2021学年高中数学第七章三角函数7.3.4正切函数的性质与图像课时分层作业含解析人教B版必修第三册.doc

课时分层作业(十一) 正切函数的性质与图像

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．与函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4的图像不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2

B ．x ＝－π2

C ．x ＝π4

D ．x ＝π8

D [当x ＝π8 时，2x ＋π4＝π2，而π2 的正切值不存在，所以直线x ＝π8

与函数的图像不相交．] 2．已知函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4，则其定义域是( )

A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ≠π2＋k π(k ∈Z ) B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ≠3π2＋2k π(k ∈Z ) C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π2

＋2k π(k ∈Z ) D ．⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－π2＋k π(k ∈Z ) C [由12x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠2k π＋π2

(k ∈Z )， 因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的定义域为

⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ≠2k π＋π2(k ∈Z )，故选C ．] 3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭

⎫－π4，π4内是增函数，则( ) A ．0＜ω≤2

B ．－2≤ω＜0

C ．ω≥2

D ．ω≤－2

A [根据函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，可得π4ω≤π2

， 求得ω≤2，再结合ω＞0，故选A ．]

4．函数y ＝cos x |tan x |，x ∈⎝⎛⎭

⎫－π2，π2的大致图像是( )

A B C D

C [当－π2

时，y ＝sin x ；x ＝0时，y ＝0.图像为C ．] 5．(多选题)下列说法错误的是( )

A ．函数y ＝tan x 的所有对称中心是(k π，0)(k ∈Z )

B ．直线y ＝a 与正切函数y ＝tan x 图像相邻两交点之间的距离为π

C ．y ＝2tan x ，x ∈⎣⎡⎭

⎫0，π2的值域为[0，＋∞) D ．y ＝tan x 在其定义域上是增函数

AD [A 错，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )；B 对，同y ＝tan x 的周期为π；C 对，x ∈⎣⎡⎭

⎫0，π2时，tan x ≥0；D 错，它的单调区间只在⎝

⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数，由此可知D 错．]

二、填空题

6．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图像相邻两支的交点的距离为________． πω

[直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图像相邻两支的交点的距离正好是一个周期．] 7．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭

⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________． [－1,0) [函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭

⎫－π2＝π，即π|ω|

≥π，故|ω|≤1，所以－1≤ω<0.] 8．函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦

⎤－π4，π4的值域为________． [－4,4] [因为－π4≤x ≤π4

， 所以－1≤tan x ≤1.

令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]．

所以y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.

所以当t ＝－1，即x ＝－π4

时，y 的最小值为－4， 当t ＝1，即x ＝π4

时，y 最大值为4.

故所求函数的值域为[－4,4]．]

三、解答题

9．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，f (x )＝k ＋tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π3不存在正的函数值，求实数k 的取值范围． [解] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，

2x －π3∈⎣⎡⎦

⎤0，π3， f (x )＝k ＋tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π3不存在正的函数值， 即f (x )≤0，即k ≤－tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π3恒成立， 故k ≤－tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π3的最小值． 因为tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π3∈[0，3]， 所以－tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π3∈[－3，0]， 所以k ≤－3，

故实数k 的取值范围为(－∞，－3]．

10．已知函数f (x )＝3tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π3. (1)求f (x )的定义域与单调区间．

(2)比较f ⎝⎛⎭⎫π2与f ⎝⎛⎭

⎫－π8的大小． [解] (1)由函数f (x )＝3tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π3， 可得2x －π3≠k π＋π2求得x ≠k π2＋5π12

，k ∈Z ， 故函数的定义域为

⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ≠k π2＋5π12，k ∈Z . 令k π－π2<2x －π3

，k ∈Z ， 求得k π2－π12

，k ∈Z . 故函数的单调增区间为

⎝⎛⎭

⎫k π2－π12，k π2＋5π12，k ∈Z . (2)f ⎝⎛⎭⎫π2＝3tan 2π3＝－3tan π3

<0，