三角恒等变换经典例题

三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

(1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=- (2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

(3）β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-

(4）β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+

(7) sin cos a b αα+

=

)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决

定

,sin tan b

a ϕϕϕ=

== ，该法也叫合一变形). (8)

)4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4

tan(tan 1tan 1θπ

θθ-=+-

2. 二倍角公式

（1）a a a cos sin 22sin = （2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2

2

2

2

-=-=-=a a a a a

（3）

a

a

a 2tan 1tan 22tan -=

3. 降幂公式：

（1）

22cos 1cos 2a a +=

（2） 22cos 1sin 2

a a -=

4. 升幂公式

（1）2

cos 2cos 12

α

α=+ （2）2

sin

2cos 12

α

α=-

（3）2)2

cos 2(sin sin 1α

α

α±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2

cos

2

sin 2sin α

α

α=

5. 半角公式（符号的选择由

2

θ

所在的象限确定） （1）

2cos 12sin

a

a -±=， （2）

2cos 12cos a a +±

= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan

-=+=+-±=

6. 万能公式:

（1）2

tan 12tan

2sin 2

α

α

α+=

, （2）2

tan 12tan 1cos 2

2α

αα+-=

,（3）.2

tan 12tan

2tan 2

α

α

α-=

7，辅角公式

)sin(cos sin 22ϕθθθ++=

+b a b a 其中222

2sin ,cos b a b

b a a +=

+=

ϕϕ，比如：

x

x y cos 3sin +=

)

cos )

3(13sin )

3(11(

)3(12

2

2

2

22x x ++

++=

)cos 23sin 21(2x x +=

)3

sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x

10.

常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=

︒=︒= 3215tan -=︒, 3275tan +=︒,

专题四 三角恒等变形各类题

命题点1 和差公式的直接应用

1．(2015课标1,2) 0000

sin 20cos10cos160sin10-=（ ）

.A

B 1.2

C - 1

.2

D

2．（2017江苏，5）若1

tan()4

6

π

α-

=

，则tan α=_____________ . 3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝35，α∈(π

2

，π)，则

cos 2α2sin (α＋π

4

)

＝________.

4．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－1

2

5．(2016·全国丙卷)若tan α＝3

4，则cos 2α＋2sin 2α等于( )

A.6425

B.4825 C ．1 D.1625

6．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，π4)，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos (π

4＋θ)

等于( )

A.23

B.43

C.34

D.32

7．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知4sin

25θ

=-，3

cos 25

θ=，则θ属于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 命题点2 角的变换

8．设α、β都是锐角，且cos α＝

55，sin(α＋β)＝3

5

，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或5

25

9．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π

6)的值是________．

10．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π

12

)的值为________．

11．(2016·浙江五校联考)已知3tan α2＋tan 2α

2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于( )

A.43 B ．－43 C ．－2

3 D ．－3 命题点3 三角函数式的化简

12．（2013重庆，9）004cos50tan 40-=（

）

B

C 1 13．化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ

2

)

2＋2cos θ (0<θ<π)；化简4cos 2sin 22+-

14．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1

tan 5°－tan 5°)．

15． 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋

12

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭

⎫π4＋x ＝________.

16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝3

5，α是第三象限角，则sin π＋α2－cos

π＋α

2sin π－α2－cos

π－α

2等于

A.12 B ．－1

2

C ．2

D ．－2 命题点4 给值求值问题

17．（2017课标全国3文，4）已知4

sin cos 3

αα-=

，则sin2α=（ ） 7.9A - 2.9B - 2.9C 7

.9

D

18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝

53

14，则cos β＝________.

19．（2013浙江，6）已知R α∈，sin 2cos αα+=

则tan 2α=（ ） 4.3A 3.4B 3

.4

C - 4

.3D - 20．（2014江苏，15）已知(

,)2

π

απ∈，sin α=