角平分线模型

解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE. ∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.
模型实例
剖析一 角平分线上的点向两边作垂线
如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC
证明：
如图，过点P作PD⊥AB于点D， PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F， ∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE ＝PF，∴PD＝PF 又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC （角平分线的判定）
剖析二 截取构造对称全等
模型实例
剖析二 截取构造对称全等
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点 A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由
证明：
解题：PB+PC＞AB+AC 证明：在BA的延长线上取点E, 使AE＝AB, 连接PE，∵AD平分∠CAE ∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中， ∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD, AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE ＝PC ∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝ AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC
第三讲
八年级年级秋季苏教版课件
角平分线模型
Kd 数学
1 角平分线上的点向两边作垂线 2 截取构造对称全等 3 角平分线+垂线构造等腰三角形 4 角平分线+平行线
01
角平分线上的点向两边作垂线
剖析一 角平分线上的点向两边作垂线
模型结论:
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作 PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA
经典习题
剖析一 角平分线上的点向两边作垂线
1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ， 求证：∠BAD＋∠BCD＝180°
证明：
作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F， ∴∠F＝∠DEC＝90°, ∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC， ∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C ∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°
经典习题
剖析二 截取构造对称全等
1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,
求线段BC的长
证明：
解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE， 在△ACD和△ECD中
AC EC ACD ECD CD CD
∴△ACD≌△ECD(SAS) ∴AD＝DE ， ∠A＝∠1 ，∵∠A＝2∠B，∴∠1 ＝2∠B， ∵∠1＝∠B＋∠EDB ， ∴∠B＝∠EDB， ∴EBB＝ED ， ∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE ＝AC＋DA＝16＋8＝24
模型实例
源自文库
剖析三 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, CE丄BD. 垂足为E.求证：BD=2CE.
证明：
如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°， ∴∠BAD=∠CED. ∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF. ∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE. ∴CE=EF. ∴BD=2CE.
＝72° ，
2
∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD ，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB
＋CD
03
角平分线+垂线构造等腰三角形
剖析三 角平分线+垂线构造等腰三角形
模型结论: 如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P 点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.
模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合 一”，也可以得到两个全等的直角三角形. 进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧 妙地把角平分线和三线合一联系了起来.
模型实例
剖析二 截取构造对称全等
如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与 AC－AB的大小，并说明理由
证明：
解答：AC-AB>PC-PB 证明:在△ABC中, 在AC上取一点E, 使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE ∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ， 在△AEP和△ACP中 ∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ， ∵在△CPE中 CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB
经典习题
剖析二 截取构造对称全等
2.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC， 求证：BC＝AB＋CD
证明：
证明：在BC上截取BE＝BA，连结DE，
∵BD平分∠ABC,BE＝AB,BD＝BD
∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，
∴∠DEC＝180°－108°＝72° ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝ (1180°－108°)＝36°，∴∠EDC
容易通过全等得到 PA=PB（角平分线性质）
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到 角两边的距离相等，构造模型，为边相等 、角相等、三角形全等创造更多的条件， 进而可以快速找到解题的突破口
模型实例
剖析一 角平分线上的点向两边作垂线
（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离 是
经典习题
剖析一 角平分线上的点向两边作垂线
如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，
若∠BPC＝40°，则∠CAP＝
.
解答：
如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F， 作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线， ∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP， PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC， ∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质) ∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)
＝2∠BPC＝80° ∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM ∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°
02
截取构造对称全等
模型结论:
如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射 线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接 PB，则△OPB≌△OPA
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在铁的两边 构造对称全等三角形，可以得到对应边， 对应角相等，利用对称 性把一些线段或角 进行转移，这是经常使用的一种解题技巧