向量与三角形
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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合
（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.
证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O
⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33
321
321y y y y x x x x
⇔O 是ABC ∆的重心.
证法2：如图
OC OB OA ++
02=+=OD OA
∴OD AO 2=
∴D O A 、、三点共线，且O 分AD
为2：1
∴O 是ABC ∆的重心
（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.
证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.
0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA
AC OB ⊥⇔
同理BC OA ⊥，AB OC ⊥
⇔O 为ABC ∆的垂心
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心
O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.
证明：b
AC
c AB 、
分别为AC AB 、
方向上的单位向量， ∴
b
AC c AB +平分BAC ∠, (
λ=∴AO b AC c AB +)，令c
b a bc
++=λ
B
C
D
∴
c
b a bc
AO ++=
（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a
∴0=++OC c OB b OA a
（4
）==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：
例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足
)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，
E D 、分别为边AC BC 、的中点.
AD AC AB 2=+
∴AD OA OP λ2+=
AP OA OP += AD AP λ2=∴
AP ∴//AD
∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .
例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足AC AB OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ ，
则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
分析：AC
AB
分别为AC AB 、方向上的单位向量，
∴
+
BAC ∠,
∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .
例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足
AC AB OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的
B C
D
（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足
. AC AB +
BC ⋅
+
+
=-
=0
∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .
练习：
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．
2
3
C ．3
D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( ) A ．
21 B ．0 C ．1 D ．2
1
- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形
ABOC 面积之比是（ ）
A ．0
B ．
23 C ．45 D ．3
4
4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若2
2
2
OB BC OA =+
2
22AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，