高等数学(上册)：06-第6讲函数极限的运算

xx0
uu0
该定理可以推广到其它几种极限过程中去.
例 设
f
(ຫໍສະໝຸດ Baidux)
1 q
,
0,
x p , p 与 q 互质, (即 x 为有理数) q
x 为无理数.
g
(u)
1, 0,
u 0, u 0.
lim f (x) 0,
x 0
lim g(u) 0,
u0
(x0 0, u0 0.)
但 lim g( f (x)) 不存在. x0 请课后想想,为什么?
0 0, x Uˆ (x0, ) u U(u0,)
y U(a, ) .
有什么问题没有？
7. 复合函数的极限计算
定理
u 是函数 f (u) 的“自变量”, u0 是 u 在定义域内的值.
设 y f ((x)) 是由 y f (u) 及 u (x) 复合而成.
若
lim
xx0
(
lim (2x 4)( 2x 2) x2 ( 5 2x 3)(2x 4)
lim
2x 2
lim( 2x 2)
x2
2.
x2 5 2x 3 lim( 5 2x 3) 3
x2
例3
求 lim x 1 ( x 2 x) . ( ( ) ) x
解 lim x 1 ( x 2 x) x
则 lim f (x) lim g(x)
注： 法则 1、3 可推广至有限个函数的情形.
法则6 中 f (x) g(x) 换成 f (x) g(x) 其极限仍为 limf (x) lim g(x) .
由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的 运算法则, 容易证明上述各公式.
请同学们课后看书中的 证明
例1
求 lim (1 x)(1 2x)(1 3x) 1.
x0
x
解 由于 lim x 0 , 所以, 不能直接用公式计算. x0
lim (1 x)(1 2x)(1 3x) 1
x0
x
lim1 6x 11x2 6x3 1
x0
x
lim(6 11x 6x2) 6 . x0 初等展开
例2
复合函数的极限
设 y f ((x)) 是由 y f (u) 及 u (x) 复合而成.
由极限的概念可知:
lim
x x0
(
x)
u0
,
即
0,
0,
当 x Uˆ (x0, ) 时,
有 u U(u0,) .
lim
uu0
f
(u)
a,
即
0,
0,
当u Uˆ (u0,) 时,
有 y U(a, ) .
由 lim f (u) a , 故 0, 0, u u0 当 0 | u u0 | 时, | f (u) a | .
又
lim
xx0
(x)
u0
,
故对上面的 0 ,
1 0,
当 0 | x x0 | 1 时, | u u0 | | (x) u0 | .
设在 Uˆ (x0,2) 中 (x) u0, 取 min{1,2}, 则
求 lim 5 2x 3 . x2 2x 2
解 由于 lim( 2x 2) 0 , 故不能直接用公式计算. x2
lim 5 2x 3 lim( 5 2x 3)( 5 2x 3)( 2x 2) x2 2x 2 x2 ( 5 2x 3)( 2x 2)( 2x 2)
有理化
和的极限等于极限的和.
? 乘积的极限等于极限的乘积.
商的极限等于极限的商(分母不为零).
差一点 ! 结论成立的条件.
设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则
1. lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)
x)
u0
,
且在
Uˆ (x0)
内
(x) u0 ,
又有
lim f (u) a , 则 lim f ((x)) lim f (u) a .
uu0
xx0
uu0
注意这个条件, 缺了它定理不一定成立.
证 由极限的定义, 即要证明：
0, 0, 使当 0 | x x0 | 时, 有 | f ((x)) a | | f (u) a | .
第五节 极限运算法则
极限运算法则的理论依据
定理 lim f (x) a f (x) a (x)
((x) 0 )
法则
依据无穷小量的运算法则
一. 极限运算法则
设 lim f (x) a , lim g(x) b 存在 , 则
f (x) a , g(x) b , (, 0 ) .
1 3
1 15
1 35
1 4n2 1
1 13
1 35
1 57
(2n
1 1)( 2n
1)
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 5
1 7
1 2n 1
2n1 1
1 1 1 2 2n 1
lim x 1 ( x 2 x)( x 2 x)
x
x2 x
有理化
lim 2 x 1 x x 2 x
lim
2
1.
x 1 1 1 1
x 1
x 1
例4 解
求
1 lim ( n 3
1 15
1 35
1
4n2
) 1
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
1 2n 1
1 2n 1
2. limk f (x) k lim f (x) (k为常数) 3. lim f (x)g(x) lim f (x) lim g(x)
4. lim f (x) lim f (x) ( lim g(x) 0 ) g(x) lim g(x)
5. lim[ f (x)]n [lim f (x)]n 6. 若在极限过程中 f (x) g(x) ,
在该极限过程中
f (x) g(x) (a b) ( ) , f (x)g(x) (a )(b ) ab (a b ) , f (x) a a a a a b a , (b 0) . g(x) b b b b b b(b )
由此你能不能写出极限四则运算公式？
当 0 | x x0 | 时, 0 | u u0 | ( (x) u0 ) , 从而, | f (u) a | .
综上所述：
0, 0, 当 0 | x x0 | 时, | f ((x)) a | | f (u) a |
即 lim f ((x)) lim f (u) a .