立体几何平行证明题

立体证明题(2)

1•如图，直二面角D- AB- E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且BF丄

平面ACE

(1) 求证：AE丄平面BCE

(2) 求二面角B-AC- E的余弦值.

2•等腰△ ABC中, AC=BC= AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将△ EFC沿EF折起，使得C 至U P,得至U四棱锥P— ABFE 且AP=BP=

(1) 求证：平面EFP!平面ABFE

(2) 求二面角B-AP- E的大小.

3•如图，在四棱锥P- ABCD中，底面是正方形，侧面PADL底面ABCD且PA=PD= AD,

若E、F分别为PC BD的中点.

(I)求证：EF//平面PAD

(n)求证：EF丄平面PDC

4•如图：正△ ABC与Rt△ BCD所在平面互相垂直，且/ BCD=90°,/ CBD=30°(1)求证：AB丄CD

(2)求二面角D- AB- C的正切值.

5•如图，在四棱锥P- ABCD中，平面PADL平面ABCD^ PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD

(1)求证：平面PADL平面PBD

(2)求二面角A- PB- C的余弦值.

6•如图，在直三棱柱ABC- A1B1C1 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是AB中点.

(I)求证：AB丄平面ACE

(H)求直线AG与平面ACE所成角的正弦值.

7•如图，在四棱锥P- ABCD中, PA丄平面ABCD / DAB为直角，AB// CD, AD=CD=2AB=2

E, F分别为PC, CD的中点.

(I)证明：AB丄平面BEF;

(H)若PA=求二面角E- BD- C.

8•如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA丄平面ABCD , PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足

AB 丄AD , BC // AD 且BC=4，点M 为PC 中点.

(I)求证：DM丄平面PBC;

BE

(2)若点E为BC边上的动点，且一一，是否存在实数人使得二面角P- DE - B的

EC

2

余弦值为-？若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由.

3

9•如图，ABED是长方形，平面ABEDL平面ABC AB=AC=5 BC=BE=6且M是BC的中点

(I) 求证：AM L平面BEC

(H) 求三棱锥B- ACE的体积；

(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面QECL平面BEC求线段AQ的长.

10. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB// CD AB丄BC, AB=2CD=2BC EA L EB

(1)求证：EA丄平面EBC

(2)求二面角C- BE- D的余弦值.

11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD// BC, / ADC=90°,平面PADL 底面ABCD O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC

(1)求证：平面POBL平面PAD

12. 如图，三棱柱ABC- A1B1C中，侧棱AA丄平面ABC △ ABC为等腰直角三角形，/

BAC=90，且AB=AA, E、F 分别是CC, BC的中点.

(1)求证：平面ABF丄平面AEF;

(2)求二面角B1- AE- F 的余弦值.

13. 如图，在菱形ABCD中，/ ABC=60°, AC与BD相交于点Q AE丄平面ABCD CF/ AE, AB=AE=2．

(I )求证：BD丄平面ACFE

(II )当直线FO与平面BDE所成的角为45。时，求二面角B- EF- D的余弦角.

14. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE- BCF和一个正四棱锥P- ABCD组合而成，ADL AF, AE=AD=2

(1)证明：平面PADL平面ABFE

(2)求正四棱锥P- ABCD的高h，使得二面角C- AF- P的余弦值是.

15. 如图，已知斜三棱柱ABC一ABC,/ BCA=90°, AC=BC=2 A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA丄AC.

(I)求证：AC丄平面A i BC;

(H)求二面角A- A i B- C的平面角的余弦值.

试卷答案

1.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）由已知中直二面角D- AB- E中，四边形ABCD是正方形，且BF丄平面ACE 我们可以证得BF丄AE CB丄AE进而由线面垂直的判定定理可得AE!平面BCE

（2）连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得/ BGF是二面角B- AC- E的平面角，解Rt△ BFG即可得到答案.

【解答】证明：（1）v BF丄平面ACE

••• BF 丄AE…

•••二面角D- AB- E为直二面角，且CBL AB,

•CB丄平面ABE

•CB丄AE…

•AE丄平面BCE…

解：（2）连接BD与AC交于G连接FG设正方形ABCD勺边长为2,

•BG丄AC, BG=…

•/ BF垂直于平面ACE由三垂线定理逆定理得FGL AC

•Z BGF是二面角B- AC- E的平面角…

由（1）AE!平面BCE 得AE! EB,

•/ AE=EB BE=

•在Rt △ BCE中，EC==…

由等面积法求得

则

•在Rt △ BFG中，

故二面角B- AC- E的余弦值为.…

2.

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.

【分析】（1）用分析法找思路，用综合法证明•取EF中点0,连接OR OC等腰三角形

CEF中有COL EF,即ORL EF.根据两平面垂直的性质定理，平面REF和平面ABFE的交线

是EF,且R0£ EF,分析得P0丄平面ABFE故只需根据题中条件证出P0丄平面ABFE即可

利用面面垂直的判定定理证得平面EFP丄平面ABFE