力矩和角动量定理

定义1 向量的向量积

设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0 ≤θ≤π），则存在向量c，满足（1）向量c的模|c| = |a||b|sinθ；

（2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。

这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为

c = a × b

注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a ×b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a ×b与向量a和b构成的平面垂直，即a ×b 与a和b都垂直。

向量a和b的向量积a ×b满足以下运算性质：

（1）反交换律：a ×b = ? b ×a；图1.1 向量的向量积

（2）分配律：(a + b) × c = a ×c + b ×c；

（3）数乘结合律：(λa) × b = a ×(λb) = λ(a ×b)（λ为任意实数）。

根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）：

（1）a ×a = 0；

（2）设a和b为两个非零向量，则有a ×b = 0 ? a∥b。

设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有

（1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0；

（2）i ×i = j ×j = k ×k = 0；

（3）i ×j = k，j ×k = i，k ×i = j，图1.2 基向量之间的关系

j ×i = ? k，k ×j = ? i，i ×k = ? j。

向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则（运算过程略）

a ×

b = (axi + ayj + azk) × (bxi + byj + bzk)

= (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k

= (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx)

向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算：

a ×

b ==i ?j +k

= (aybz ? azby)i ? (axbz ? azbx)j + (axby ? aybx)k

计算时可按第一行展开，先去掉三阶行列式中基向量所在的行和列的元素，把余下的二阶行列式（称为余子式）的元素按对角线的乘积相减，然后把结果写成向量形式。

若三个向量a、b、c分别为a = (ax，ay，az)，b = (bx，by，bz)，c = (cx，cy，cz)，则它们的混合积可以按下式进行计算：

(a × b) ? c ==cx ?cy +cz

计算方法和向量积相似，把三阶行列式化为二阶行列式，只需把基向量i、j、k换成向量c 的分量cx、cy、cz即可。

定义2 力矩

在确定的参考系中，设有力F和参考点O，力的作用点A相对于参考点O的位移向量为r（由O指向A的向量），则力F对参考点O的力矩M定义为（图2.1）

M = r × F

根据上述定义，力矩M是力F的作用点相对于参考点的位移r与力F的向量积，因此力矩也是一个向量。

上述定义是力矩的一般定义，中学力学中对一点（或轴）的力矩M定义为力F的大小F与位移r垂直于力F的分量d（称为力臂）的乘积，即

M = Fd 图2.1 对参考点的力矩

这个力矩实际上是在一般定义中的力矩的一个分量（另一个分量实际上等于零）。

定义3 角动量

在惯性参考系中，设质量为m的质点A的运动速度为v，动量为p = mv，质点A相对于参考点O的位移向量为r（由O指向A的向量），则质点A相对于参考点O的动量矩L定义质点A的动量p对参考点O的矩，即（图2.2）

L = r × p

动量矩又称为角动量，这是比动量矩更通的名称，角动量也经常用字母J表示。根据上述定义，角动量L是质点相对于参考点的位移r与质点的动量p的向量积，因此角动量是向量。

按照定义，角动量与参考点的位置有关，选取不同位置的参考点，角动量的大小和方向也将不同。

如果有外力作用于质点，质点运动速度会发生变化，动量图2.2 对参考点的力矩也会发生变化，于是质点相对于参考点的角动量也会改变，即

角动量定理

在惯性参考系中，质点相对于参考点的角动量L对于时间t的变化率等于作用于质点上的外力F相对于参考点的力矩M，即

= M

证明：按照角动量的定义L = r ×p和向量积微分法则d(a ×b) = da ×b + a ×db，可以得到角动量L对时间t的变化率为

= (r × p) = (r × p) = × p + r ×

按照速度的定义和牛顿第二定律

v = ，F =

因此以上两式分别为质点的运动速度v和作用于质点上的外力F，于是

= v × p + r × F

因为p = mv为质点的动量，根据向量叉积的性质v ×v = 0，可得

= v × p + r × F = v × mv + r × F = r × F

按照力矩的定义M = r ×F，即得

= M

质点的角动量定理可以写成微分形式

dL = Mdt

上式对时间t从t1到t2积分，可得

= L2 ? L1 =

即

ΔL = H

式中ΔL = L2 ? L1，H = 称为外力的冲量矩，上式表明，外力对质点的力矩的时间积累（冲量矩）等于质点角动量的增量，这就是质点角动量定理的积分形式。