格林公式

在D内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:
(1)沿D 中任意光滑闭曲线L,有 Pdx Qd y 0. L
(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分
Pdx Qd y 与路径无关, 只与起止点有关. L
(3)
在D内是某一函数
的全微分,
即 du( x, y) P d x Q d y
(4)在D 内每一点都有 P Q .
设区域D既是X-型 d
又是Y-型,
x
即平行于
1
(
y)
E y 2(x)
D
B
坐标轴的直线和 L 至多交于两点.
A c
oa
x 2( y) Cy 1(x)
bx
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
7
定理1
的曲线积分之间的联系
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,
函数P x, y ,Q x, y在D上有一阶连续
偏导数，则有
L
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
其中L取正向.?
格林公式
4
y
L
D
y
L1
D
L2
o
x
o
x
L正向：逆时针
L由L1与L2组成
规 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界 定 行走时,区域D总在他的左边.
y0
y
y
y0 Q( x0, y)d y
x P( x, y)dx y0
x0
O
x, y
x0, y0 x, y0
x
x0
x
28
例5 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy， L
其中L为由点O(0, 0)到点B(1,1)的曲线弧
y sin x .
2
y
B(1,1)
解 P ( x2 2xy) 2x
1 2 (abcos2 absin2 )d 20
ab
21
例4 计算 ex sin y x y dx e x cos y 1 dy L
其中L：x2 y2 x( y 0)从O0,0到A1,0
的上半圆周.
解 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO, 它与L所围区域为D , 则
行于坐标轴的折线,这样就可求出u(x,y).
称u x, y为Pdx Qdy的原函数.
u x, y C是微分方程Pdx Qdy 0的通解.
称全微分方程
例6源自文库验证
是某个函数的
全微分, 并求出这个函数.
证 设P x y2 , Q x2 y,
则 P 2x y Q
y
x
由定理2可知,存在函数 u (x , y) 使
y y
Q ( x2 y4 ) 2x x x
O
x
P Q 原积分与路径无关
y x
29
(x,y) P x, ydx Q x, ydy
( x0 , y0 ) x
x0 P( x, y0)dx
y
Q(x, y)dy
y0
( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy L
B(1,1)( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy
C
y
o
40
(x, y) (x,0) x
作业
p.153 习题10-3 2. (2); 3. 4. (2); 5.(1);(3); 6.(1); 7.
(2) 简化二重积分的计算
例2 计算 e y2dxdy
D
其中D是以 O(0,0), A(1,1), B(0,1)
为顶点的三角形闭区域.
42
e y2dxdy
第九节 各种积分间的关系
一、格林（Green)公式及其应用
（第十章 第三节）
二、高斯(Gauss)公式
格林 （Green.George） 简介 磨坊工数学家
格林 （1793—1841）十八世纪英国数学家
8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅 力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表 了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 了剑桥大学，四年后获得学士学位。
O(0,0)
y
B(1,1)
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
0
0
1
23 . 15
O
1x
30
由定理2知：当满足 Q P 时,存在u x, y,使
x y
du P x, y dx Q x, y dy 全微分
且u( x, y)
( x, y)
Pdx Qdy
( x0 , y0 )
由于积分与路径无关，可以取路径为平
证明
2xydx x2dy 0. L
14
证明 2xydx x2dy 0. L
证: 因 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
得 L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D 15
例3 计算
xdy ydx L x2 y2
E
F
积分中L的方向.
oA
Bx
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
44
思考题解答
L由两部分组成
y
D
C
G
外边界：BCDAB
E
oA
F
Bx
内边界：EGFE
其中L为一条无重点,分段光滑且不经过
原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方 向.
16
xdy ydx
L x2 y2
解 记L所围成的闭区域为D,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当 x2 y2 0 时, 有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P y
17
(1) 当(0, 0) D 时,由格林公式 y
D
解 令 P 0, Q xe y2
y
则 Q P e y2 , x y
B
A
1
D
应用格林公式,有
e y2dxdy
xe y2 dy o
x
1
D
OA AB BO
xe y2dy 1 xex2dx 1 (1 e1 ).
OA
0
2
43
思考题
若区域 如图
为复连通域，试描
y
D
C
G
述格林公式中曲线
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
9
Q P
Q P
Q P
( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy
D1 x y
D2 x y
D3 x y
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
5
注：
1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广.
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
2.若边界L是反方向，则
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
3.区域是复连通区域时，格林公式也成立， 此时边界必须是区域的整个边界.
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
证明:(1)特殊情形 y
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A
1 2
L
xdy
ydx
12
例1
椭圆L： xy
a cos ，0 b sin
2
所围面积.
解
由求面积的公式：A
1 2
L
xdy
ydx
1 2 (abcos2 absin2 )d 20
ab
13
(2) 简化曲线积分的计算 例2 设L是一条分段光滑的闭曲线，
y x
27
由定理2知：当满足 Q P 时， x y
积分与路径无关，可以取路径为平行于
坐标轴的折线，即 x0, y0 x, y0 x, y
(x,y)
P x, y dx Q x, y dy
( x0 , y0 )
y
或
x
x0 P( x, y0 )dx
y
Q(x, y)dy
格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却 包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。
一、格林公式及其应用
1.区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围
成的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否
则称为复连通区域.
有洞
D
D
单连通区域
3
复连通区域
2.格林公式 二重积分与其区域边界上
Pdx
L l
Qdy
L
l
Pdx
Qdy
即
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
0
y
L
D1
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
l
or
x
=
2 0
r2 cos2 r2 sin2
r2
d
( 其 中l 的 方 向 取逆时针方向)
2 .
(注意格林公式的条件)
19
如果在区域G内,
y
L1 , L2 , 有
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
o
L1 B
G
A
L2
x
则称曲线积分 L Pdx Qdy
在G内与路径无关, 否则与路径有关.
25
说明:
积分与路径无关时, 曲线积分可记为
B
Pdx Qdy Pdx Qdy
AB
A
26
定理2 设D是单连通域, 函数
(2) 计算平面区域面积
格林公式:
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x, 得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
1
A 2 L xdy ydx
20
例3
椭圆L： xy
a cos b sin
，0
2
所围面积.
解
由求面积的公式：A
1 2
L
xdy
ydx
思考题解答 1. L由两部分组成
外边界：BCDAB
内边界：EGFE
y
D
C
G
E
F
oA
Bx
38
2. 设
39
2. 提示:
du( x, y) ( x4 4xy3 )dx (6x2 y2 5 y4 )dy
x x4 dx y (6x2 y2 5 y4 ) dy C
0
0
1 5
x5
2x2
y3
y5
y
D
o
L Ax
原式
(ex sin y x y) dx (ex cos y 1) d y
L AO
(ex sin y x y) dx (e x cos y 1) d y AO
原式 (ex sin y x y) dx (ex cos y 1) d y L AO (ex sin y x y) dx (ex cos y 1) d y AO
CBE
EAC
DB
LQ( x, y)dy
A c
C
o
x 2( y) x
同理可证
D
P y
dxdy
L P( x, y)dx
8
两式相加得 证明(2)
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
若区域D由分段光滑
D3
D2
的闭曲线围成.如图,
D1
D
L
将D分成三个既是X-
型又是Y-型的区域 D1, D2 , D3 ,则
Q ex cos y, P ex cos y 1
x
y
AO : y 0,
y
D
d xd
y
0 1
xdx
L
D
1
o
Ax
82
23
注:
求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算.
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线, 使其成为封闭曲线，利用格林公式后， 再减去辅助线上的曲线积分.
4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件
( L1,L2 , L3对D来说 为正方向 )
在AB与BA上积分抵消
L3
A
D3
D2 L2 B
D1
L1
L
10
格林公式的实质:
揭示了平面闭区域上二重积分与积分 区域边界上的曲线积分之间的联系.
11
3. 简单应用
(1) 计算平面区域面积
格林公式:
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x, 得
Q dxdy
D x
d
dy
2 ( y) Qdx
证
Q dxdy
Q( x, y)dy
c
1 ( y) x
D x
L
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
CAE
d
E
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
二、等价条件
设P,Q在D内具有一阶连续偏导数, 则有
L P d x Q d y在D内与路径无关.
对D内任意闭曲线L有
PdxQd y 0
L
在D内有
Q
P
x y
在D内有 d u P d x Q d y
35
若在某单连域内,函数偏导连续且
P y
Q x
,
则
（1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;
(2)求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
(3) 可用积分法求 d u P d x Q d y
在域D内的原函数:
思考题
1. 若区域 如图
为复连通域，试描
y
D
C
G
述格林公式中曲线
E
F
积分中L的方向.
oA
Bx
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
37
xdy ydx
L x2 y2 0
L
D
(2) 当 (0,0) D 时,
o
x
作位于D内圆周 l : x2 y2 r 2逆时针方向
y
记 D1由L和 l 所围成,
L
应用格林公式,得
Q P
l D1
or
x
D1
x
y
dxdy
Pdx
L l
Qdy
18
0
D1
Q x
P y
dxdy
du x y2 dx x2 yd y
32
du x y2 dx x2 yd y
(x, y)
x
x 0dx
y x2 y dy
0
0
。
y x2 y d y 0
。
(0,0)
( x,0)
注
是全微分方程
的通解.
33
小结
一、格林公式
PdxQd y
L
Q P
D
x
y
d
xd
y
L是D的取正向的边界曲线.