1.质点运动的矢量描述

且互相垂直。由三角形的关系，可求得法向加速度为：
代入数据，得 an
g 2 at2
gv0 v02 (gt)2
at
9.82 5
8.36m s2
302 (9.8 5)2
an
9.8 30 5.12m s2 302 (9.8 5)2
§1-3 运动的两类基本问题
体积元
dV r2 sindrdd
§1-1 质点 参考系 坐标系
平面极坐标系 ( planar polar coordinates )
eθ er r
θ
自然坐标系 ( natural coordinates )
en
et
顺着已知轨道建 立起来的坐标系
§1-1 质点 参考系 坐标系
三．运动方程
消去参数 t 得 x = ( y 3)2 抛物线方程
(2)运动方程写成位置矢量形式 r xi yi 4t2i (2t 3) j
t 0， r0 3 j t 1， r1 4i 5 j r r1 r0 4i 5 j 3 j 4i 2 j
方向 cos xB xA cos yB yA cos zB zA
r
r
r
§1-2 位移 速度 加速度
2.注意
•位移是矢量，有大小有方向；
•位移既表明B点与A点之间的距离，又表明B点相对于A
点的方位。 •区分位移与路程；
位移指位置矢量的变化 路程指运动轨迹的长度
dx i dy j dz k dt dt dt
vxi
•大小： v v
vx2

v
2 y

vz2
•方向：是沿着轨迹上质点所在点的
vy
j

z
vzk
rA
切线方向并指向质点前进的一侧。
4. 瞬时速率
O
ArB B
rB
y
v ds v dr dr
y
vA
v
vB
§1-2 位移 速度 加速度
2. 瞬时加速度
lim a
v
Δt→0 t
dv dt
d2r dt 2
a
dv dt

d dt (vxi
vy j vzk )
dvx dt
r i
dvy dt
r j

dvz
dt
r k
d2x d2y dt2 i dt2
d2z j dt2 k
质点运动时，它的位置P(x,y,z)随时间变化，是时 间的函数,则
x x(t)

y

y (t )
z z(t)
运动方程
f (x, y, z) 0
轨迹方程
§1-1 质点 参考系 坐标系
例 自由落体运动的运动方程
y 1 gt 2 2
例 平抛运动的运动方程
x

v0t
y
rA
O
r
rB
B r rB rA (xBi＋yB j zBk ) (xAi ＋yA j zAk )
y (xB xA )i (yB yA )j (zB zA )k
x 大小 r xB xA 2 yB yA 2 zB zA 2
第一类问题:已知运动方程, 求质点的速度和加速 度——微分法.
第二类问题:已知速度函数(或加速度函数)及初始 条件, 求质点的运动方程或轨迹——积分法.
§1-3 运动的两类基本问题
例 一质点的运动方程为 x = 4t2, y = 2t + 3,其中x和y 的 单位是米，t 的单位是秒。试求：（1）运动轨迹；（2） 第一秒内的位移；（3）t = 0 和 t = 1两时刻质点的速度和 加速度。 解：(1)由运动方程 x = 4t2 y = 2t + 3
t0 t t0 t
y Q s P
O x
v R
at
dv d(R) R
dt dt
an

v2 R

R 2
§1-2 位移 速度 加速度
• 圆周运动的加速度图示
at

dv dt

R
an

v2 R

R2
§1-3 运动的两类基本问题
质点运动学的两类基本问题
et
P
en
Q et
en
切线方向, 正方向为运动
的前进方向，单位矢量 et ;
•一根沿轨道法线方向, 正方向指向轨道内凹的一侧，单位矢
量 en 。
•沿着轨道各点坐标系方位不断变化。
§1-2 位移 速度 加速度
2.v自 然v坐e标t 系中的a加速d度dt
(vet
)

加速度切向分量
dv dt
et

v
det dt
？
det det d dt dt dt
det dt
方向为法向方向 en
et det d et
et et
en en d
det dt

d
dt
en

Rd
Rdt
en
1 R
ds dt en

v R

en
§1-2 位移 速度 加速度
a

dv dt
et

v
v R
将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为
vx

dx dt

d dt
(v0t )

v0
vy

dy dt

d dt
(1 2
gt 2 )

gt
因而小球在t时刻速度的大小为 v
v
2 x

v
2 y

v02 ( gt)2
§1-3 运动的两类基本问题
例 一球以30m·s-1的速度水平抛出，试求5s钟后加速 度的切向分量和法向分量。
§1-1 质点 参考系 坐标系
柱坐标系 ( cylindrical polar coordinates )
面积元
dS ddz
体积元
dV ddzd
§1-1 质点 参考系 坐标系
球坐标系 ( spherical polar coordinates )
面积元
dS r2 sindd
例 离水面高度为h的岸边，有人用绳拉船靠 岸。当人以v0的速率收绳时，试求船的速度 和加速度。
§1-3 运动的两类基本问题
例 一质点的运动方程为 x = 4t2, y = 2t + 3,其中x和y 的 单位是米，t 的单位是秒。试求：（1）运动轨迹；（2） 第一秒内的位移；（3）t = 0 和 t = 1两时刻质点的速度和 加速度。
（3）
v dr dx i dy j 8ti 2 j dt dt dt
1.角位置（rad）
•位矢与 x 轴夹角θ
yQ

P
O x
2.角位移 （rad）
•角位置的变化⊿θ
•注意：角位移不但有大小而且有转向,逆正、顺负
3.角速度（ rad·s-1
•平均角速度
）

t
•瞬时角速度 lim d
t0 t dt
§1-2 位移 速度 加速度
3.坐标系
•定义：从数量上确定物体相对于参考系的位置。 •直角坐标系、柱坐标系、球坐标系、平面极坐标系、自 然坐标系
§1-1 质点 参考系 坐标系
3. 坐标系 ( coordinate system )
直角坐标系 ( Cartesian system )
y
面积元
dS dxdy
O z
体积元
x dV dxdydz
§1-1 质点 参考系 坐标系
一．质点 (particle)
1.定义：具有一定的质量而可忽略其形状和大小 的物体。
2.注意：
•质点是一种理想模型；
•质点与数学中几何点的区别；
•质点具有相对性。
1.50108 km
R地 6370km
§1-1 质点 参考系 坐标系
二．参考系(reference frame)和坐标系 (coordinates)
t t
x
Ars B
rB
y
•平均速度的方向与位移方向相同。
2.平均速率：质点的路程与相应时间的比值。
v s t
v v •注意：速度为矢量，速率为标量；
§1-2 位移 速度 加速度
3. 瞬时速度
v lim rr
drr

d
(xi
yj zk )
t0 t dt dt
角速度的方向
用右手确定 螺旋前进的方向
§1-2 位移 速度 加速度
4.角加速度（rad·s-2）
•平均角加速度
t
•瞬时角加速度 lim d
t0 t dt
线量和角量之间的关系
s R
s R
t t
v lim s lim R R
en

dv dt
et

v2 R
en
dv •切向加速度：描述质点速率变化快慢 at dt
•法向加速度：描述质点速度方向变化快慢 •加速度的大小
an

v2 R
a at2 an2
an at
•加速度的方向
arctan an
a
at
§1-2 位移 速度 加速度
• 一般曲线运动的加速度图示
at

dv dt
an

v2 R
§1-2 位移 速度 加速度
讨论：
1.如果质点的速度的大小不变，只是方向 改变，它只有法向加速度(向心加速度)， 质点就作匀速曲线运动（是否一定是匀速 圆周运动？）；
2.如果质点的速度的方向不变，大小变化， 就是变速直线运动。
§1-2 位移 速度 加速度
六．圆周运动的角量描述

1 2
gt 2
y g x2
2v
2 0
轨迹方程
§1-2 位移 速度 加速度
一．位置矢量(position vector)
1.定义：原点指向质点所在位置的矢量, 简称位矢。
z
位矢 r＝xi yj zk
k

r


O i
j
x
P(x,y,z)
大小 r r x2 y2 z2
1.运动的绝对性与相对性
•运动本身的绝对性：所有的物体都在不停地运动，没有 绝对不动的物体； •运动关系的相对性：描述物体是运动或静止总是相对于 某个选定的物体而言的。
§1-1 质点 参考系 坐标系
2.参考系
•定义：为描述运动，被选作参考的物体。 •注意：
参考系的选择是任意的，主要根据问题的性质和研究方便而定； 在描述物体的运动时，必须指明参考系； 一般若不指明参考系，则认为以地面为参考系。
a dv 8i dt
t 0 v 2 j , a 8i t 1 v 8i 2 j , a 8i
§1-3 运动的两类基本问题
例 一球以30m·s-1的速度水平抛出，试求5s钟后加速 度的切向分量和法向分量。
解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为
x v0t
y 1 gt2 2
axi ay j azk
§1-2 位移 速度 加速度
2.
瞬时加速度
•大小： a a
•方向：
ax2

a
2 y

az2
直线：与速度同向或反向；
曲线：指向轨迹曲线凹的一侧。
vA vB
vA
B
A
vB
§1-2 位移 速度 加速度
五．切向加速度和法向加速度
1.自然坐标系
•在运动轨道上任一点 建立正交坐标系; •其一根坐标轴沿轨道
故小球在 t 时刻切向加速度的大小为
dv d at dt dt
v02 (gt)2
g 2t v02 (gt)2
因为小球在任意时刻，它的切向加速度与法向加速度满足
g an at
§1-3 运动的两类基本问题
例 一球以30m·s-1的速度水平抛出，试求5s钟后加速 度的切向分量和法向分量。
x
dt
Байду номын сангаас
dt dt
§1-2 位移 速度 加速度
z
四. 加速度(acceleration)
描述质点速度变化快慢程度的
rA
物理量。 O
1.平均加速度
•速度增量 v vB vA
x
•平均加速度 a v vB vA t t
•平均加速度的方向与速度增量方向一致。
A vA
B
rB
vB
方向
y cos x cos y cos z
r
r
r
2.注意：位矢是矢量，且具有相对性和瞬时性。
§1-2 位移 速度 加速度
二．位移矢量(displacement vector)
1.定义：把由始点到终点的矢量定义为质点的位移
矢量，简称位移。它是描述质点位置变化的物理量。
z
A
rA r rB
r s
z rA
O
A s r B
rB r
y
t 0, dr ds x
r rB rA r rB rA
§1-2 位移 速度 加速度
三. 速度(velocity)
z
描述质点位置变化快慢程度的物理量。 rA
1.平均速度：质点的位移与相应
时间的比值。
O
v r rB rA
第1章作业
1.1 1.6 1.8
补充题：推导匀变角速度运动的三个运动学方程：
ω ω0 αt


θ0
ω0t

1 2
αt 2
ω2 ω02 2α( 0 )
第1章 质点运动的矢量描述
•主要内容：
三个概念：质点、参考系、坐标系； 四个物理量：位矢、位移、速度、加速度； 运动关系的相对性（了解）。