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第二章 极 限
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
我们将得到x 时, 函数的极限.
将图形对称
y
y f (x)
y a
ya
y a
X O
X
x
将图形对称过去后, 你有什么想法?
2. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当x X 时, 有
| f (x) a |
二. x x0 时, f (x) 的极限
x x0 时函数的 极限, 是描述当 x 无限 接近 x0 时, 函数 f (x) 的变化趋势.
例3 当 x 0 时, f (x) 2x 1 1.
f ( x ) 在点 x0= 0 处
有定义. 当 x 1 时, f (x) x3 1 x2 x 1 3.
1. 2
例2
证明 lim arctan x 不存在. x
y
需要证明之处
由图容易看出：
lim arctan x ,
x
2
2
y arctan x x
lim arctan x ,
x
2
由定理可知： lim arctan x 不存在. x
2
请同学们 自己证一下.
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
lim f (x) a 的几何意义与 lim f (x) a 的情形类似.
x
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
定义 0, 若 X 0, 使当x X 时, 有
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
证 0, 要 2(x2 4) (8) ,
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的 去心邻域时,
在 y 轴上 , 对应点 y ( y f (x) ) 是否落在点
a 的 邻域内.
lim f (x) a 的几何解释
xx0
y
y f (x)
P
y U(a, ) y
(
)
O x0 x x0 x0
3. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当| x | X 时, 有
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
1. x x0 时, 函数 f (x) 的极限 定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
ห้องสมุดไป่ตู้
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
x 1
函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没
有定义.
在讨论 x x0 这类极限过程时, 我们不 必考虑 f (x) 在 x x0有无定义 ,只考虑 x 无限
接近 x0, 即 x U(x0, ) 时, 函数 f (x) 的变化 趋势，即不等式 | f (x) a | 是否成立。
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < 所X以, , x 按绝对值无限增大时,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a .
x
x
x
由绝对值关系式: | x | X x X 或 x X (X 0)
y
y f (x)
y a
ya
y a
X O
X
x
| x | X 0 x X 或 x X
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
y a
ya
你能否由此得出 一个极限的定义
X O 和一个重X 要的定理.
y a
x
| x | X 0 x X 或 x X
及极限的三个定义即可证明该定理.
例1
证明：lim x
1 x3 2x3
1. 2
证 0,
要
1 x3 2x3
1 2
,
即要
1 2 | x |3
,
即
|x| 1 ,
3 2
故取 X 1 , 则当 | x | X 时 , 有
3 2
1 x3 2x3
1 2
成立.
由极限的定义可知:lxim12xx33
| f (x) a | a f (x) a
lim f (x) a 的几何意义
x
y
y f (x)
y a ya
y a
O
X
x
当 x X 时, a f (x) a , 即函数的图 形夹在两条平行线 y a 和 y a 之间.
x Uˆ (x0, )
y a
ya
y a
x
例4
证明
lim x
xx0
x0
.
证 0, 取 , 则当 0 | x x0 | 时,
| x x0 |
成立 ,
故
lim
xx0
x
x0
.
这是证明吗？
非 常 非 常 严 格 ！
例5
证明 lim 2(x2 4) 8 . x2 x 2
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
我们将得到x 时, 函数的极限.
将图形对称
y
y f (x)
y a
ya
y a
X O
X
x
将图形对称过去后, 你有什么想法?
2. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当x X 时, 有
| f (x) a |
二. x x0 时, f (x) 的极限
x x0 时函数的 极限, 是描述当 x 无限 接近 x0 时, 函数 f (x) 的变化趋势.
例3 当 x 0 时, f (x) 2x 1 1.
f ( x ) 在点 x0= 0 处
有定义. 当 x 1 时, f (x) x3 1 x2 x 1 3.
1. 2
例2
证明 lim arctan x 不存在. x
y
需要证明之处
由图容易看出：
lim arctan x ,
x
2
2
y arctan x x
lim arctan x ,
x
2
由定理可知： lim arctan x 不存在. x
2
请同学们 自己证一下.
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
lim f (x) a 的几何意义与 lim f (x) a 的情形类似.
x
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
定义 0, 若 X 0, 使当x X 时, 有
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
证 0, 要 2(x2 4) (8) ,
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的 去心邻域时,
在 y 轴上 , 对应点 y ( y f (x) ) 是否落在点
a 的 邻域内.
lim f (x) a 的几何解释
xx0
y
y f (x)
P
y U(a, ) y
(
)
O x0 x x0 x0
3. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当| x | X 时, 有
| f (x) a |
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值, 记为
lim f (x) a ,
x
或记为 f (x) a (x ) .
1. x x0 时, 函数 f (x) 的极限 定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
ห้องสมุดไป่ตู้
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
x 1
函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没
有定义.
在讨论 x x0 这类极限过程时, 我们不 必考虑 f (x) 在 x x0有无定义 ,只考虑 x 无限
接近 x0, 即 x U(x0, ) 时, 函数 f (x) 的变化 趋势，即不等式 | f (x) a | 是否成立。
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < 所X以, , x 按绝对值无限增大时,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a .
x
x
x
由绝对值关系式: | x | X x X 或 x X (X 0)
y
y f (x)
y a
ya
y a
X O
X
x
| x | X 0 x X 或 x X
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
y a
ya
你能否由此得出 一个极限的定义
X O 和一个重X 要的定理.
y a
x
| x | X 0 x X 或 x X
及极限的三个定义即可证明该定理.
例1
证明：lim x
1 x3 2x3
1. 2
证 0,
要
1 x3 2x3
1 2
,
即要
1 2 | x |3
,
即
|x| 1 ,
3 2
故取 X 1 , 则当 | x | X 时 , 有
3 2
1 x3 2x3
1 2
成立.
由极限的定义可知:lxim12xx33
| f (x) a | a f (x) a
lim f (x) a 的几何意义
x
y
y f (x)
y a ya
y a
O
X
x
当 x X 时, a f (x) a , 即函数的图 形夹在两条平行线 y a 和 y a 之间.
x Uˆ (x0, )
y a
ya
y a
x
例4
证明
lim x
xx0
x0
.
证 0, 取 , 则当 0 | x x0 | 时,
| x x0 |
成立 ,
故
lim
xx0
x
x0
.
这是证明吗？
非 常 非 常 严 格 ！
例5
证明 lim 2(x2 4) 8 . x2 x 2