高三复习理科数学不等式学案-基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

导学目标：

1.了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

自主梳理

1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：____________.

(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥________ (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a

b

≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )．

(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a2＋b22

. 3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.

4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最____值是________(简记：积定和最小)．

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：和定积最大)．

自我检测

1．“a >b >0”是“ab

2

”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 2．(2011·

南

平

月

考

)已知函数f (x )＝

⎝⎛⎭

⎫

12x

，a 、b ∈

(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab)，C ＝f ⎝⎛⎭

⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系是( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A 3．下列函数中，最小值为4的函数是( )

A ．y ＝x ＋4

x

B ．y ＝sin x ＋4

sin x

(0

C ．y ＝e x ＋4e －x

D ．y ＝log 3x ＋log x 81

4．(2011·大连月考)设函数f (x )＝2x ＋1

x

－1(x <0)，则f (x )有最________值为________．

5．(2010·山东)若对任意x >0，

x

x2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围为________________．

探究点一利用基本不等式求最值

例

1(1)已知x>0，y>0，且1

x＋

9

y

＝1，求x＋y的最小值；

(2)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋1

4x －5

的最大值；

(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．

变式迁移1 (2011·重庆)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4

b

的最小值是( )

A.7

2 B ．4 C.92

D ．5 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用

例

2

已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1

b

)≥9.

变式迁移2 已知x >0，y >0，z >0.

求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫

x z ＋y z ≥8.

探究点三 基本不等式的实际应用

例

3 (2011·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2

000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．

(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；

(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用

建筑总面积

)

变式迁移 3 (2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．

(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分)

1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1

b 的最小值为( )

A ．8

B ．4

C ．1 D.1

4

2．(2011·

鞍

山

月

考

)已知不等式(x ＋y )

⎝⎛⎭

⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

3．已知a >0，b >0，则1a ＋1

b

＋2ab 的最小值是( )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．5 4．一批货物随17列货车从A 市以a km/h 的速度匀速直达B 市，已知两地铁路线长400

km ，为了安全，两列车之间的距离不得小于⎝⎛⎭

⎫a 202 km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要( )

A ．6 h

B ．8 h

C ．10 h

D ．12 h

5．(2011·宁波月考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

3x －y －6≤0

x －y ＋2≥0

x≥0，y≥0

，若目标函数z ＝ax ＋by

(a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3

b

的最小值为( )

A.256

B.83

C.113 D ．4 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2010·浙江)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．

7．(2011·江

苏

)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝

2

x

的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．

8．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为__________________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)(1)已知0

3

，求x (4－3x )的最大值；

(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．

10．(12分)(2011·长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车

的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系y ＝920v

v2＋3v ＋1 600

(v >0)．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？

(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？