直线与平面、平面与平面垂直的性质

直线与平面、平面与平面垂直的性质

[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.

知识点一直线与平面垂直的性质定理

①线面垂直⇒线线平行

思考(1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？

(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？

答(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.

(2)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.

知识点二平面与平面垂直的性质定理

①面面垂直⇒线面垂直

(2)如果α⊥β，过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？

答(1)正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.

(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.

题型一直线与平面垂直的性质及应用

例1如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都

垂直相交.

求证：EF∥BD1.

证明如图所示，

连接AB1、B1D1、B1C、BD，

∵DD1⊥平面ABCD，

AC⊂平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1⊂平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理可证BD1⊥B1C，

又AC∩B1C＝C，

∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

跟踪训练1已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.

求证：QR⊥AB.

证明如图，因为α∩β＝AB，

PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.

因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.

因为PO∩PQ＝P，

所以AB⊥平面PQO.

因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.

因为PQ与OR确定平面PQRO，

QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，

所以AB⊥QR.

题型二平面与平面垂直的性质及应用

例2如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点.

(1)求证：VB∥平面MOC；

(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；

(3)求三棱锥V－ABC的体积.

(1)证明∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB.

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC.

(2)证明∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.

又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB. ∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.

(3)解在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝2，

∴AB＝2，OC＝1，

∴S△VAB＝

3

4AB

2＝ 3.

∵OC⊥平面VAB，

∴V C－VAB＝1

3OC·S△VAB＝

1

3×1×3＝

3

3，

∴V V－ABC＝V C－VAB＝

3 3.

跟踪训练2如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.

证明因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，

AF⊂平面SAB，AF⊥SB，

所以AF⊥平面SBC.

又因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC . 因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以BC ⊥平面SAB .

又因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA . 题型三 线线、线面、面面垂直的综合应用

例3 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.

(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离.

(1)证明 过B 作CD 的垂线交CD 于F ， 则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2. 在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.

在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 又BB 1∩BC ＝B ，所以BE ⊥平面BB 1C 1C . (2)解 三棱锥E －A 1B 1C 1的体积 V ＝1

3

AA 1·111∆A B C S ＝ 2. 在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.

同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32， A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝2 3. 故11∆A C E S ＝3 5.

设点B 1到平面A 1C 1E 的距离为d ， 则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积 V ＝13·d ·11∆A C E S ＝5d ，

从而5d ＝2，d ＝

105

. 即点B 1到平面EA 1C 1的距离为

105

.