第六讲 二次函数的三种表示方式及二次函数最值

初 高 中 衔 接 教 材

第五讲 二 次 函 数

一、二次函数的三种表示形式

在初中我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

【例1】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

【例2】已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式．

【例3】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

二次函数的最值问题

二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

【例4】当2-1x -≤≤时，求函数2

23y x x =--的最大值和最小值．

【变形1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．

【变形2】当03x ≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．

【变形3】当24x ≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．

【变形4】当2a x ≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．

【变形5】当2x a -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．

【变形6】当2a x a ≤≤+时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．

【例5】求关于x 的二次函数2

21y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．

【例6】求函数3y =

在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题

【例7】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【变形】用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，求其所围成的最大面积

1．根据下列条件，求二次函数的解析式．

(1)图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

(2)当x ＝3时，函数有最小值5，且函数的图象经过点(1，11)；

(3)函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．

2.已知一次函数y=()f x 在区间[-1，2]上的最小值为1，最大值为3，求()f x 的解析式

3．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．

4.当1t x t ≤≤+时，求函数21522

y x x =

--的最小值(其中t 为常数)．

5 ．已知关于x 的函数2

22y x ax =++在55x -≤≤上．

(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；

(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．