第六章 微分中值定理及其应用 - 琼州学院质量工程

∞，）与（，+∞）分别严格单调。
11、讨论函数
（1）在x=0点是否可导？ （2）是否存在x=0的一个邻域，使f在该邻域内单调？ 12、设函数f在[a，b]上二阶可导，。证明存在一点，使得
。
13、设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且，f在（0，a）内取得最 大值。试证
。 14、设f在[0，+∞）上可微，且。证明：在[0，+∞）上f（x） ≡0。 15、设f（x）满足，其中g（x）为任一函数。证明：若，则f在 [，]上恒等于0。 16、证明：定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加。 17、证明：f为I上凸函数的充要条件是对任何，，函数
1、（1）凹区间，凸区间，拐点； （2）凹区间，凸区间； （3）凹区间，凸区间，拐点； （4）凹区间，凸区间，拐点； （5）凹区间，凸区间，拐点。 2、。
§6函数图象的讨论
（1）
x
-5
-2
1
+
0
— —— 0
+
——
— 0+
+
+
y
增凹 ↗
极大值
减凹 ↘
拐点
减凸 ↘
极小值
增凸 ↗
（2）
x
-3
0
+
0
—
+
0
+
。
6、设为n个正数，且
f（x）=。
证明：（1）；
（2）。
7、求下列极限：
（1）； （2）；
（3）。
8、设h>0，函数f在内具有n+2阶连续导数，且，f在内的泰勒公式
为
。
证明：。
9、设k>0，试问k为何值时，方程arctanx – kx = 0存在正实根。
10、证明：对任一多项式p（x），一定存在与，使p（x）在（-
由于在与内的符号相反，故为曲线的拐点。 9、（§5的第5（1）题）应用凸函数概念证明不等式，其中。 证明：设则。故f（x）为上凸函数。从而对，有 即，其中。
13、设a，b>0。证明方程=0不存在正根。
14、证明：。
15、证明：若函数f，g在区间[a，b]上可导，且，则在（a，b]内
有f（x）>g（x）。
§2柯西中值定理和不定式极限
1、试问函数在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结
论，为什么？
2、设函数f在[a，b]上可导。证明：存在，使得
§5函数的凸性与拐点
1、确定下列函数的凸性区间与拐点：
（1）y =； （2）y =；
（3）y =；
（4）y =；
（5）y =。
2、问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y =的拐点？
3、证明：
（1）若f为凸函数，为非负实数，则f为凸函数；
（2）若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数；
（3）若f为区间I上凸函数，g为Jf（I）上凸增函数，则g·f为I上
为[0，1]上的凸函数。 18、证明：（1）设f在（a，+∞）上可导，若都存在，则
。 （2）设f在（a，+∞）上n阶可导，若和都存在，则
。 19、设f为上的二阶可导函数。若f在上有界，则存在，使。
习题答案
§2柯西中值定理和不定式极限 5、（1）1；（2）；（3）1；（4）2；（5）1；（6）；（7）1； （8）； （9）1；（10）0；（11）；（12）； 7、（1）；（2）0；（3）1；（4）；（5）；（6）0；（7）； （8）。
—
—
—
—0
+
y
增凹 ↗
极大值
减凹 ↘
增凹 ↗
拐点
增凸 ↗
渐近线； （3）
x
-1
0
1
+
0
— —— 0
+
——
— 0+
+
+
y
增凹 ↗
极大值
减凹 ↘
拐点
减凸 ↘
极小值
增凸 ↗
渐近线y = x – π，y = x +π；
（4）
x
1
2
+
0
—
——
—
—
—
0
+
y
增凹 ↗
极大值
减凹 ↘
拐点
减凸 ↘
渐近线y = 0； （5）奇函数
（2）最小值，无最大值； （3）最小值。 6、边长为。 7、半径与高之比为1：1。 8、取。 9、取a=1。 10、（1）极小值，极大值； （2）极小值f（- 1）= - 2，极大值f（1）=2； （3）极小值f（1）=0，极大值。 11、极小值点，极大值点。 12、。 13、。
§5函数的凸性与拐点
f（b）≥f（a）+ m（b - a）； （2）若函数f在[a，b]上可导，且，则
|f（b）- f（a）|≤M（b-a）； （3）对任意实数，，都有。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1），其中0<a<b； （2），其中h>0。 6、确定下列函数的单调区间： （1）f（x）=； （2）f（x）=； （3）f（x）=； （4）f（x）=。 7、应用函数的单调性证明下列不等式： （1）； （2）； （3）。 8、以s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x）） 三点组成的三角形面积，试对s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中 值定理。 9、设f为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点 使得f（c）>0。证明至少存在一点，使得。 10、设函数f在（a，b）内可导，且单调。证明在（a，b）内连 续。 11、设p（x）为多项式，为p（x）=0的r重实根。证明必定是的r – 1重实根。 12、证明：设f为n阶可导函数，若方程f（x）=0有n+1个相异的实 根，则方程至少有一个实根。
。 证明：由于 。 故构造函数，由于f、在[a，b]上连续，（a，b）内可导，所以 F（x）在[a，b]上连续，（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，。 即。 5、（§2的第5（1）题）求不定式极限。 解：===1。 6、（§3的第2（1）题）求极限。 解：因为 , 所以 =。 7、（§4的第1（1）题）求函数f（x）=的极值。 解：令，解得。 又，所以在处f（x）有极大值。由于当时，，故在x = 0的邻域内f 严格递增，所以在x = 0处f（x）不能取得极值。 8、（§5的第1（1）题）确定函数y =的凸性区间与拐点。 解：令，得。 当时，，故函数y在内为凹函数； 当时，，故函数y在内为凸函数。
凸函数。
4、设f为区间I上严格凸函数。证明：若为f的极小值点，则为f在I
上唯一的极小值点。
5、应用凸函数概念证明如下不等式：
（1）对任意实数a，b，有；
（2）对任何非负实数a，b，有。
6、证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F（x）= max{f（x），
g（x）}也是I上凸函数。
7、证明：（1）f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点，
（2）；
（3）；
（4）；
（5）； （6）；
（7）；
（8）。
8、设f（0）=0，在原点的某邻域内连续，且。证明：
。
9、证明定理6、6中情形时的洛必达法则。
10、证明：为有界函数。
§3泰勒公式
1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式：
（1）f（x）=；
（2）f（x）= arctanx到含的项；
（3）f（x）= tanx到含的项。
2、按例4的方法求下列极限： （1）； （2）； （3）。 3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）f（x）=，在x = 1处； （2）f（x）=，在x = 0处。 4、估计下列近似公式的绝对误差： （1），当|x|≤； （2）。 5、计算：（1）数e准确到； （2）lg11准确到。
（3）f（x）=。
11、设f（x）=在处都取得极值，试求a与b；并问这时f在与是取
得极大值还是极小值？
12、在抛物线哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。
13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC= a km的B城，
轮船运费的单价是元/km，火车运费的单价是元/km（>），试求运河边
上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。
恒有
；
（2）f为严格凸函数的充要条件是Δ>0。
8、应用詹森不等式证明：
（1）设，有
；
（2）设，有
，
其中。
§6函数图象的讨论
按函数作图步骤，作下列函数图象：
（1）y =； （2）y =；
（3）y = x – 2arctanx；
（4）y =；
（5）y =；
（6）y =；
（7）y =；
（8）y =。
总练习题
第六章 微分中值定理及其应用
习题
§1拉格朗日定理和函数的单调性 1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使： （1） （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。 2、证明：（1）方程（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两 个不同的实根； （2）方程（n为正整数，p、q为实数）当n为偶数时至多有两个实 根；当n为奇数时至多有三个实根。 3、证明定理6、2推论2。 4、证明（1）若函数f在[a，b]上可导，且，则
1、证明：若f（x）在有限开区间（a，b）内可导，且，则至少存
在一点，使。
2、证明：若x>0，则
（1），其中；
（2）。
3、设函数f在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且a·b>0。证明
存在，使得
。
4、设f在[a，b]上三阶可导，证明存在，使得
。
5、对f（x）=ln（1+x）应用拉格朗日中值定理，试证：对x≥0有
§3泰勒公式 1、（1）f（x）=； （2）f（x）=； （3）f（x）=。 2、（1）；（2）；（3）。 3、（1）f（x）=； （2）f（x）=，。 4、（1）； （2）。 5、（1）取； （2）。
§4函数的极值与最大（小）值 1、（1）极大值；（2）极小值f（-1）= -1，极大值f（1）=1； （3）极小值f（1）= 0，极大值； （4）极大值f（1）=。 5、（1）最小值f（-1）= -10，最大值f（1）=2；
。
3、设函数f 在点a处具有连续的二阶导数。证明：
。
4、设。证明存在，使得
。
5、求下列不定式极限
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）； （12）。
6、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的
h，存在，使得
。
7、求下列不定式极限：
（1）；
§4函数的极值与最大（小）值 1、求下列函数的极值： （1）f（x）=； （2）f（x）=； （3）f（x）=； （4）f（x）=。 2、设
f（x）= （1）证明：x = 0是极小值点； （2）说明f的极小值点x = 0处是否满足极值的第一充分条件或第 二充分条件。 3、证明：若函数f在点处有，则为f的极大（小）值点。 4、求下列函数在给定区间上的最大最小值： （1）y =； （2）y =； （3）y =。 5、设f（x）在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点。证 明：若是f的极大（小）值点，则必是f（x）在I上的最大（小）值点。 6、把长为l的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所 组成的矩形的面积最大？ 7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表 面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？ 8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为。问以怎样的数 值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小。 9、求一正数a，使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值： （1）f（x）=； （2）f（x）=；
x0
1
0
—
—
—
0
+
0—
0
+
+
+
y 拐点
减凹 ↘
拐点
减凸 ↘
极大值
增凸 ↗
（6）偶函数
x
0
0
— ——
—
—
0+
y
极大值 f（0）
=1
减凹 ↘
拐点
减凸 ↘
渐近线y = 0；
（7）
x
0
++
+Leabharlann 不存 在—0
+
—0
+
不存 在
+
+
+
y
增凹 ↗
拐点
（8）设， x
增凸 ↗
极大 值 0
减凸 ↘
极小值
增凸 ↗
0
—
—
— 不存在 +
0
+
0
— 不存在 —
—
减 y凸
↘
拐点
减凹 ↘
极小值 0
增 凹 ↗
极大值
x
2
—
—
—
0
+
—
0
+
+
+
减 y凹
↘
拐点
减凸 ↘
极小值
总练习题 7、（1）e；（2）；（3）0。
增凸 ↗
典型习题解答
1、（§1的第2（1）题）方程（这里c为常数）在区间[0，1]内不 可能有两个不同的实根。
证明：记，设f（x）=0在[0，1]内有两个不同的实根，且，则。 又由于f在上连续，在内可导，所以。即。故（矛盾）。 因此方程（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实 根。 2、（§1的第5（1）题）应用拉格朗日中值定理证明不等式，其 中0<a<b。 证明：由于 （因为0<a<b）。 故可令f（x）=lnx，，然后利用拉格朗日中值定理便得证。 3、（§1的第7（1）题）应用函数的单调性证明不等式。 证明：设，则，所以f在内严格递增。又f（x）在x = 0处连续且 f（0）= 0，故当时，f（x）>0，即。 4、（§2的第2题）设函数f在[a，b]上可导。证明：存在，使得