第2章-1.波函数及薛定谔方程(1)详解

方 法 二
电子一个一个的 入射，经过足够 长的时间，在屏 幕上形成同样的 衍射图样。
在电子衍射实验中，照相底片上
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显 示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样. P P
第二章
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 §2.9
波函数与薛定谔方程
波函数的统计解释 态迭加原理 §2.10 阶梯形方势 动量分布概率 §2.11 谐振子 力学量的平均值 薛定谔方程 定域的概率守恒 能量本征方程 能量本征态的一般性质 波函数的标准条件
§2.1
观点三: 电子既是粒子,也是波,是粒子和波动两象性的统 一. 不过, 这儿的波不再是经典概念下的波,粒子也不再 是经典概念下的粒子.
电子所显现的粒子性总是以具有一定的质量、电 荷等属性的客体出现,但并不与“粒子有确切的轨道” 的概念有什么必然联系.电子显现出的波动性,也只不 过是波动性中最本质的东西——波的“相干叠加性”, 并不一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在 一起.把微观粒子的“粒子性”与波的“相干叠加性” 统一起来是玻恩提出来的几率波.
1.单个平面波情况： 考虑沿x方向运动的自由粒子,其平面波为
等相面:
x,t A expikx t
相速u满足关系:
kx t c
d dx dx k ku 0, u dt dt dt k
在非相对论情况下,用德布罗意关系代入自由粒子的能 量Байду номын сангаас动量关系 可得:
0
8
6
4
迄今,我们忽略了(k) 级数展开中高于一 阶的项,这仅当介质无色散的时候才是允 许的.因为物质波在真空中也出现色散
z 0 z ,3,
2
0
d
2
dk
2

k0
0
2
4 -20
-152.2.1 -10 波包 -5 0 5 10 15 20 图 : 一些快速振 动波的叠加
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子衍射动画
2. 有限波包：
波包是不同波长和相速的一些简谐波的叠加 .为简单起 见,这里研究一群沿x方向传播的波 :
波包中心将出现在相角=kx-(k)t取极值处,因为 在这点附近,不同波数的分波相干叠加而加强得最厉害, 而不是相消.这个极值点的位置用下式确定： d 0 即 x t0 k dk 所以波包中心位置是 d x xc t dk
p E 2m
2
k 2 , k 2m
2
真空中的相速度是k的函数
E m c2 c 2 u k k p mv v
u c
结论：物质波的相速大于真空中的光速, 所以它不能与 设定粒子的速度相同.
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波 组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有 意义的，与实验事实相矛盾。
这暗示波包不保持其形式, 而是逐 渐地扩展.随时间的演化,电子将愈 变愈“胖”,这与实验是矛盾的.
观点二: 波动性是由于有大量的电子分布于空间而形成的 象声波一样的疏密波,即电子疏密相间分布而形成的纵波.
波由粒子组成,如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
结论：这种看法是与实验矛盾的 原因：它不能解释长时间单个电子衍射实验---单 个电子就具有波动性.
k k0 k k0 k k0 2 2 dk k dk k0 0

x ,t exp i0 t k exp ikx v g k k 0 t dk C x ,t expik 0 x 0 t
证明1：单电子衍射 电子一个一个的入 射，经过足够长的 时间，在屏幕上形 成衍射图样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢 原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能 量量子化这样一些量子现象。 错误的根源： 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。
波函数的统计解释
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（一）波函数 （二）波函数的解释
（三）波函数的性质
（四）自由粒子的波函数
一、波函数
问题:
(1) (2) (3) 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
微观粒子波粒二象性矛盾的分析
观点一: 电子波应理解为电子的某种实际结构,即电子 是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包 ,波包的大 小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.
经典概念中 粒子：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性
2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置 和速度
经典概念中 波：
1.实在的物理量的空间分布作周期性变化
2.干涉、衍射现象，即相干叠加性
（2）Born 波函数的统计解释几率波
我们再看一下电子的衍射实验
方 法 一
大量电子一次 入射,立即在 屏幕上形成衍 射图样。
1 x, t k exp i kx t dk 2 -
d k p 物质波包的群速度为 v g dk m m
k 2 1 k p u ( ) k 2m k 2m 2m
v g 2u c 波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 1 d 2 d 2


Cx, t 2 k xv t
sin k x vg t
g 0
由于正弦的幅角含有小量,C(x,t)只是随时间t和坐标x 缓慢地变化.所以,我们能把C(x,t) 当作近似单色波的 振幅,而把k0x-(k0)t作为单色波的相.把振幅的分子和 分母都乘以k,并简记为z=kx-vgt ,容易看到,振幅的 变化取决于因子,它有性质 sin z 1 z 0