偏导数和全微分的概念

解
当( x , y ) (0,0)时,
y( x 2 y 2 ) 2 x xy y( y 2 x 2 ) 2 f x ( x, y) 2 2 , 2 2 2 (x y ) (x y ) x( x 2 y 2 ) 2 y xy x( x 2 y 2 ) 2 f y ( x, y) 2 2 , 2 2 2 (x y ) (x y )
该例说明了什么？
f 是一个整体记号,不可拆分(分子与分母的商) , x df 与 具有本质区别。 dx
10
例6 : 设r x y z ，求证：
2 2 2
r r r x y z r. x y z
11
分片函数界点处的偏导数必须用定义计算
xy 2 2 例 7 设 f ( x, y) x y 0 求 f ( x , y )的偏导数. ( x , y ) ( 0,0 ) ( x , y ) ( 0,0 )
偏微分
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
32
例1
计算函数 z e xy 在点 ( 2, 1) 处的全微分.
z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x
同理可以定义函数 z f ( x , y )对自变量 y 的偏
z f 导函数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). y y
4
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
定理２（充分条件）
z z 如果函数 z f ( x , y )的偏导数 、 在点 x y ( x , y )连续，则该函数在点( x , y ) 可微分．
z z dz x y x y z z dx dy x y
全微分
28
z z x , y x y
0 0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
3
偏导函数
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 本身就是 x 、 y 的函数，称之为函数 z f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数，简称偏导数，
z x
x1 21 3 2 8 , y2
z y
x1 31 2 2 7 . y2
例 2 求 z x 2 sin 2 y 的偏导数．
解
z 2 x sin 2 y; x z 2 y 2 x cos 2 y .
把 y 看成常量 把 x 看成常量
7
例3 求z x (x 0, x 1)的偏导数.
y
x 2 3 练习 设z sin( x y )，求z x , z y . y
8
f f 例4 设f x , y xy x y , 求 , , 并求 x y
2 3
f x 0,1 , f x 1, 0 , f y 0, 2 , f y 2, 0 .
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x 的
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
0 0
5
偏导数的计算
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的
微分法问题。
f 求 时， 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 x 常量，对 x 求导数即可。
f 求 时， 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 y 常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
6
例 1 求 z x 2 3 xy y 2 在点(1, 2) 处的偏导数． 解 z 2 x 3 y ; 把 y 看成常量 x z 把 x 看成常量 3x2 y. y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
19
全增量的概念
如果函数 z f ( x , y )在点 P ( x, y ) 的某邻域内 有定义，并设 P ( x x , y y ) 为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x , y y ) f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量 x , y 的全增 量，记为 z ， 即 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )
12
当( x , y ) (0,0)时, 按定义可知： f ( x ,0) f (0,0) 0 f x (0,0) lim lim 0, x 0 x 0 x x f (0, y ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim 0, y 0 y 0 y y y( y 2 x 2 ) ( x , y ) (0,0) 2 2 2 f x ( x, y) ( x y ) , 0 ( x , y ) (0,0) x( x 2 y 2 ) ( x , y ) (0,0) 2 2 2 f y ( x, y) ( x y ) . 0 ( x , y ) (0,0)
23
可微的条件
定理 1（可微分必要条件） 如果函数 z f ( x , y ) 在 点 ( x , y ) 可微分，则该函数在点 ( x , y ) 的偏 导数 z 、 z 必存在，且函数 z f ( x , y ) x y 在点 ( x , y ) 的全微分为
dz z x z y . x y dz z dx z dy. x y
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
2
同理可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 y 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . x x0 x0 y y0 y y x y y y y
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
0
f ( x, y)
故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
20
全微分的定义
如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于
x , y 而仅与 x , y 有关， ( x ) ( y ) ， 则称函数 z f ( x , y )在点( x , y )可微分， Ax By 称为函数 z f ( x , y )在点( x , y )的 全微分，记为 dz ，即 dz = Ax By .
2 2
?
连续但偏导数不存在
多元函数连续和可偏导没有必然联 系，与一元函数具有显著差别
16
二元函数偏导数的几何意义:
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点, z f d M0 f ( x, y 0 ) x x0 x x0 x y y 0 dx Tx Ty z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 y0 y O M 0Tx 对 x 轴的斜率. x0 ( x0 , y0 ) f d f ( x0 , y) x x0 x y y0 y y y0 d y
xy x2 y2 , 例如,函数 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
,
依上例知在( 0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0 .
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
15
连续 偏导数存在
反例：f ( x , y ) x y ，在( 0,0 )处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
解： f y 2 x ,
x
f x 0,1 1,
f x 1, 0 2;
f x 3 y2 , y
f y 0, 2 12,
f y 2, 0 2
9
例5 已知理想气态方程PV Biblioteka Baidu RT , P V T ( R为常数)，试证 1. V T P
第一节 偏导数和全微分的概念
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
是曲线 斜率. 在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
17
回顾一元函数可微性及其 微分的概念
18
二、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
解
z e xy ye xy , x x z e xy xy xe , y y
13
该例说明一个重要现象
xy , 2 2 f ( x, y) x y 0, x 2 y2 0 x y 0
2 2
在( 0,0)不连续，
但f ( x , y )在( 0,0)处的两个偏导数都存在 。
多元函数连续和偏导数存在的关系？
14
可偏导与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续， 连续， 多元函数中在某点偏导数存在
x dx, y dy.
24
一元函数在某点的导数存在
多元函数的各偏导数存在
微分存在．
全微分存在．
xy 2 2 x y f ( x, y) 0
x2 y2 0
.
x2 y2 0
多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在 结论: 函数可微 偏导数存在
26
2 2
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则 称这函数在 D 内可微分.
21
几个基本问题
1. f ( x, y)满足什么条件才能保证 可微？
2. 若可微，全微分表达式 中的A, B是什么？
3. 二元函数连续、可微、 可偏导之间 存在什么关系？与一元 函数有何异同？
22
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.