全概率公式解释的经典问题
全概率公式经典例题讲解
全概率公式经典例题讲解全概率公式是概率论中一个重要的公式，它用于计算一个事件在不同条件下发生的概率。
该公式常用于解决条件概率问题，即在已知某些条件下计算某个事件发生的概率。
全概率公式的数学表达为：P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B) + ... + P(A|B)P(B)其中，A为要计算概率的事件，B、B、...、B为一系列互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间。
P(A|B)表示在给定事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
以下是一个经典的全概率公式例题的讲解：假设有两个工厂A和B，它们生产的产品在质量上有差异。
根据过去的数据分析，工厂A生产的产品合格的概率为0.8，而工厂B生产的产品合格的概率为0.6。
已知在市场上出售的产品中，来自工厂A和工厂B的比例分别为0.4和0.6。
现在需要计算一件在市场上出售的合格产品来自工厂A的概率。
解答：首先，设事件A表示一件在市场上出售的产品合格，事件B表示产品来自工厂A，事件B表示产品来自工厂B。
根据题意，已知P(B) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A|B) = 0.8，P(A|B) = 0.6。
根据全概率公式，我们可以计算事件A的概率P(A)：P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B)= 0.8 * 0.4 + 0.6 * 0.6= 0.32 + 0.36= 0.68因此，一件在市场上出售的产品合格来自工厂A的概率为0.68。
通过这个例题，我们可以看到全概率公式的应用。
它通过将一个事件在不同条件下的发生概率加权求和，可以帮助我们计算出复杂条件下事件的概率。
在实际应用中，全概率公式经常用于解决市场调查、风险评估、医学诊断等问题。
掌握全概率公式的原理和应用方法，对于深入理解概率论和应用统计学有着重要的意义。
全概率公式的分析与运用
全概率公式的分析与运用41521335吕瑞杰摘要：全概率公式的运用一直以来都是一个难点，尤其是对完备事件组的选择及理解上.本文从完备事件组到全概率公式的意义,都进行了较为详尽的分析。
指出了可运用全概率公式的随机试验分析。
并且通过举例全方位加强了对全概率公式的分析运用。
关键词：全概率公式；完备事件组；分析；运用在概率的计算中,有时必须综合利用加法公式与乘法公式，而这就是全概率公式。
使用全概率公式的关键是找到一个完备事件组。
对于这类问题，在如何划分互不相容的“简单”事件找到完备事件组从而达到求解目的的方法思路,也由于题目的意义不同而多变化，怎样把一个复杂事件分解为若干互不相容的“简单”事件?本文通过对一些典型题目的分析研究,总结出一个求解上述问题的分析方法、解题步骤，以便更好地解决这类问题。
全概率公式:设试验E 的样本空间为Ω，B 为 E 的事件,12,...n A A A 是Ω的一个完备事件组，且 (A 0)(i 1,2...,n)j P >=,则1(B)(A )(B |A )ni i i P P P ==∑应用示例：两台机床加工同样的零件,第一台的废品率是0。
03,第二台的废品率是0. 02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,求任意取出的一个零件是合格品的概率。
分析：要正确而熟练地运用全概率公式，必须首先对公式的内涵有一个清楚的了解,从公式1(B)(A )(B |A )n i i i P P P ==∑(1,2,...,)i n =的结构可以看出： (A )i P 是我们考虑导致事件B 发生时的若干不同的假设情况的概率，它们都可以从题中的所给已知条件直接得出， (B|A )i P 所表示的是在若干假设事件A i 发生的条件下事件B 发生的概率,即我们可以从中看到先有A i 后有B ，且A i 互不相容，也就是只有A i 发生了，才有B 发生的可能,此即应用公式时的两个前提条件： A i 的完全性与互不相容性，而且当A i 发生后B 发生的条件概率就好求了,此时具备了完全性与互不相容性的A i 我们称之为完备事件组。
第三节 条件概率、全概率公式
也就是说,在已知点投在A内的条件下,点也落在B内的概率.
广
显然,已知点投在A内,点也落在B内,则点只能落在AB内. 东 工
从而 P(B | A) P( AB) P( A)
业 大 学
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定理1 条件概率的性质：
（1）非负性 P(B | A) 0
（2）规范性 若A B， 则有P(B | A) 1
P( A)P(B | A)P(C | AB)
工 业
大
学
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P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
(2) 若 P( A1 A2 An1 ) 0 ,则有
P( A1 A2 An )
P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An1 )
利P用( A对) 立 事P(件A1性) 质AP，(A有A1A1 2) A2P( AA13A2 A3 )
PP((AA)1) 1 P(PA(1A)P) (A12| AP1()A1AP2(AA31))P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) 又 P( A2| A11)P(1A1)PP((AA22||AA11))P(1A30| .A21A20).8 代入上式，得
条件概率是概率论中最重要的概念这一，作为一项 描述与计算的工具，其重要性首先表现在当存在部分先 验信息（如A已发生，在这里即动物已活过20岁）可资 利用时，可归结为条件概率而对概率作出重新估计（如 这里P(B|A)=0.5而不是P(B)=0.4了）。
另外，条件概率也是计算某些概率的有效工具。 广 东 工 业 大 学
概率论与数理统计
广
东
工
业
广
概率统计常见题型及方法总结
常见大题：1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件iA ”可以导致B这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因iA 的概率问题 全概率公式：()()()1B |ni i i P B P A P A ==∑贝叶斯公式：1(|)()()()()ni i i jj j P A BP A P B A P A P B A ==∑｜｜一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。
先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=ii A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球， 2分则b a aB P +=)(1， 2分 111++++++++=b a a b a b b a a b a a b a a+= 2分 依次类推 2分二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n==++，()1P A B =，()12r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。
现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。
在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。
（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。
解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则()96100P B =，()4100P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B =（1）由全概率公式得（2）这批产品被检验为合格品的概率为四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x ’。
1.5 全概率公式和逆贝叶斯公式
B B
B( A1 A2 Ak )
A1B A2 B Ak B 且有 A B, A B,, A B 两两互斥，所以有 1 2 k P( B) P( A1B A2 B Ak B) P( A1B) P( A2 B) P( Ak B) P( A1 ) P( B A1 ) P( Ak ) P( B An )
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、逆概率公式
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
例： 袋中有10个球，其中8个白球，2个黑球。若甲先从袋 中任取一球不放回，乙在从袋中任取一球，求乙取到的是白 球的概率？
解：设 A 表示“甲取得白球”，A 为“甲取到黑球” B， 表示 “乙取得白球”。
A A , A A
设有 n 张答卷，其中 k 张答“是”，于是回答“是”的比率 是 w，可用频率 k / n 去估计，记为 w ˆ k/n 这里答“是”有两种情况： 一种是摸到白球后，回答问题1，答“是”，这是一个条件 概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般认为是； 0.5 0.5，即P(回答是 摸到白球） 另一种是摸到红球后，回答问题2，答“是”，这也是一 个条 件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中 占比率 所 ，即 P(回答是 摸到红球） 最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联 系起来
例： 玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2 只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购买一箱 玻璃杯，售货员随机的查看四只，若无残次品，则买下该箱 玻璃杯，否则退回。试求顾客买下该箱玻璃杯的概率？ 解： A1 , A2 , A3 分别表示有0，1，2件残次品，则它们构 成互斥完备群，B表示顾客买下该箱玻璃，则 P( A1 ) 0.8 P( A2 ) 0.1 P( A3 ) 0.1
全概率公式题目
全概率公式题目一、基础概念类题目。
题目1。
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i = 1,2,…,n），则全概率公式为（）。
A. P(A)=∑_i = 1^nP(AB_i)P(B_i)B. P(A)=∑_i = 1^nP(B_iA)P(A)C. P(A)=∑_i = 1^nP(B_iA)P(B_i)D. P(A)=∑_i = 1^nP(AB_i)P(A)解析。
根据全概率公式的定义，设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i = 1,2,…,n），则P(A)=∑_i =1^nP(AB_i)P(B_i)。
所以答案是A。
题目2。
若事件B_1和B_2构成样本空间Ω的一个划分，P(B_1)=0.3，P(B_2)=0.7，已知P(AB_1) = 0.4，P(AB_2)=0.6，求P(A)。
解析。
根据全概率公式P(A)=P(AB_1)P(B_1)+P(AB_2)P(B_2)将P(B_1) = 0.3，P(B_2)=0.7，P(AB_1) = 0.4，P(AB_2)=0.6代入公式得：P(A)=0.4×0.3 + 0.6×0.7=0.12+0.42 = 0.54二、实际应用类题目。
题目3。
有三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，求这个球是白球的概率。
解析。
设B_i表示取到第i个箱子（i = 1,2,3），A表示取出的球是白球。
P(B_1)=P(B_2)=P(B_3)=(1)/(3)P(AB_1)=(1)/(5)，P(AB_2)=(3)/(6)=(1)/(2)，P(AB_3)=(5)/(8)根据全概率公式P(A)=∑_i = 1^3P(AB_i)P(B_i)P(A)=(1)/(3)×(1)/(5)+(1)/(3)×(1)/(2)+(1)/(3)×(5)/(8)=(1)/(15)+(1)/(6)+(5)/(24)=(8 + 20+ 25)/(120)=(53)/(120)题目4。
概率论与数理统计：1_6全概率与贝叶斯公式
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例6. 对目标进行三次独立射击，设三次命中率分别是0.4，0.5，
0.7．已知目标中一弹、二弹、三弹被击毁的概率分别是0.2，0.6 和0.8．
求（１）炮击三次击毁目标的概率；
（２）已知目标被击毁，求目标中二弹的概率．
②设Ａ、Ｂ、Ｃ三车间生产同一种产品，产量各占25％、35％、 40％，次品率分别为5％、4％、6％，现从中任取１件产品，已知 取得的是次品，问它是Ａ、Ｂ、Ｃ车间生产的概率分别是多少？ ③玻璃杯每箱20只，假设各箱中有0,1,2只残次品的概率分别为 0.6, 0.3, 0.1. 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意 取一箱，而顾客开箱随机地察看４只，如果无残次品，则买下 该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率．
…
故 BAi BAj =Φ（i≠j），
按概率的可加性及乘法公式有
n
B BA1 BA2 BAn BAi
n
n
i1 n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
i 1
i 1
i 1
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三、全概率公式应用
例1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从甲 袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个 红球的概率。
§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式推导 三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
《概率统计》
条件概率与全概率公式 高中数学-例题课后习题详解-选必三7-1
第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.解法1：设A =“第1次抽到代数题”，B =“第2次抽到几何题”.（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB .从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即25()A 5420n Ω==⨯=.因为1132()A A 326n AB =⨯=⨯=，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω.（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率.显然3()5P A =.利用条件概率公式，得3P(AB)110P(B |A)3P(A)25===.解法2：在缩小的样本空间A 上求(|)P B A .已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为1(|)2P B A =.又3()5P A =，利用乘法公式可得313()()(|)5210P AB P A P B A ==⨯=.例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖：利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.解：用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B AB =，C AB =.1()3P A =；211()()((|)323P B P AB P A P B A ===⨯=；211()()((|)323P C P AB P A P B A ===⨯=.因为()()()P A P B P C ==，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解.解：（1）设=i A “第i 次按对密码”（1i =，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为112A A A A = .事件1A 与事件12A 互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得()()()()()11211211911()101095P A P A P A A P A P A P A A =+=+=+⨯=∣.因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为15.（2）设B =“最后1位密码为偶数”，则()()112145|12(|)5|54P A B P A B P A A B ⨯=+=+=⨯.因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为25.练习1.设A B ⊆，且()0.3P A =，()0.6P B =.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出()P BA ∣和()P AB ∣的值再由条件概率公式进行验证.【答案】()1P B A =∣,1()2P A B =∣【解析】【分析】由事件包含关系的意义及条件概率的意义直接写结果，再用条件概率的公式验证.【详解】因为A B ⊆，且()0.3P A =，()0.6P B =，则A 发生B 一定发生，所以()1P BA =∣,0.31()0.62P A B ==∣，又因为()()0.3P AB P A ==，由条件概率公式得：()()()1()()P AB P A P B A P A P A ===∣,()()0.31()()()0.62P AB P A P A B P B P B ====∣.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A 牌，求第2次抽到A 牌的概率.【答案】117【解析】【分析】设第一次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第一次和第二次都抽到事件A 的事件为BC ，求出4()52P B =，43()5251P BC =⨯，由此利用条件概率计算公式能求出第1次抽到A ，第2次也抽到A 的概率．【详解】设第一次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第一次和第二次都抽到事件A 的事件为BC ，在第一次抽到A 的条件下，扑克牌仅剩下51张牌，其中有3张A ，∴4()52P B =，43()5251P BC =⨯，∴第1次抽到A ，第2次也抽到A 的概率为：43()15251(|)4()1752P BC P C B P B ⨯===．3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；（2）两次都摸到白球的概率.【答案】(1)23；(2)715.【解析】【分析】(1)设第1次摸到白球为事件A ，第2次摸到白球为事件B ，先求()P AB 和()P A ，然后根据条件概率公式来求()|P B A ；(2)先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率.【详解】(1)设第1次摸到白球为事件A ，第2次摸到白球为事件B ，由题意即求()|P B A ，因为()76710915P AB =⨯=，()710P A =，所以()()()7215|7310P AB P B A P A ===,即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率23.(2)因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为76710915P =⨯=.7.1.2全概率公式例4某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A 餐厅”和“第1天去B 餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.解：设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，则.11 A B Ω= ，且1A 与1B 互斥，根据题意得()()110.5P A P B ==，()210.6|P A A =，()210.8|P A B =.由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P B P A B =+0.50.60.50.8=⨯+⨯0.7=.因此，王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7.例5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第式£=1，2，3）台车床加工的概率.分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.如果设B =“任取一零件为次品”，=i A “零件为第i 台车床加工”（1i =，2，3），如图7.1-3，那么可将事件B 表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B 的概率.图7.1-3解：设B =“任取一个零件为次品”，=i A “零件为第i 台车床加工”（1i =，2，3），则123A A A Ω=⋃⋃，且1A ，2A ，3A 两两互斥.根据题意得()10.25P A =，()20.3P A =，()30.45P A =，()1|0.06P B A =，()()23||0.05P B A P B A ==.（1）由全概率公式，替()()()()()()112233()|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.060.30.050.450.05=⨯+⨯+⨯0.0525=.（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i （1i =，2，3）合车床加工的概率”，就是计算在B 发生的条件下，事件i A 发生的概率.()()()()1111|0.250.062()()0.05257|P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====.类似地，可得()227|P A B =，()337|P A B =.例6在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.（1）分别求接收的信号为0和1的概率；（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.分析：设A =“发送的信号为0”，B =“接收到的信号为0”.为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图7.1-4直观表示.图7.1-4解：设A =“发送的信号为0”，B =“接收到的信号为0”，则A =“发送的信号为1”，B =“接收到的信号为1”.由题意得()(0.5P A P A ==，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =，(|0.05P B A =，(|)0.95P B A =.（1）()()(|)()(|)0.50.90.50.050.475P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=；()1()10.4750.525P B P B =-=-=.（2）((|)0.50.051(|)()0.47519P A P B A P A B P B ⨯===.练习4.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.【答案】5980【解析】【分析】记事件:A 张君选择的是有思路的题，记事件:B 答对该题，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 张君选择的是有思路的题，记事件:B 答对该题，则()34P A =，()14P A =，()910P B A =，()14P B A =，由全概率公式可得()()()()()3911594104480P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.5.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.（1）求这件产品是合格品的概率；（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.【答案】（1）0.956；（2）95239.【解析】【分析】（1）直接求解即可；（2）根据条件概率公式计算即可.【详解】（1）求这件产品是合格品的概率为()()40156140.956⨯-+⨯-=％％％％（2）设B ={取到的是合格品}，A ={产品来自第i 批}()1,2i =，则()()1240,60P A P A ==％％，则()()121595,1496P B A P B A =-==-=％％％％，根据公式得：()()()()()()()111112240959540956096239P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===⨯+⨯+％％％％％％.习题7.1复习巩固6.为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.男女合计色盲60262非色盲11407981938合计12008002000从这2000人中随机选择1个人.（1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率；（2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.【答案】（1）120；（2）3031.【解析】【分析】根据条件概率直接求解即可.【详解】（1）记“选到男生”为事件A ，则()1200320005P A ==，记“选到既是男生又是色盲”为事件B ，则()6032000100P B ==，所以在选到是男生的条件下，选到色盲的概率为()()120P B P P A ==；（2）记“选到为色盲”为事件C ，则()623120001000P C ==，则在选到色盲的条件下，选到男生的概率是()()3031P B P P C ==.7.从人群中随机选出1人，设B =“选出的人患有心脏病”，C =“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断()P B 和(C)P 的大小，并说明理由.【答案】()()P B P C ≥【解析】【分析】根据事件之间的包含关系即可解答.【详解】由题可知：事件B =“选出的人患有心脏病”，事件C =“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，显然事件B 包含事件C ，所以()()P B P C ≥，当且仅当B C =时取等号（即选出的人患有心脏病且都大于50岁）.8.甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.【答案】0.75【解析】【分析】先求目标至少被命中1次的概率，然后根据条件概率公式即可求得.【详解】由题意可得，目标至少被命中1次的概率为()()110.610.40.8---=，又因为甲命中目标的概率为0.6，所以目标至少被命中1次，甲命中目标的概率0.60.750.8P ==.9.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.【答案】710【解析】【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为2163=，再从甲箱中摸到红球的概率为51102=，故从甲箱中摸到红球的概率为1111326P =⨯=；从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为4263=，再从乙箱中摸到红球的概率为84105=，故从乙箱中摸到红球的概率为22483515P =⨯=；综上所述：摸到红球的概率为710.10.在A 、B 、C 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.【答案】（1）0.0485；（2）3097.【解析】【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）记事件:D 选取的这个人患了流感，记事件:E 此人来自A 地区，记事件:F 此人来自B 地区，记事件:G 此人来自C 地区，则D E F Ω= ，且D 、E 、F 彼此互斥，由题意可得()50.2520P E ==，()70.3520P F ==，()80.420P G ==，()0.06P D E =，()0.05P D F =，()0.04P D G =，由全概率公式可得()()()()()()()0.250.060.350.050.40.04P D P E P D E P F P D F P G P D G =⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯0.0485=；（2）由条件概率公式可得()()()()()()0.250.06300.048597P D P D E P DE P E D P D P D ⋅⨯====.11.已知()0P A >，()0P B >，()()P B A P B =∣，证明：()()P A B P A =∣.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据()()P BA PB =∣得到()()()P AB P A P B =，然后利用条件概率公式直接就可证明.【详解】因为()0P A >，()0P B >，所以()()()()P AB P B A P B P A ==∣，即()()()P AB P A P B =,所以()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P B P B ===∣，即()()P A B P A =∣.综合运用12.一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.【答案】97990【解析】【分析】先求抽检第1件产品不合格的概率，再求抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率，两个概率之和即为所求概率.【详解】抽检第1件产品不合格的概率为5110020=，抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为9551910099396⨯=，所以这批产品被拒绝的概率为11977697203967290990+==.13.在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD 、Dd 、dd ，其中D 为显性基因，d 为隐性基因，且这三种基因型的比为1:2:1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为dd 的概率是多大？【答案】14【解析】【分析】记事件:B 子三代中基因型为dd ，记事件1:A 选择的是Dd 、Dd ，记事件2:A 选择的是dd 、dd ，记事件3:A 选择的是dd 、Dd ，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:B 子三代中基因型为dd ，记事件1:A 选择的是Dd 、Dd ，记事件2:A 选择的是dd 、dd ，记事件3:A 选择的是dd 、Dd ，则()1111224P A =⨯=，()21114416P A =⨯=，()31112424P A =⨯⨯=.在子二代中任取2颗豌豆作为父本杂交，分以下三种情况讨论：①若选择的是Dd 、Dd ，则子三代中基因型为dd 的概率为()114P B A =；②若选择的是dd 、dd ，则子三代中基因型为dd 的概率为()21P B A =；③若选择的是dd 、Dd ，则子三代中基因型为dd 的概率为()312P B A =.综上所述，()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅11111114416424=⨯+⨯+⨯=.因此，子三代中基因型为dd 的概率是14.14.证明条件概率的性质（1）和（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】结合条件概率的概念和概率的性质进行证明即可.【详解】性质（1）：因为()()P A P A Ω=，所以()()()()()|==1P A P A P A P A P A ΩΩ=；性质（2）因为B 和C 是两个互斥事件，所以AB 和AC 是两个互斥事件，所以()()()()()()()()()()()P B C A P AB P AC P AB P AC P B C A P A P A P A P A ⋃+⋃===+()()P B A P C A =+.拓广探索15.证明：当()0P AB >时，()()()()P ABC P A P B A P C AB =∣∣.据此你能发现计算()12n P A A A ⋅⋅⋅的公式吗？【答案】证明见解析；()()()()()12123212111|||n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅⋅=…….【解析】【分析】由条件概率公式()()()|P AB P A P B A =即可得到.【详解】因为()()()|P AB P A P B A =，所以()()()()()()P ABC P AB P CAB P A P B A P C AB ==∣∣∣；所以()()()()()12123212111|||n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅⋅=…….。
《全概率公式》 知识清单
《全概率公式》知识清单一、全概率公式的定义全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，它提供了一种计算复杂事件概率的方法。
假设事件 B1，B2，，Bn 构成一个完备事件组，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝1, 2,， n），对于任意一个事件 A，则有：P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi) （i 从 1 到 n）这里，P(A|Bi) 表示在事件 Bi 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
二、全概率公式的理解为了更好地理解全概率公式，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设一个盒子里有三个小球，分别是红色、蓝色和绿色。
我们知道从盒子中随机取出一个球是红色球的概率为 1/3，是蓝色球的概率为1/3，是绿色球的概率也为 1/3。
现在假设我们进行一个实验，如果取出的是红色球，那么成功的概率是 08；如果取出的是蓝色球，成功的概率是 06；如果取出的是绿色球，成功的概率是 04。
现在我们想知道这个实验成功的总概率是多少？我们可以把取出红色球、蓝色球和绿色球看作是三个完备事件B1、B2、B3。
那么根据全概率公式，实验成功的概率 P(A) 就等于：P(A) ＝ P(B1)P(A|B1) ＋ P(B2)P(A|B2) ＋ P(B3)P(A|B3)＝（1/3)×08 ＋（1/3)×06 ＋（1/3)×04通过计算可以得出实验成功的总概率。
从这个例子可以看出，全概率公式其实是把一个复杂的事件 A 的概率，分解为在不同条件下（即不同的完备事件 Bi 发生的条件下）事件A 发生的概率的加权和。
三、全概率公式的应用场景1、决策问题在面临多种可能的情况和相应的结果时，全概率公式可以帮助我们计算出最终的综合结果概率，从而为决策提供依据。
例如，一个企业在考虑是否推出一款新产品时，可能会面临市场需求高、中、低三种情况，每种情况下产品成功的概率不同。
通过全概率公式，可以计算出推出新产品成功的总概率，帮助企业做出决策。
全概率公式经典例题大题
全概率公式经典例题大题全概率公式是概率论中的一个重要概念，在解决很多实际问题时都能发挥大作用。
咱们今天就通过几道经典例题，来好好聊聊这个全概率公式。
先来说说啥是全概率公式。
简单来讲，就是如果事件 B 可以被一系列互斥且完备的事件 A1、A2、A3……An 所划分，那么事件 B 发生的概率，就等于这些事件 A 分别发生时导致事件 B 发生的概率的加权和。
公式表达就是：P(B) = P(A1)×P(B|A1) + P(A2)×P(B|A2) + …… +P(An)×P(B|An) 。
咱们来看一道经典例题：假设某工厂有三个车间生产同一种产品，产量分别占总产量的 25%、35%和 40%。
三个车间产品的次品率分别为 5%、4%和 2%。
现在从全厂的产品中随机抽取一件，求抽到次品的概率。
这道题就是全概率公式的典型应用。
咱们设事件 A1 表示抽到的产品来自第一个车间，事件 A2 表示抽到的产品来自第二个车间，事件A3 表示抽到的产品来自第三个车间，事件 B 表示抽到次品。
那么 P(A1) = 0.25，P(A2) = 0.35，P(A3) = 0.4，P(B|A1) = 0.05，P(B|A2) = 0.04，P(B|A3) = 0.02 。
根据全概率公式，P(B) = 0.25×0.05 + 0.35×0.04 + 0.4×0.02 = 0.0345 。
咱们再来看一个生活中的例子。
比如说，在一个城市里，有晴天、多云和雨天三种天气情况，分别占比 40%、30%和 30%。
在晴天时，交通拥堵的概率是 20%；在多云时，交通拥堵的概率是 30%；在雨天时，交通拥堵的概率是 50%。
那么随机选择一天，这天交通拥堵的概率是多少？这也是全概率公式能轻松解决的问题。
设事件 A1 表示这一天是晴天，事件 A2 表示这一天是多云，事件 A3 表示这一天是雨天，事件 B表示交通拥堵。
全概率公式
例如，某地发生了一个案件，怀 疑对象有甲、乙、丙三人。 偏小 在不了解案情细节(事件A) 之前，侦破人员根据过去 丙 乙 甲 的前科，对他们作案的可能性 P(B ) P(B ) P(B ) 3 1 2 有一个估计，设为 知道A 但在知道案情细 发生后 节后, 这个估计 P(B1 | A) P(B2 | A) P(B3 | A) 就有了变化。 比如原来认为作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯。
AB1 AB2
设B1={第一人抽到入场券}, B2={第一人未抽到入场券} 则 A＝AB1+AB2 且 AB1和AB2互不相容
空
B1
A 空
入 场 券 B2
入 场 券
空
空
空
入 场 券
入 场 券
空
则 A＝AB1+AB2
且 AB1和AB2互不相容 运用加法公式得
所以 P(A)＝P(AB1)+P(AB2)
0.005 * 0.95 0.1066 0.005 * 0.95 0.995 * 0.04
现在来分析一下结果的意义： 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验，抽查一人，他是患者的 提示 概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应， 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率 为 P(C｜A)= 0.1066
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是 条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因 发生可能性大小。
结果已发生 现从出厂产品中任取一件， 发觉该产品是次品而且其标 志已脱落，试求这件次品来 自车间1的概率？
全概率公式和贝叶斯公式选择题
全概率公式（法）和贝叶斯公式是概率论中重要的公式，在统计学和机器学习等领域有着广泛的应用。
本文将从理论基础、适用场景、公式推导和实际应用等方面对全概率公式和贝叶斯公式进行深入分析，希望能帮助读者更好地理解和运用这两个公式。
一、全概率公式全概率公式是概率论中的重要定理，它可以将条件概率转化为无条件概率。
全概率公式的数学表达式如下：P(A) = Σ P(A|B_i)P(B_i)其中，P(A)代表事件A的概率，P(B_i)代表一组互斥事件B_i的概率，P(A|B_i)代表在事件B_i发生的条件下，事件A发生的概率。
全概率公式的应用场景非常广泛，例如在医学诊断中，我们可以通过已知的症状和疾病发生的概率，利用全概率公式计算出某种疾病发生的概率；在工程项目管理中，我们可以通过不同的风险事件发生的概率，利用全概率公式计算出整体风险的概率。
二、贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中的另一项重要定理，它可以根据先验概率和条件概率计算出后验概率。
贝叶斯公式的数学表达式如下：P(B|A) = P(A|B)P(B) / P(A)其中，P(B|A)代表在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A|B)代表在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别代表事件B和事件A的无条件概率。
贝叶斯公式的应用也非常广泛，例如在垃圾邮件过滤中，我们可以通过已知的正常邮件和垃圾邮件的发生概率，利用贝叶斯公式计算出收件箱中某封邮件是垃圾邮件的概率；在金融风险管理中，我们可以通过历史数据和市场变化的概率，利用贝叶斯公式计算出未来风险的概率。
三、全概率公式和贝叶斯公式的通联与区别全概率公式和贝叶斯公式在概率论中有着密切的通联，它们都是基于条件概率和无条件概率的转化关系。
全概率公式是将事件A的概率表示为在一组互斥事件B_i的条件下的概率之和，而贝叶斯公式则是根据条件概率和先验概率计算出后验概率。
在实际应用中，全概率公式和贝叶斯公式常常结合使用，通过递归地应用贝叶斯公式，可以不断更新先验概率，得到更加准确的后验概率。
考向40 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式(七大经典题型)(原卷版)
考向40 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式经典题型一：条件概率经典题型二：相互独立事件的判断 经典题型三：相互独立事件概率的计算 经典题型四：相互独立事件概率的综合应用 经典题型五：全概率公式及其应用 经典题型六：贝叶斯公式及其应用经典题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用（2022·全国·高考真题（理））某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（ ）A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）知识点1、条件概率 （一）定义一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+．注意：（1）如果知道事件A 发生会影响事件B 发生的概率，那么()|)(P B P B A ≠； （2）已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω． 知识点2、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． （二）事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅． （2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =． （3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立． 知识点3、全概率公式 （一）全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()0i P A >，12i n =，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+ （2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()01i P A <<，12i n =，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．1、两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A =．2、贝叶斯公式充分体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的转关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+之间的内在联系．经典题型一：条件概率1．（2022·福建泉州·模拟预测）目前，国际上常用身体质量指数BMI ()()22kg m =体重单位：身高单位：来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为3100；女员工中，肥胖者的占比为2100，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ） A ．3100B ．9200 C ．35D ．342．（2022·山东日照·三模）若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的概率D ．事件A 、B 同时发生的概率3．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以12,A A 和3A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．()2411P B A = B ．事件1A 与事件B 相互独立 C ．()312P A B =D ．3()10P B =4．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A 表示选出的三种药方中至少有一药，事件B 表示选出的三种药方中至少有一方，则()|P A B =（ ） A ．1920B ．910C ．919D ．18195．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲､乙､丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲､乙､丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%，35%，40%，甲､乙､丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8，0.6，0.75（水仙花球茎的使用率=能使用的水仙花球茎数采摘的水仙花球茎总数）.(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望；(2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，求它是由丙工作队所采摘的概率.经典题型二：相互独立事件的判断6．（2022·湖北·模拟预测）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，①，①，①四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A ：“医生乙派往①医院”记为事件B ；“医生乙派往①医院”记为事件C ，则（ ） A ．事件A 与B 相互独立 B ．事件A 与C 相互独立 C ．()110P B A =D ．()110P C A =7．（2022·全国·模拟预测（文））一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A 为“第一次记下的数字为奇数”，事件B 为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（ ） A ．()13P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．()14P B A =D ．事件A 与事件B 相互独立8．（2022·湖南常德·一模）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，①，①三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往①村庄”，则（ ） A ．事件A 与B 相互独立 B ．事件A 与C 相互独立 C ．5(|)12P B A =D ．5(|)12P C A =9．（2022·上海金山·一模）设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N =；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4经典题型三：相互独立事件概率的计算10．（2022·福建·模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为13，投中壶耳的概率为15.四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（）A．1375B．375C．815D．87511．（2022·天津和平·二模）已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A．0.18B．0.3C．0.24D．0.36 12．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A，B，C三个景区中的一个景区旅游，甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A景区旅游去B景区旅游去C景区旅游甲0.40.2乙0.30.6D．0.52 13．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为518，该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为（）A．2518B．19C．16D．11814．（2022·河南开封·三模（理））生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内成对存在，一个来自父本，一个来自母本，且等可能随机组合.豌豆子叶的颜色是由显性因子D（表现为黄色），隐性因子d（表现为绿色）决定的，当显性因子与隐形因子结合时，表现显性因子的性状，即DD，Dd都表现为黄色；当两个隐形因子结合时，才表现隐形因子的性状，即dd表现为绿色.已知父本和母本确定子叶颜色的遗传因子都是Dd，不考虑基因突变，从子一代中随机选择两粒豌豆进行杂交，则选择的豌豆的子叶都是黄色且子二代豌豆的子叶是绿色的概率为（）A．127B．116C．18D．1415．（2022·广东韶关·二模）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1和元件2同时正常工作，或元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件正常工作的概率均为34，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件正常工作的概率为（）A．764B．1532C．2732D．5764经典题型四：相互独立事件概率的综合应用16．（2022·辽宁鞍山·一模）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.17．（2022·河南安阳·模拟预测（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为23，选择乙方案测试合格的概率为12，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.（i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率.(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.18．（2022·江西九江·三模（理））电子竞技（Electronic Sports）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.现有包括A战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知A战队每场比赛获胜的概率为23，且各场比赛互不影响.(1)估计A战队获得冠军的概率；(2)某公司是A战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.19．（2022·江苏南京·模拟预测）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k (1k >，*k ∈N )局，谁便赢得全部奖金a 元．每局甲赢的概率为()01p p <<，乙赢的概率为1p -，且每场比赛相互独立．在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P 甲乙分配奖金． (1)规定如果出现无人先赢k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P 甲乙分配奖金．若3k =，2m =，1n =，34p =，求:P P 甲乙．(2)记事件A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当4k =，2m =，2n =时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率()f p ，并判断当617p ≤<时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．20．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p ，且每件零件是否合格是相互独立的.(1)已知0.9p =，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为0.6.工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p 的最小值？经典题型五：全概率公式及其应用21．（2022·全国·高三专题练习）“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ） A ．29B ．18C ．112 D ．5822．（2022·黑龙江·绥芬河市高级中学高三阶段练习）某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为（ ）A．0.48B．0.66C．0.70D．0.75 23．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（）A．0.999B．0.9C．0.5D．0.1 24．（2022·全国·模拟预测）书架上放有2本语文书和3本数学书，学生甲先随机取走2本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书．已知甲至少取走了1本数学书，则乙取走语文书的概率为__________．25．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是__________.经典题型六：贝叶斯公式及其应用26．（2022·全国·高三专题练习）某人下午5：00下班，他所积累的资料如表所示到家时间5：35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54晚于5：54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05回家的概率为______．27．（2022·山东青岛·高三开学考试）北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金､32银､18铜､打破4项世界纪录､创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查·（1）从混合的乒乓球中任取1个.（i）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.28．（2022·全国·高三专题练习）设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？29．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高三开学考试）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M ，其中由本厂自主生产的配件M 可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M 的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M 的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M 的平均成本控制为640元/件．(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M 的数量；(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率；(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？经典题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用30．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B =D ．()922P B = 31．（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．32．（2022·山西长治·高三阶段练习）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．（i ）()0P X =；（ii ）X 的分布列及数学期望．1．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2 3 .故答案为：16；23.3．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.4．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（①）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（①）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（①）的结果给出R的估计。
三门问题全概率公式
三门问题全概率公式摘要：1.三门问题概述2.全概率公式介绍3.三门问题与全概率公式的关联4.三门问题的解法及应用正文：一、三门问题概述三门问题，是概率论中的一个经典问题。
问题描述如下：有三道门，其中一道门后有一辆车，另外两道门后为山羊。
参赛者先挑选一扇门，然后主持人会打开另外两扇门中的一扇，并且必定有一扇门后是山羊。
然后问参赛者，是否要更换选择。
问题是：参赛者更换选择后，获得汽车的概率是否比不更换选择获得的概率更高？二、全概率公式介绍全概率公式是概率论中的一个重要公式，用于求解复杂概率问题。
全概率公式表达式为：P(A) = ΣP(A|B1)P(B1) + ΣP(A|B2)P(B2) + … +ΣP(A|Bn)P(Bn)，其中A 为某一事件，B1、B2、…、Bn 为A 的互斥且全集的事件。
三、三门问题与全概率公式的关联在三门问题中，我们可以将问题转化为一个全概率问题。
假设参赛者一开始选择的门为A，主持人打开的门为B，另一扇门为C。
我们可以将事件A划分为两个互斥事件：A1（参赛者选择A 且主持人打开B）和A2（参赛者选择A 且主持人打开C）。
同样，事件B 也可以划分为两个互斥事件：B1（主持人打开B 且参赛者更换选择）和B2（主持人打开C 且参赛者更换选择）。
四、三门问题的解法及应用根据全概率公式，我们可以计算出参赛者更换选择后获得汽车的概率。
P(A1) = 1/3，P(B1|A1) = 1/2，P(B2|A1) = 1/2。
那么，根据全概率公式，P(A|B) = P(A1|B)P(B1) + P(A2|B)P(B2) = (1/3) * (1/2) + (1/3) * (1/2) =1/3。
也就是说，参赛者更换选择后获得汽车的概率为1/3，与不更换选择的概率相同。
通过三门问题，我们可以看到全概率公式在解决实际问题中的应用。
同时，这个问题也引发了许多有趣的讨论，如参赛者是否应该更换选择等。
新课程新教材高中数学选择性必修3：全概率公式【可编辑全文】
P(B|A3) ＝0.1,
P(A2)=0.2， 写概率
P(A4)＝0.4，
P(B|A2)＝0.3，
P(B|A4)＝0.2，
0.25
0.3
B
由全概率公式，得
P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 ) P( A4 ) P( B | A4 )
=0.3×0.25＋ 0.2×0.3＋ 0.1×0.1＋ 0.4×0.2=0.225
A2 0.2
0.1
0.2
代公式
A3 0.1
A4 0.4
16
四、引导与迁移
变式：例2中，条件不变，问题变为：
“他迟到了，求他乘汽车迟到的概率”．
贝叶斯公式
已知结果
求原因
分析：就是计算在B发生的条件下，事件A3发生的概率.
10 9 10 9
0.6
B
所以，第2次摸到红球的概率是0.6.
5
9
A1
6
10
A2
4
10
6
9
BA1
A1
BA标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再
由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.
P( B) PBA1 BA2
贝叶斯公式
五、引申与评价
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
全概率公式
解：设 A 表示“该考生会做这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，
则 P(A)＝0.85，P( A )＝0.15，P(B|A)＝1，P(B| A )＝0.25.
(1)由全概率公式得
高考数学专题30条件概率与全概率公式解析版
高考数学专题30条件概率与全概率公式解析版1.单选题1.在下雨的条件下吹东风的概率为9/308，既吹东风又下雨的概率为8/3030.求在下雨条件下吹东风的概率。
解析：根据条件概率公式，P(吹东风|下雨) = P(吹东风且下雨) / P(下雨) = (8/3030) / (9/308) = 1111/30，所以选C。
2.某酒店商务房间1天有客人入住的概率为4/5，连续2天有客人入住的概率为3/51.在该房间第一天有客人入住的条件下，第二天也有客人入住的概率为多少？解析：设第二天也有客人入住的概率为P，根据条件概率公式，P(第二天有客人入住|第一天有客人入住) = P(第一天和第二天都有客人入住) / P(第一天有客人入住) = (3/51) / (4/5) = 254/5，所以选D。
3.在正方形ABCD内切圆I与各边分别切于点E，F，G、H，连接EF，FG，GH，HE。
现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P(B|A)等于多少？解析：圆I的半径为正方形边长的一半，面积为πa^2，正方形EFGH的面积为2a^2.根据条件概率公式，P(B|A) = P(B且A) / P(A) = (2a^2 - πa^2) / (πa^2) = 1 - 2/π，所以选B。
4.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于多少？解析：根据条件概率公式，P(B|A) = P(A且B) / P(A) =P(两次出现正面) / P(第一次出现正面) = (1/4) / (1/2) = 1/2，所以选A。
5.已知P(B|A) = 13/25，P(A) = 13/25，P(AB) = 9/25，求P(B)。
解析：根据全概率公式，P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')，其中A'表示事件A的补集。
第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (精讲)(含答案解析)
是___________.
同类题型归类练
（2022·重庆·高二阶段练习）
21．从 5 名男同学和 4 名女同学中任选 2 名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，
都是男同学的概率是（ ）
A．
1 3
5 B． 14
10 C． 13
D．
5 8
（2022·重庆南开中学高三阶段练习）
22．记
A
为事件
A
的对立事件，且
修改人口与计划生育法的决定，提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女.
若已知某个家庭有 3 个小孩，且其中至少有 1 个男孩的条件下，则第三个孩子是女孩的
概率为___________.
（2022·北京通州·高二期末）
4．有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为 5%，第二台加工的次品率
③设 B 和 B 互为对立事件，则 P(B | A) 1 P(B | A) ． ④任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即： 0 P(B | A) 1.
试卷第 1页，共 9页
知识点三：全概率公式 1、定义：一般地，设 A1，A2 ，A3 L An 是一组两两互斥的事件，A1 A2 A3 An ，
n
且 P(Ai ) 0 ， i 1, 2,3, 4n ，则对任意的事件 B ，有 P(B) P(Ai)P(B | Ai) ，我 i 1
们称此公式为全概率公式. 2、全概率公式的理解 全概率公式的直观意义：某事件 B 的发生有各种可能的原因 Ai （ i 1, 2, 3, 4n ），并且
设每场比赛双方获胜的概率都是二分之一，求需要进行第五场比赛的概率.
题型二：条件概率
典型例题
例题 1．（2022·福建·莆田一中高二期末）
三门问题全概率公式
三门问题全概率公式三门问题（Monty Hall problem）是一个有关概率论的经典问题，描述如下：有三扇关闭的门，其中一扇门后有一辆车，其他两扇门后有山羊。
参赛者选择其中一扇门，主持人在选手选定后，打开剩下两扇没有被选的门中的一扇，露出其中一扇有山羊的门。
然后，主持人问选手是否要更换自己的选择。
问题是：选手应该坚持自己原来的选择，还是更换选择？为了回答这个问题，可以使用全概率公式。
设C1、C2、C3分别表示车在第一、第二和第三扇门后的事件，G1、G2、G3分别表示山羊在第一、第二和第三扇门后的事件，选择C1门的事件为S1，选择C2门的事件为S2，选择C3门的事件为S3。
根据全概率公式，可以得到选手不更换选择的情况下获得车的概率：P(C1|S1) = P(S1|C1) * P(C1) / (P(S1|C1) * P(C1) + P(S1|C2) *P(C2) + P(S1|C3) * P(C3))其中，P(S1|C1) = 0，因为如果选手选择了C1门，主持人不会在C1门后打开有山羊的门；P(S1|C2) = 1/2，因为如果选手选择了C2门，主持人有两扇门可以打开，每个门都有相等的概率；P(S1|C3) = 1，因为如果选手选择了C3门，主持人只能打开C2门，露出山羊。
此外，P(C1) = P(C2) = P(C3) = 1/3，因为车和山羊的位置是等概率的。
代入上述公式，可以得到：P(C1|S1) = 0 / (0 + 1/2 * 1/3 + 1 * 1/3) = 0P(C2|S1) = (1/2 * 1/3) / (0 + 1/2 * 1/3 + 1 * 1/3) = 1/3P(C3|S1) = (1 * 1/3) / (0 + 1/2 * 1/3 + 1 * 1/3) = 2/3因此，选手不更换选择的情况下，获得车的概率是1/3；更换选择的情况下，获得车的概率是2/3。
所以，选手应该更换选择才能提高获得车的概率。
7.1.2全概率公式 (课件)
P(B3|A)＝
PA|B3PB3
4
PA|BiPBi
i＝1
1
4×0.3
＝1
1
1
×0.2＋
×0.1＋
×0.3＋0×0.4
3
12
4
0.075
＝ 0.15 ＝0.5.
当堂达标
1.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确
答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他
分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任
取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),如图所示,可将事件B表示为3个
两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率.
解：设B=“任取一个零件为次品”,
Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),
ത
P(A) = P(A
= 0.1,
ഥ) = 0.05, P(|
ഥ) = 0.95.
ത A
P(B|A
ഥ)P(B|A
ഥ) = 0.5 × 0.9 + 0.5 × 0.05 = 0.475;
(1)P(B) = P(A)P(B||A) + P(A
ത = 1 − P(B) = 1 − 0.475 = 0.525.
所包含的各种信息用图直观表示。
发送0(A)
ഥ)
发送1(
| = .
ഥ |
ഥ = .
接收0(B)
ഥ)
接收1(
解：设A = “发送的信号为0”，B = “接收到的信号为0”，则A = “发送的信号为1”，
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Advances in Education教育进展, 2017, 7(6), 328-333Published Online November 2017 in Hans. /journal/aehttps:///10.12677/ae.2017.76051Some Famous Problems Solved by FullProbability FormulaXiaohan YangSchool of Mathematics Science, Tongji University, ShanghaiReceived: Oct. 19th, 2017; accepted: Nov. 1st, 2017; published: Nov. 8th, 2017AbstractFull probability formula is a basic subject of the theory of Probability. By presenting some inter-esting and famous problems that are applications of this subject instead of mathematics deduction, this paper attempts not only to illustrate how this extremely important formula comes into play but also to let individual feel it is fundamental and awesome to learn probability.KeywordsFull Probability Formula, Monty Hall Problem, Simpson’s Paradox, Sensitivity Analysis全概率公式解释的经典问题杨筱菡同济大学数学科学学院，上海收稿日期：2017年10月19日；录用日期：2017年11月1日；发布日期：2017年11月8日摘要《概率论与数理统计》课程与实际问题联系非常密切，其重要性不言而喻。
另一方面，不管是教科书还是学生，在教学和学习过程中都缺乏直接体会概率统计课程重要性的载体。
本文尝试以课程中一个非常重要的公式——全概率公式为切入点，收集整理了用全概率公式解释的一些有趣的经典问题，并结合直观的树图讲解，使得学生在轻松掌握全概率公式这个知识点的同时，还有了利用概率统计方法解释现实中经典案例的直观体验，寓教于乐，提高学习积极性。
杨筱菡关键词全概率公式，蒙提霍尔问题，辛普森悖论，敏感性问题Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/1. 引言众所周知，全概率公式是《概率论与数理统计》课程中一个非常重要的公式。
在大多数的教科书[1] [2]上，我们能看到详细的关于全概率公式的介绍及公式的推导。
纵观以往的文献，也不难发现很多关于完备事件组的分解注释、这个公式的推广及其应用[3] [4] [5] [6]，教案设计、教学方法研究[7]等等，但是很少有文献讨论关于这一知识点的例子选择和收集。
我们在教与学的过程中通常都会借助一些例子来加强对数学概念或公式的理解和运用，例如疾病检测就是一个被经常选入教科书的典型例子，因为例子是最直接最有效的学习载体，也是理解知识点的最佳途径。
笔者在多年的教学过程中，参考了多本教材，发现全概率公式这一知识点的例子都比较中规中矩，主要注重对全概率公式的讲解和运用，但是相对都比较沉闷，学生在学习过程中缺乏兴趣和动力，主动性不高。
因此，在本文中，我们收集整理了三个和全概率公式相关的生动有趣的问题或例子，供学生学习和理解这两个公式时借鉴，同时也能了解一些流传的经典案例，提高学习概率统计的积极性。
为了后续内容介绍的连贯性，首先，我们还是先简单阐述一下全概率公式的定义。
完备事件组的定义：设E 是随机试验，Ω是相应的样本空间，12,,,n A A A 为事件组，若12,,,nA A A 满足条件：(1) ()i j A A i j φ=≠ ；(2) 12n A A A =Ω ，则称事件组12,,,n A A A 为样本空间的一个完备事件组。
完备事件组完成了对样本空间的一个分割。
同时也完成了对事件B 的一个分割，见图1和图2。
全概率公式：设12,,,n A A A 为完备事件组，且()()01,2,,i P A i n >= ，B 为任一事件，则()()()1|ni i i P B P A P B A ==∑Figure 1. Partition of the sample space图1. 完备事件组杨筱菡例如，当2n =时，即为()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+。
下面的树图(图3)给出了全概率公式的分解。
2. 蒙提霍尔问题(Monty Hall Problem)这是一个源自博弈论的数学游戏问题。
这个概率问题也因为影片“决胜21点”中，主角班·坎贝尔(Ben Campbell)成功解开教授米基·罗沙(Mickey Rosa)在课上的提问而非常有名。
影片中是这样描述的，有三扇关闭了的门A 、B 和C ，其中一扇门后是一辆汽车(寓意价值高，是奖品)，其他两扇门后各藏有一只山羊(寓意价值很低)，Ben 选了第一扇门A ，然后教授Michey 把第三扇门C 打开了，后面是一只山羊。
这时候教授Michey 问Ben ：“你换不换到第二扇门？”Ben 的回答是：换。
因为如果不换，赢得汽车的概率是13；如果换，赢得汽车的概率将是23。
这样的回答似乎感觉上与我们的直观相悖，因为从直观上来说，既然已经知道C 门后是羊，那么A门和B 门一个后面是汽车，另一个后面是山羊，不管选A 或B ，选到汽车山羊的概率都是12。
换句话说，这时候，换或不换，赢得汽车的概率都是12。
事实上，如果Ben 先选中的A 门后是山羊，换后百分之百赢；如果A 门后是汽车，换后百分之百输。
而A 门后是山羊的概率是23，A 门后是汽车的概率是13。
所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为13的机率来说，转换选择可以增加赢的机会。
Figure 2. Partition of event B 图2. 事件B 的分割Figure 3. Tree diagram of full probability formula 图3. 全概率公式的树图分解杨筱菡关于这个问题，我们可以查询到很多种解释方法，而借助全概率公式的解释是比较容易理解的一种解释方式。
首先可以用树图(图4)来表示两个不同策略及其相应的概率值。
首先设A =“最初选择的门后是汽车”，B 表示“最终赢得汽车”，则由已知条件知，实际情况中汽车在A 门后的概率是13，不在A 门后的概率是23，即()()12,33P A P A==。
策略一：Ben 不换选择，即仍然选择A 门，则Ben 能最终赢得汽车的概率，即()()()()()121||10333P B P A P B A P A P B A =+=×+×=， 策略二：Ben 换选择，即换至未开启的B 门，则Ben 能最终赢得汽车的概率，即()()()()()122||01333P B P A P B A P A P B A =+=×+×=， 所以，显然，策略二即Ben 换到未打开的B 门，他能赢得汽车的概率将比不换增加一倍。
3. 辛普森悖论(Simpson’s paradox)例如，有两种治疗肾结石的方案：方案1和方案2。
在接受方案1治疗的所有患者中小结石患者占23%，大结石患者占77%，小结石患者的治愈率是93%，大结石患者的治愈率是73%。
在接受方案2治疗的所有患者中小结石患者占67%，大结石患者占33%，小结石患者的治愈率是87%，大结石患者的治愈率是69%。
如表1所示。
首先，我们发现不管是对小结石患者还是大结石患者，方案1的治愈率都要高于方案2，那么我们能就此判断方案1要优于方案2吗？同样设A =“小结石患者”，B =“治愈”， 方案1：由已知条件可知：()()()()0.23,0.77,|0.93,|0.73P A P A P B A P B A ====，则根据全概率公式，可得所有接受方案1的患者治愈率为：()()()()()||0.230.930.770.730.776P B P A P B A P A P B A =+=×+×=策略一：不换选择策略二：换选择Figure 4. Tree diagram of Monty Hall Problem图4. 蒙提霍尔问题策略树图杨筱菡Table 1. Two treatments for kidney stone 表1. 两种治疗肾结石的方案方案1方案2患者比例治愈率(B ) 患者比例 治愈率(B ) 小结石患者(A ) 23% 93% 67% 87% 大结石患者(A )77%73%33%69%方案2：由已知条件可知：()()()()0.67,0.33,|0.87,|0.69P A P A P B A P B A ====，则所有接受方案2的患者治愈率为：()()()()()||0.670.870.330.690.8106P B P A P B A P A P B A =+=×+×=，所以，方案2的患者治愈率要比方案1高！这个结论大大出乎我们之前的直观结论。
究其原因，那是因为之前观察数据的时候，我们比较的是每种方案下，不同患者的治愈率，换句话说，我们比较的这些“治愈率”都是条件概率。
如果把不同患者定义成“原因”(A 和A )，治愈定义成“结果”(B )。
也可以说，我们比较的是，在已知不同“原因”发生的条件下，“结果”发生的概率。
而通过全概率公式的计算，最终我们只是比较“结果”发生概率的大小，这是综合了所有“原因”以后的一个结论。
而各个“原因”在全概率公式计算中占有的权重直接影响了最终的概率结论，发生了所谓的“悖论”的出现！4. 敏感性问题调查(sensitivity analysis)对于考试作弊，赌博，偷税漏税，酒后驾车等一些涉及个人隐私或利害关系，不受被调查对象欢迎或感到尴尬的敏感问题，即使做无记名的直接调查，也很难消除被调查者的顾虑，他们极有可能拒绝应答或故意做出错误的回答，很难保证数据的真实性，使得调查的结果存在很大的误差。