2014年全国高考数学分类汇编--数列

2014年全国高考数学分类汇编-数列
全国2014年高考数学（理科）分类汇编
1（2014福建理）3.等差数列｛a n｝的前n项和S.，若a i 2,S3 12，贝V a6 （）
A.8
B.10
C.12
D.14
2（2014广西理）10.等比数列3”｝中，
a4 2,35 5，则数列｛lg a…｝的前8项和等于（）
A. 6 B . 5 C . 4 D . 3
3（2014广西文）8.设等比数列｛a”｝的前”项和为S n，若S2 3,S4 15,贝V S6 （）
A. 31 B . 32 C . 63 D ・64
4（2014重庆文）2.在等差数列｛a…｝
中,印2,a3 a5 10，则a7 （）
A.5
B.8
C.10
D.14
5（2014辽宁文理）8.设等差数列啣的公差为d, 若数列｛2宀为递减数列，则（
A. d 0
B. d 0
C. a-|d 0
D. a1d 0
6（2014天津文）5.设a…是首项为a,,公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若s, S2, S4,成等比数列，则a1=（
A.2
B.-2
C. 1 D . 1
2 2
7（2014课标2文）（5）等差数列a n
的公差为2,
若a 2
, 34
, a 8
成等比数列，则a 的前n 项和S.= () (A ) n n 1 ( B ) n n 1
8（2014重庆理）2.对任意等比数列{a n
},下列说法 一定正确的是 （ ） A. 31
,33
,39
成等比数列 B. a 2
,a 3
,a 6
成等比数列
成等比数列 D -a 3,a 6,a 9
成等比数列
9（2014安徽理）12.数列a n
是等差数列，若31
1， 3
3
3
， 35
5构成公比为q 的等比数列，贝y q _____________________ .
10（2014安徽文）12.如图，学科网在等腰直角三 角形ABC 中，斜边BC 2
迈，过点A 作BC 的垂线，垂足为 几；过点
片作AC 的垂线，垂足为 A 2
；过点A 作AC
的垂线，垂足为A 3
；…， 以此类推，设BA 31 , AA 1 32
, A 1A 2 33，•…, A 5A 6 37，贝U 37
.
11（2014北京理）9.若等差数列a n
满足
a-i a 8 a
9
0 , a 7 a io
0 , 则当n _____________________
(C )呼(D) n n 1
2~
时a”的前n项和最大.
12（2014广东理）13 .若等比数列a n的各项均为正数，且a0a” a g a>2 2e5，则
ln a1 In a2In a2n_________ . ______
13（2014广东文）13.等比数列a n的各项均为正数，且时 5 4 ,贝U Iog2 a1 Iog2a2 Iog2a3
Iog2 a4 Iog2 a5 ___________________________________
14（2014江苏文理）7.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中,a2 1, a8 a6 2a4,则a6 的值
是____
15（2014江西文）14.在等差数列｛a…｝中，& i，公差为d，前n项和为｛an｝，当且仅当n 8时S取最大值，则d 的取值范围___________ .
16（2014天津理）（11）设a n是首项为&，公差为-1的等差数列，S n为其前n项和.若S0S4成等比数列，则a 的值为_______________ .
17（2014课标2文）（16）数列a n满足
a n 1,a2=2,贝H a i = __________
【答案】CCCBC DAD 9. 1 10. 111. 8
16.仃.1
全国2014年咼考数学（文史）分类汇编 1（2014重庆文）16.已知a n 是首项为1, 公差
为2的等差数列，S n
表示a n
的前n 项和.
（I ）求 a n 及 S ；
（H ）设b n
是首项为2的等比数列，公比q 满足 q 2
色1 q S 0，求b n
的通项公式 及其前n 项和T n
.
【点拨】⑴a 2n 1,S n 2
；
(n )由 q 2
a 4
1 q S 0得 q 4 ,所以 b n
2
2n1
,T n 2(4n 1)
2（2014重庆理）22.设
a 1 1,0.1 .a ： 2a n 2
b （n N*）
（1）若b 1,求a 2
,a 3
及数列｛%｝的通项公式；
⑵ 若b 〔，冋：是否存在实数C 使得a 2n
c a 2n 1
对所有 n N*成立？证明你的结论.
5n
2
【点拨】(1) a 1,a2 2,a3 5.2 1,& 1,
猜想a n 1 1(可数归完成)；
(2)设函数f(x) x2 2x 2 1,令f(x) x 得不动点x 4.仿(1)得a1 1,a2 0,a3 2 1,
用数学归纳法可证明:a2n 1 a2m. 事实上,1O当n 1 时,32 0 4 v2 1 a3显然成立.
2o.假定当n k时,a2k ： 32k 1成立,那么
「"当n k 1 时，Qa2k 2 f (a2k 1) (a2k 1 1)21 1
(a2k 2 1)2 (32k 1 1)21 (32k 2 1)2([ 1)2 1
这就是说当n k 1时,a2k2 1 a2k 3也成立.
3（2014浙江文）19、已知等差数列｛a n｝的公差d 0, 设｛a n｝的前n 项和为S n，a1 1，S2 S3 36.
(1)求d及S n ；
⑵求m,k （m,k N*）的值，使得
i 3m 1 3m 2 L 3m k 65
【点拨】（1） d 2,S n n2；
⑵Q3m 2m 1, (k 1)(2m 1)冬严 2 65
4（2014浙江理）19.已知数列｛3n｝和｛b n｝满足a&L 3n
（ 2）s（n N ）.若｛a n｝为等比数列，且 3 2,& 6 b
又32k 3 f (32k 2) (32k 3 1)2(32k 2 1)2 1
1 4
3
k
2
a
(k 1)(2m k 1) 5 13 k 1 5 k 4 ... 2m k 1 13 m 5
⑴求a n
与b n
；
(2)设c a _L
(n N).记数列｛c n
｝的前n 项和为S n
. ( i ) 求 S ； (ii )
求正整数k ，使得对任意nN ，均有& 【点拨】(1)
aa 2a 3 \2 ,a i a 2
得 a 3
26
8 .从而 q 2, a n a s
q
n 3
2n
.
由 a i a 2
L a n
( 2户 2 2
)
2【b n(n 1)
(2) G 丄1
吉(丄斗).所以
a n t n 2n n n 1
(i) S ci
a a L a 古》(分组裂项)
(ii)
Q^ ML 1 i)
鳥 1)2"，易见",
C 2,C 3,C 4 0,当n 5寸,c n
0. 可见S 4
最大,即
S 4 S n . k 4
■
5(2014 a n 1
3a n
1 .
(I)证明
(U)证明： 【点拨】(I)
在
a n 1 3(
『2
),可见数列a 1是以3为公比,以a 1 3
为首项 的等比数
列.故
a n 2
贰1
叮.
(H)法1(放缩法)Q^尹
课标2理)17.已知数列a n
满足a=1, 1
是等比数列，并求a n
的通项公式; 丄1…+丄3
a 1 a 2 a n
2 -
a n1 3a n 1
中两边加2：
a
2 3n 1 1 2 1 2 1 L 2 1 1 1 32 1 1 3
3 1 1
3n 1 1
1
2 （本题用的是"加点糖定理"）
法2（数学归纳法）先证一个条件更強的结论
20
■假疋对于n 新命题成立,即
1 3 1 3
a 2 2 3n1 2
天津文理）19.已知q 和n 均为给定的大于 1的自然数■设集合
M 0,1
,2
丄,q 1
,集合
A xx X 1 X 2q L x!q n 1,x M ,i 1,2,L ,n
（1） 当q 2 , n 3时，用列举法表示集合A ； （2） ^设 s,t ? A , s ai a 2
q L a n
q n 1
,
t b bq L bq n1
,其中 a,b M , i 1,2,L ,n .证明：若 3n
b ,则 s< t . 【点拨】
（I ）解：当q 2 , n 3时，M 0,1 ,
2x 2 4x s ,x 酣弓卑,2,3为 x ^x 中^ x,x 2,X 3
0 0 0 0
勺 1
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
0 0
1 1 1
1 a
2 31 2 1 1 L 1
32 93
a n L
1a3 1氏
1al
13n
0 ^1 2 3 2 2 1 1 a
新命题成立.
T
,那么对于n
一
2
3 2
1al L 1a
1al
1al a
1-a 1a3 1al
3n
3n
3n
6（2014 _ 2 3 2 4 3 5 4 1a2
可得， A 0,12,3,4,5,6,7 .
(H)证明：由 s,t?A , s a a 2q L a n
q n 1
, t bi bq L b n
q n 1
, Q,b M
s t
a i
b a 2 b ? q L an i b n i q n 2
a n
q n 1.
q 1 q 1 q L q 1 q n 2 q n 1
7(2014四川文)19.设等差数列｛a n
｝的公差为d ，点 (命)在函数f(x) 2x
的图象上(nN ). (I)证明：数列⑹为等比数列；
(H) 若& 1 ,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2
)处的切线在x 轴 上的截距为2侖，求数列｛a n
b 2
｝的前n 项和S n
.
【点拨】(I) 丫亍2d
…
(H) f (x) 2x
ln2 , k 刀
2勺n2 .切线方程
y 2a2 2
判n2(x a 2
),依题设有a 2
爲2
爲
a 2 2
, b 2
4 . ^从a n b
n
2
n 4n
(等比差数列,乘公比、错位相减)得
(3n 1)4n1 4
$ 9
8(2014四川理)19.设等差数列｛a n
｝的公差为d , 点
®,b n
)在函数f(x) 2x
的图象上(nN *
).
(I) 若4 2，点(a 8
,4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列｛a n
｝
i 1,2
丄，n 及
a
n b
n
，可得
q 1 1 q n 1
q n 1 1 o
.所以， s< t .
的前n 项和S n
；
(2) 若 a 1，函数f(x)的图象在点(a 2,b 2
)处的切线在X 轴 上的截距为2需，求数列©的前n 项和T n
.
【点拨】(1) Q4b 7
2a8
2a8 2
b r
2
a7
d 2
. S n 2
3n ；
(2) f (x) 2X
ln2， k 切
2Tn2 . 切线方程 y 2a2
魯n2(x a 2),依题设有a 2
爲2
爲 比 2 , b2
4 .从而 b n 2
1
(等比差数列,乘公比、错位相减)得T n
2
n
2n
2
9(2014上海文)23.已知数列满足
3a n a n 1 3a n ,n N 1
(1) 若32
2,83
x,a 4
9，求x
的取值范围；
(2) 若｛a n
｝是等比数列，且a m
血，求正整数m 的最小值,
以及m
取最小值时相应｛aj 的公比；
(3) 若a 1,a 2,L ,a 100成等差数列，求数列 a 1,B 2
,L ,9!00
的公差的取值范围.
⑵易见 a
n
0,
3a n a n 1 3a n
3 q 3
又am
10k 1 qm1 (3
)m1 m 8,m 8
.
q 宦
10 -
(3) ^①当 n 1 时,a 1, [a a 1
d 3a
1
3
【点拨】(1)由
a 2 a 3 3a 2 a 3 a 4 3a 3
x [3,6]
；
②当 2 n 100时
,印 iga.! a n
3am d 2器取 n
1gd i99.
综上島 d 2
・
10（2014上海理）23.已知数列｛a n ｝满足
1 3a n an 1 3
环门 N 1 -
(1)若 a 2
2,a 3
x,a 4
9 ,
⑵没a n
是公比为q 等比数列，
S n a 1 a> a j L a n
，
ig,
S, 1 3S,n N
求q 的取值范围;
3
（3）若a 1,a 2
,L ,a
k
成等差数列，且
a 32
L a k
1000，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值 时相应数列a 1，a 2
,L 耳的公差.
【点拨】（1）由
3：
（2）由加 a n q 3a n
,ai 1 [
3S S a 1q 3S i ,
1 q 2.
下面证明任意的n 2,上式都成立. ①当q 1时,显然成立. ②当q 1
时,
显然成立.对于右不等式等价于 亡严 0.令f （x ）—q 二X1）,
1 q 1 q f (x) q
； l J q
(q 3) 0,要使 f(x) 0,只需 f(1) 0即書0 q 2 .结合q /
a 3 3a
2 ”
x [3,6]； a 4 3a
3
，结合 1
1 (1 q n
) 1(1 q n 1
)
3 1 q 1 q
3罟,其中左不等式
11（2014山东文）（19）在等差数列｛a n
｝中，已知公 差 d 2
, a 2是a 1与a 4
的等比中项. （I ）求数列｛a n
｝的通项公式;
（1）n
b ，求 T n
.
【点拨】（I ） 21
2 , an 2n
（D ） h n （n 1
）（分奇偶讨论求和）
（n 为奇数）
1 n （n 2）
（为偶数）
12（2014山东理）19.已知等差数列｛a n
｝的公差为 2,前n 项和为S n
，且S 1
,S 2
,S 4
成等比数列.
（I ）求数列｛a n
｝的通项公式；
（H ）令b （ 1厂盘，求数列｛b n
｝的前n 项和T n
.得到
【点拨】（I ） a 1,a n
2n 1
；
n
取
2n1 1000 k a i
(
2 1) d
k(k 1) 2 2 2k 1)
k 1999
,从而当 k 1999时,q
2 1999 -
(II )设 b
，记T n
q
a
3
k
2
S n
3n 2 n
(n ) b n ( 1
叱
1 2n 1 1]
(分奇偶讨论,最后合
并)T
n
2n
；m ( 1)
n
.
13（2014课标1文）17.已知a n
是递增的等差数 列，a 2
，a 4
是方程X 2
5x 6 0的根。

（I ）求a n
的通项公式； （n ）求数列务的前n 项和.
【点拨】（I ）韦达定理，&切1；
n ）
差比数列，乘公比、错位相
^减）s 2
n ?"4
.
14（2014课标1理）17.已知数列｛a n
｝的前n 项和 为S , a 1
= 1 , 0 , an^ 1 S 1
，其中为常数. a n 2 3n
;
（n ）由（I ）知 a 1,a 2 1,a 3
1,
d 觅a 2
2
,从而4
即a n
2 a 4
,这说明隔项目抽出来的子 数列是公差为4的等差数列,则原母数列应是公差为 2的等差数列.
15（2014江西文）17.已知数列a n
的前n 项和
(1)求数列a n
的通项公式；
(I )证明: a n 2
a
n
（n ）是否存在 ，使得｛ a n
｝为等差数列？并说明理由
a n a
n 1
a
n 1a
n 2
S n 1
1
(I)
⑵证明：对任意n 1 ,都有m N，使得a i, a n, a m成等比数列.
【点拨】(1) a s i,当n 2时 a s n s n i
L 3n 2(Q 也适用),故a n 3n 2.
(2) 1 (3m 2) (3n 2『m 3n2 4n 2
Q(3n2 4n 2) N，所以命题成立.
16(2014江西理)17.已知首项都是1的两个数列
『b n，满足a n b n 1 3 1匕2b n 1匕0 .
(1)令G咅，求数列G的通项公式；⑵若b 3n1，求数列｛a n｝的前n项和S.
【点拨】(1)由aA 1 a n 1b 2b n 10 0
阳导2,即C n1 C n 2,可见数列C n是
以C1 b1为首项,以d 2为公差的等差数列，
C n 2n 1.
(2) Q,1 2n 1, a n (2n 1)3n1.(差比数
列,乘公比、错位相减).故S (n 1)3 1.
17(2014江苏文理)20.设数列｛a n｝的前n项和为S n. 若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n a m，则称｛a n｝是“ H数列”.
(1)若数列｛a n｝的前n项和S n 2n(n N),证明:｛a n｝是“ H 数列”；
⑵设｛a n｝是等差数列,其首项a1 1,公差
d 0.若｛a n｝是“ H数列”,求d的值；
(3) 证明：对任意的等差数列｛a n｝，总存在两个“ H数列｛b n｝和｛C n｝，使得a n 5 5
(n N)成立.
【点拨】为叙述方便,称“ H数列”为“回归数列”
(1) a S 2当n 2时a S n Si 2n 1,
S 2n am,即回归点为m n 1.
(2) Qa n dn (1 d)
^又S n %n2 (1》n a m dm 1 d
m 2n2 (d 1)n 1 1.
令
d k(k 1,k N) 1 1 k
1
m血严.因为n与[n (1 2k)]总有一个是偶数,所以mN, 存在回归点m.
S n a m,这时d占1,k N).例如
k 2时,d 1 .
(3) Qa n dn (a d) nai (n 1)(d a) 令b n nag (n 1)(d a” .
对于b n n&,其前n项和T n(； "a 令T” g
得回归点m誓N.
对于a (n 1)(d a),同法可得回归点讯血严N .因为mm有共同回归点m, 故命题得到证.
18(2014湖南文)16.已知数列a n的前n项和
2
S ^2^, n N ■
(I)求数列a”的通项公式；
(n )设b n 2a n 1n a n，求数列b”的前2n项
和.
【点拨】(I) an；
(n )b. 2n ( 1)n n. T2n 22n1 n 2(分组求和,并项求和)
19(2014湖南理)20 •已知数列｛a n｝满足
n *
a1 1,| a. 1 a n | p ,n N .
(1)若｛a n｝是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求P的值；
⑵若P 1，且｛a2n 1｝是递增数列，｛a2n｝是递减数列，求数列｛a n｝的通项公式.
【点拨】(1) Q｛a n｝是递增数列，a n1 a n
|a n 1 a n | P n,由4a2 a 3a3
3(a3 a?) a2 a1 3p2 p p 1(Q p 0).
(2) Q｛a2n1｝是递增数列，a2n1 a2…1 0
(a2n1 a2n) (a2 n a2n1) 0
,故后者为正.
2122I (1)
上式中两括号内必有点一个为正，注意到
10(10 3n) ■
a 2n a 2n1
缶；同理,a 2n1
d 右.两式合并为3n1 3n
些（类等 差用叠加）
20（2014湖北文理）19 •已知等差数列｛a n
｝满足：
a 1 2
，且a 1
， a 2
， a 5
成等比数列.
（I ）求数列｛a n
｝的通项公式；
（H ）记S n
为数列｛a n
｝的前n 项和，是否存在正整数n , 使得S n
60n 800
?若存在，求n
的最小值；若不存在，说 明理由.
【点拨】（I ） an 2或 a n
4n 2 .
（H ）①常数列显然不成立. ②当a 4n-2时,S 2 （4
； 2）
n 2n 2
由2n 2 60n 800 n 40.故最小的 n 41 .
a ni (1)
n a
a 3 a 2 a n 2
a 2 a 1
a 1
2门i (1)n1 2 n 2 M
(1)1 22 (1)0 2 1
(1)n 2门1 4 1( 1)n 1 3 3 27
21（2014广西文）17.数列｛a n
｝满足 a i 1,a ?
2,a n 2
2si 1 a n
2 .
（1） 设b a, 1 a …
，证明｛b …
｝是等差数列； （2） 求｛a …
｝的通项公式.
【点拨】（1）由a
(2)
2a
… 1 a …
2
得 a ... 2 a ... 1 a ... 1 a 2 即卩 b (1)
b 2 . 见数歹卩
｛b ｝是以b a 2 a 1
1为首项,以d 2为公差的 等差数列■
（2）由（1 ）得到 a …1 a …
b 2… 1. （这是“类等差”数列，用叠加） 叠加结果：a …
…2
2… 2.
22(2014
S
，已知 a1 10
, (1) 求｛a …
｝的通项公式；
(2) 设b 盘，求数列｛b …
｝的前…项和T …
.
【点拨】
(1gQs 因为s 最大，
10 d
门 ——2
4 d 3
22
a … 10 ⑴ 1)( 3) 13 3
门
(2) T
…
1 1
L 1
a 1a 2
直9
3
a ...a (1)
1[(1 1
) (1 1) L
(一
1 1
)]
3
八7 10 4 7
10 3n 13 3…
」
n
广西理）18.等差数列⑹的前…项和为 a^为整数，且S S. 2…2 佝 d 2)… S 4
23(2014 广东文)19. 设各项均为正数的数列 a 的前
n项和为S n，且S n满足
2 2 2
S n n n 3 S n 3 n n 0,n N
⑴求a的值；
⑵求数列｛a n｝的通项公式；
【点拨】由S2 (n2 n 3)S n 3(n2 n) 0
(S n 3)[S n (n2 n)] 0 S n n2 n
(1) a1 s1 2;
(2) 当n 2寸,环S Si (n2n)
[(n 1)2 (n 1)]=2n.
24(2014广东理)19.设数列a n的前n和为S,满足S n 2na ni 3n2 4n,n N*且S3 i5
(1) 求a i,a2,a3 的值；
(2) 求数列a n 的通项公式;
【点拨】(1) 由题设有a a11 a22a2 a37 15
a1 a2 4a3 20
解之得a1 3,a2 5,a3 7.
(2) ( 猜想, 归纳). 猜想: a n 2n 1 事实上,10.如前所述,n 1,2,3猜想成立.
20假定对于n猜想成立,则S n n2 2n也成立.那么对
于n 1 的情形我们有:
S n 2na n 1 3n2 4n, n2 2n 2na n 1 3n2 4n
a n1 2n 3 2(n。

-即n 1猜想也成立.
25（2014福建文）在等比数列｛a n｝中，a 3,35 81.
⑴求a n ；
（2）设b log3a n，求数列｛b n｝的前n项和s .
【点拨】⑴a 3n1；（2）s豊^.
10(10 3n) ■
26（2014北京文）15.已知a是等差数列，满足31 3，a4 12，数列b n满足b, 4，b。

20，且0 K是等比
数列.
（1）求数列a n和h的通项公式；
（2）求数列0的前n项和.
【点拨】（1） & 又q3 ^8,
b n 3n 1 2n 1 b n 3n 2n 1
（2）S 2n（n 1）2n 1（分组求和）.
27（2014安徽文）18.数列｛a n｝满足
a1 1,na n 1 （n 1）a n n（n 1）,n N
（1）证明：数列巾是等差数列；
⑵设b n 3n a，求数列｛b n｝的前n项和S
【点拨】（1）由na n 1 （n 1）a n n（n 1）
罟律1 •可见数列帶是以a 1为首项，以d 1为公差的等差数列；
（2）由（1）知禺n2,b n3n（这是“差比数列”,乘公比、错位相减）：S2n413n1 4.
⑴证明:当X 1且x 0时,(1 x)p 1 px；
(2)数列｛a n｝满足ai c T, a n 1罟a綁p,
p p
证明：a n am c p.
【点拨】(1)(数学归纳法)
10当p 2时,(1 x)2 1 2x x2 1 2x,不等式成立■
20假定对于P 2不等式成立,即(1 x)p 1 px.则对于P 1的情形,有(1 x)p 1 (1 x)p(1 x) (1 px)(1 x)
1 (p 1)x x
2 1 (p 1)x.
(2)对a n1 p p唁評与下函数挂钩: f(x)罟X px1 p (x -p),便有a n1
a n 1 On
f(a n). f (x) 丁p(1 p)x p p p1(1 x p) 0 f(x)在(c",)上单调递增.
丄p 1 1 1 1
f(x) f(c p) p 'c p c(c p)1p c p
p p
1
a n 1 f (a n) c p. 下面证明数列｛a n｝单调减. 当n 1时，a专a繆&[1 e p制a 假定当n k时，a k 1 a k,则当n k 1时，a k 2 k^a k 1 'a] p a k 1[1 (丄—c^)] a k 1 p p p pa k\
: a n a n 1 c p
28（2014安徽理）21.设实数c 0，整数p 1，n N。