ，
则
，ຫໍສະໝຸດ Baidu
在 上为增函数
在 上的值域为：
要使 在 上有零点，则
【点睛】
本题考查函数奇偶性与增减性的判断与证明，属于中档题
20．（1）填表见解析； ； ；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
（1）结合5点作图法原理即可快速求解，可判断函数周期为 ，即 ，当 时，函数值为0，可判断为正弦函数，再将具体点坐标代入即可求出对应 值；
由题可知， ，
故答案为：
【点睛】
本题考查向量数量积的计算，属于基础题
14． ，
【解析】
【分析】
由已知先求出圆心角，再采用整体代入法即可求解
【详解】
由 ，则 ，
则 ，令 ，解得 ，
故答案为： ，
【点睛】
本题考查扇形的弧长域面积公式的基本应用，整体法求解正切函数的单调区间，属于基础题
15．
【解析】
【分析】
四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．设向量 ， ，若 ，则 （）
A．6B． C．24D．
3．已知函数 的图象过定点 ，且点 在角 的终边上，则 的值为（）
（2）由（1）知， ，结合函数图像平移法则即可求解；
【详解】
1）
0
0
3
0
0
由对应关系可知，函数最小正周期为 ，故 ， ，将 代入 可得 ，又 ，故 ，故函数表达式为
，最小正周期
（2）第一步： 的图象向右平移 （个单位长度）得到 的图象.
第二步： 的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的 倍得到 的图象.
【详解】
，令 ，则此时 ，则函数过定点 ，则
故选：A
【点睛】
本题考查函数过定点的判断，已知终边上的点求三角函数值，属于基础题
4．C
【解析】
【分析】
将 转化为 ，再结合正弦函数的增减性和函数值域，即可求解
【详解】
，因 时， 为增函数，
故 ，又 ，故
故选：C
【点睛】
本题考查由三角函数诱导公式和的增减性判断函数值的大小，属于基础题
9．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
10．已知函数 为偶函数，则函数 在 上的值域为（）
A． B． C． D．
11．函数 的零点个数为（）
A．3B．2C．1D．0
12．已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，且 ， ，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
（2） ，
由 ，
即 ，
，
【点睛】
本题考查由向量的平行与垂直求解对应点坐标和参数问题，属于基础题
19．（1）详见解析；（2）增函数，证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）需进行分类讨论，当 时和当 时两种情况，结合奇偶函数定义即可判断；
（2）结合增函数定义即可求解
【详解】
解：（1）当 时， ， 既为奇函数又为偶函数
【详解】
为幂函数，则 ，则 ，则 ，
故选：C
【点睛】
本题考查幂函数解析式和函数值的求解，属于基础题
7．D
【解析】
【分析】
由最小正周期求参数 ，再代值运算即可
【详解】
因函数的最小正周期为 ，则 ，
，
故选：D
【点睛】
本题考查由函数的最小正周期求参数，函数具体值的求解，属于基础题
8．C
【解析】
【分析】
以 和 向量为基底向量，将 向量通过向量的加法和减法公式转化为基底向量，即可求解对应参数
求： 的值.
18．如图，平行四边形 的一边 在 轴上，点 ， ， 是 上一点，且 .
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）连接 ，当 为何值时， .
19．已知定义在 上的函数 .
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）当 时，判断函数 的单调性并加以证明；并求 在 上有零点时， 的取值范围.
20．某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是 还是 .翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）.
原式
【点睛】
本题考查对数式的化简求值，同角三角函数的基本求法，诱导公式的应用，属于基础题
18．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
利用平行四边形性质可得 ，结合 可得 ，
（1）将 代入即可求解；
（2）利用 ，求解关于 的一元二次方程即可；
【详解】
设点 ， ，
又平行四边形 ，
由 ，即
，
（1）当 时，即： ，
令 ，
令 ，画出函数图像，如图：
则两函数图像有两交点，故函数 的零点个数为2个
故选：B
【点睛】
本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题
12．A
【解析】
【分析】
易知 ，由表达式画出函数图像，再分类讨论 与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解
【详解】
易知当 ， 时， ，
的图象如图所示.
当直线 在图中 的位置时， ，得 ，
0
3
0
0
（1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式 ，并写出该函数的最小正周期；
（2）若利用 的图象用图象变化法作 的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法）
第一步： 的图象向右平移 _____得到 _____的图象；
第二步： 的图象（纵坐标不变）______得到 _____的图象；
【详解】
（1）当 ， 时， ，
，
（2）
令 ，则 ，
设 ，
①当 时， ，
②当 时，函数 的对称轴为 （或 ）
当 （或 ），即 时，
当 （或 ），即 时，
【点睛】
本题考查向量坐标的模长公式和角角公式求解，三角换元法在三角函数中的应用，含参二次函数在给定区间最值的求法，属于难题
22．（1） ；（2）
【解析】
因为 ，当 时， ，所以当 时， 取到最小值， ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查函数最值的求解，拆分构造函数是解题关键，属于中档题
17．（1）4；（2）
【解析】
【分析】
（1）结合对数的运算性质求解即可；
（2）由条件判断 为第二象限的角，再结合同角三角函数和诱导公式化简求值即可
【详解】
（1）原式
（2） ， ，
【详解】
因为函数 为偶函数，故 又 ，故 ，
则 ，当 时，令 ，当 时，函数取得最小值， ，当 时， ，故函数的值域为
故选：B
【点睛】
本题考查由奇偶性求解参数，在给定区间求解函数值域，属于中档题
11．B
【解析】
【分析】
可采用构造函数形式，令 ，采用数形结合法即可求解
【详解】
由题可知， ，当 时， ，
第三步： 的图象（横坐标不变）_____得到 的图象.
21．已知：向量 ， .
（1）当 ， 时，求 及 与 夹角的余弦值；
（2）若给定 ， ，函数 的最小值为 ，求 的表达式.
22．已知：函数 ， .
（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；
（2）设函数 ，若 ，对于任意 总成立.求 的取值范围.
参考答案
A． B． C． D．
4．设 ， ， ，则下列结论成立的是（）
A． B．
C． D．
5．函数 的单调递减区间为（）
A． B． C． D．
6．若 为幂函数，则 （）
A．9B． C． D．
7．已知函数 的最小正周期为 ，则 （）
A．1B． C．0D．
8． 中， 为 边上一点，且 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
易得函数周期为4，则 ，结合函数为奇函数可得 ，再由 时， 即可求解
【详解】
，
则 ，
又 ， ，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题
16．
【解析】
【分析】
可拆分理解，构造 ，由对勾函数可得 时取得最小值，又当 时， 也取到最小值，即可求解
【详解】
令 ，由对勾函数性质可知当 时， ；
1．B
【解析】
【分析】
先化简集合A，B，再求 即可
【详解】
由题可知
故
故选：B
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题
2．D
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标关系求解即可
【详解】
由
故选：D
【点睛】
本题考查由向量平行的坐标运算求解参数，属于基础题
3．A
【解析】
【分析】
采用整体法和函数图像平移法则即可求解
【详解】
，则 ，则
故选：C
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，属于中档题
9．D
【解析】
【分析】
建立不等式组 且 即可求解
【详解】
由题可知 ，解得 ，
故选：D
【点睛】
本题考查具体函数的定义域求法，属于基础题
10．B
【解析】
【分析】
由函数为偶函数可得 ，可求 值，再采用整体法求出 在 的范围，结合函数图像即可求解值域
【分析】
（1）分类讨论，当参数 时， 恒成立，符合题意；当参数 时，满足 ，解不等式组即可；
（2）将不等式等价转化为 在 上恒成立，令 ，不等式组化为 ， ，再采用分离参数法，通过求解关于 的函数最值，进而求解参数 范围
【详解】
（1）函数 的定义域为 ，即 在 上恒成立，
当 时， 恒成立，符合题意
当 时，必有
13．若向量 ， 为单位向量， 与 的夹角为 ，则 ______.
14．已知一个扇形的面积为 ，弧长为 ，圆心角为 ，则函数 的单调递增区间为______.
15．奇函数 对任意实数 都有 成立，且 时， ，则 ______.
16．函数 的最小值为_______.
17．求下列表达式的值.
（1） ；
（2）已知： ， .
5．B
【解析】
【分析】
先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解
【详解】
由题可知， 或 ，
可看作 ，则 为增函数， ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，根据复合函数的增减性，当 时， 为减函数
故选：B
【点睛】
本题考查对数型复合函数的增减区间判断，属于基础题
6．C
【解析】
【分析】
由幂函数的性质可求参数 和幂函数表达式，将 代入即可求解
为方程 的两根，
即 的两根，
故 ；
而
则 ，
即 ，解得 ，所以 ；
当直线 在图中 的位置时， 且 ，得 ；此时
则 ，得 .
所以， 的取值范围是 .
故选：A
【点睛】
本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题
13．
【解析】
【分析】
由 求出模长，再由向量的数量积公式求解即可
【详解】
综上： 的取值范围是
（2）
，对任意 总成立，
等价于 在 总成立
即： 在 上恒成立
设： ，因为 ，所以 ，
不等式组 化为
时， （当且仅当 时取等号）
时，不等式组显然成立
当 时， 恒成立
，即
在 上递减，所以 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查由具体函数定义域范围求解参数范围，由不等式恒成立求解参数取值范围，分离参数法的应用，转化与化归能力，计算能力，属于难题
第三步： 的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到 的图象
【点睛】
本题考查五点代入法的具体应用，函数解析式的求法，函数图像平移法则的具体应用，属于中档题
21．（1） ； ；（2）
【解析】
【分析】
（1）当 ， 时，求得 ， ，结合模长和夹角公式即可求解；
（2）先化简得 ，采用换元法令 ，设 ，再分类讨论 和 时对应表达式，再结合对称轴与定义域关系可进一步求解；
②当 时， 为奇函数
证明：
为奇函数
（2）当 时， 为增函数
证明：任取 ，
则
，ຫໍສະໝຸດ Baidu
在 上为增函数
在 上的值域为：
要使 在 上有零点，则
【点睛】
本题考查函数奇偶性与增减性的判断与证明，属于中档题
20．（1）填表见解析； ； ；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
（1）结合5点作图法原理即可快速求解，可判断函数周期为 ，即 ，当 时，函数值为0，可判断为正弦函数，再将具体点坐标代入即可求出对应 值；
由题可知， ，
故答案为：
【点睛】
本题考查向量数量积的计算，属于基础题
14． ，
【解析】
【分析】
由已知先求出圆心角，再采用整体代入法即可求解
【详解】
由 ，则 ，
则 ，令 ，解得 ，
故答案为： ，
【点睛】
本题考查扇形的弧长域面积公式的基本应用，整体法求解正切函数的单调区间，属于基础题
15．
【解析】
【分析】
四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．设向量 ， ，若 ，则 （）
A．6B． C．24D．
3．已知函数 的图象过定点 ，且点 在角 的终边上，则 的值为（）
（2）由（1）知， ，结合函数图像平移法则即可求解；
【详解】
1）
0
0
3
0
0
由对应关系可知，函数最小正周期为 ，故 ， ，将 代入 可得 ，又 ，故 ，故函数表达式为
，最小正周期
（2）第一步： 的图象向右平移 （个单位长度）得到 的图象.
第二步： 的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的 倍得到 的图象.
【详解】
，令 ，则此时 ，则函数过定点 ，则
故选：A
【点睛】
本题考查函数过定点的判断，已知终边上的点求三角函数值，属于基础题
4．C
【解析】
【分析】
将 转化为 ，再结合正弦函数的增减性和函数值域，即可求解
【详解】
，因 时， 为增函数，
故 ，又 ，故
故选：C
【点睛】
本题考查由三角函数诱导公式和的增减性判断函数值的大小，属于基础题
9．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
10．已知函数 为偶函数，则函数 在 上的值域为（）
A． B． C． D．
11．函数 的零点个数为（）
A．3B．2C．1D．0
12．已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，且 ， ，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
（2） ，
由 ，
即 ，
，
【点睛】
本题考查由向量的平行与垂直求解对应点坐标和参数问题，属于基础题
19．（1）详见解析；（2）增函数，证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）需进行分类讨论，当 时和当 时两种情况，结合奇偶函数定义即可判断；
（2）结合增函数定义即可求解
【详解】
解：（1）当 时， ， 既为奇函数又为偶函数
【详解】
为幂函数，则 ，则 ，则 ，
故选：C
【点睛】
本题考查幂函数解析式和函数值的求解，属于基础题
7．D
【解析】
【分析】
由最小正周期求参数 ，再代值运算即可
【详解】
因函数的最小正周期为 ，则 ，
，
故选：D
【点睛】
本题考查由函数的最小正周期求参数，函数具体值的求解，属于基础题
8．C
【解析】
【分析】
以 和 向量为基底向量，将 向量通过向量的加法和减法公式转化为基底向量，即可求解对应参数
求： 的值.
18．如图，平行四边形 的一边 在 轴上，点 ， ， 是 上一点，且 .
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）连接 ，当 为何值时， .
19．已知定义在 上的函数 .
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）当 时，判断函数 的单调性并加以证明；并求 在 上有零点时， 的取值范围.
20．某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是 还是 .翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）.
原式
【点睛】
本题考查对数式的化简求值，同角三角函数的基本求法，诱导公式的应用，属于基础题
18．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
利用平行四边形性质可得 ，结合 可得 ，
（1）将 代入即可求解；
（2）利用 ，求解关于 的一元二次方程即可；
【详解】
设点 ， ，
又平行四边形 ，
由 ，即
，
（1）当 时，即： ，
令 ，
令 ，画出函数图像，如图：
则两函数图像有两交点，故函数 的零点个数为2个
故选：B
【点睛】
本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题
12．A
【解析】
【分析】
易知 ，由表达式画出函数图像，再分类讨论 与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解
【详解】
易知当 ， 时， ，
的图象如图所示.
当直线 在图中 的位置时， ，得 ，