含绝对值函数的可导性讨论
高一数学中如何理解连续性与可导性
高一数学中如何理解连续性与可导性在高一数学的学习中，连续性与可导性是两个非常重要的概念，它们不仅是后续数学学习的基础，也是理解许多实际问题的关键。
对于刚刚接触这两个概念的同学来说，可能会感到有些抽象和难以理解。
那么，让我们一起来深入探讨一下，如何在高一数学的范畴内理解连续性与可导性。
首先，我们来谈谈什么是连续性。
想象一下，你正在沿着一条平滑的曲线行走，没有任何突然的跳跃或中断，这就是连续的直观感受。
在数学中，如果一个函数的图像能够一笔画成，中间没有断开或者跳跃，我们就说这个函数是连续的。
比如说，函数$f(x) ＝ x^2$ 就是一个连续函数。
无论你取哪个＄x$ 的值，都能通过平滑的过渡得到对应的函数值。
但如果是一个分段函数，比如：＼f(x) ＝＼begin{cases}x ＋ 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼0, ＆ x ＝ 0 ＼＼x 1, ＆ x ＞ 0＼end{cases}＼在＄x ＝ 0$ 这个点，函数就出现了跳跃，不是连续的。
为了更准确地定义连续性，我们可以从极限的角度来看。
如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处的极限等于函数在该点的函数值，即＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄，那么函数在＄x_0$ 处连续。
这意味着当＄x$ 无限接近＄x_0$ 时，＄f(x)＄的值也无限接近＄f(x_0)＄。
连续性在实际生活中也有很多应用。
比如，物体的运动轨迹通常是连续的，温度的变化在一定时间内也是连续的。
接下来，我们说一说可导性。
如果说连续性是关于函数图像是否平滑没有断裂，那么可导性则更关注函数图像的“陡峭程度”是否变化平滑。
还是以函数＄f(x) ＝x^2$ 为例，它在任何一点的切线都是存在的，这就说明它在任何一点都是可导的。
但像绝对值函数＄f(x) ＝｜x|＄，在＄x ＝ 0$ 处就不可导。
因为在这一点，函数图像的“陡峭程度”发生了突然的变化。
从数学定义上讲，如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数存在，即＄＼lim_{h ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋ h) f(x_0)｝｛h}＄存在，那么函数在＄x_0$ 处可导。
绝对值函数判断不可导点技巧
绝对值函数判断不可导点技巧1.引言1.1 概述绝对值函数是高等数学中的重要概念之一，它在许多数学问题中起着重要的作用。
不可导点是指函数在该点处无法通过导数进行刻画的点。
本文将讨论绝对值函数判断不可导点的技巧，通过探讨其定义、不可导点的概念以及判断不可导点的技巧，能够更好地理解绝对值函数的特性和性质。
在引言部分，我们将首先概述本文的目的和重要性。
绝对值函数作为一种基本的数学函数，其具有特殊的性质和图像表现形式。
然而，在某些点上，绝对值函数存在不可导的情况，这给我们在求导过程中带来了一定的困扰。
因此，研究如何判断绝对值函数的不可导点对于我们更深入地理解和应用绝对值函数至关重要。
本文的结构如下：首先我们将介绍绝对值函数的定义，明确了解绝对值函数的数学形式和性质。
接下来，我们将引入不可导点的概念，详细探讨在哪些情况下绝对值函数在某个点处不可导。
然后，我们将分享一些判断不可导点的技巧，包括用图像法和导数定义法进行分析。
最后，通过一些例子和应用，我们将实际展示如何运用所学的技巧来判断绝对值函数的不可导点。
通过本文的研究，我们可以更好地理解绝对值函数在不可导点的特性，掌握判断绝对值函数不可导点的技巧，从而在数学问题的求解和应用中能够更加准确地分析和解决相关的数学难题。
本文的研究对于深入理解和应用绝对值函数，提高数学分析能力具有重要的意义。
让我们一起开始探讨绝对值函数判断不可导点的技巧吧！文章结构部分是对整篇文章的组织和安排进行介绍。
下面是文章结构的内容：1.2 文章结构本文将按照以下四个部分来进行介绍和讨论绝对值函数判断不可导点的技巧：2.1 绝对值函数的定义在这一部分，我们将详细介绍绝对值函数的定义以及其在数学中的性质。
我们将介绍绝对值函数的图像、定义域和值域等重要概念，使读者对绝对值函数有一个清晰的认识。
2.2 不可导点的概念这一部分将对不可导点进行定义和解释。
我们将介绍导数的概念，并讨论何时一个点在绝对值函数中是不可导的。
f（x）与｜f（x）｜的可导性、可积性关系
f（x）与｜f（x）｜的可导性、可积性关系第28卷第6期2010年11月佳木斯大学(自然科学版)JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)V0l_28No.6NOV.2010文章编号:1008—1402(2010)o6—0955—02f()与If()l的可导性,可积性关系①冯再勇,张黎(南京铁道职业技术学院苏州校区基础部.江苏苏州215137)摘要:讨论了函数厂()与I)I之间的可导性,可积性关系,证明了二者间可导性,可积性的几个充要条件,并且给出了典型实例.关键词:)与I)l;可导性;可积性中图分类号:0172文献标识码:A0引言只需具备极限的基础知识,就不难明确函数)与I.厂()l的连续性关系.但要理清)与1.厂()I二者之间的可导性,可积性关系却并不简单.本文以基本的分析理论为工具,对)与I厂()I之间的可导性,可积性关系,进行了分析和研究,并且给出了相应的例子.1导性关系定理1若连续函数)在点.处有.)≠0,则)在点.处可导的充要条件是l厂()I在点处可导.证明:令I)I=g(x).)≠0,先假设)<0.由于厂()在点.处连续,故取0<占<一f—(_x-o),贝0j>0,VE(.,),有:,()<<0.此时厂(z.):lim二—0一0:lim二!H0I)一(一IJr(.)I)一(一g())一(一g(x.))=一g(0).因此,函数I厂()I=g(x)在点处可导,而且g()=-y(.).同理可证.)>0时,函数I)I=g(x)在点也可导,而且g(.)=厂(‰).这说明,连续函数)与I)可导性不同的点只能出现在函数,()的零点,例如函数) =在=0处可导,而其绝对值g()=I在=0处并不可导.对此我们有:定理2若连续函数厂()在点.处.)=0,记I)=g(),则厂(.)存在且尸(.):O(.)存在且g()=0.证明:由limh()=O甘liralh()l=0,以知_+叼及,(.)=g(.)=0可知:厂(X0):lim:0甘limJJ:0—喁0一0—'工0I一X0I铮limIl:嗡,():lira:QI一fX~lr,0一0值得指出的是,在定理2的条件下,如果I) J=g()在)=0处可导,则根据定义:g()=lim_L,可知g+(0)≥0,g一()≤0,而—O一0g(‰)存在,进而有g()=0.因此,若g(.)存在一定有(.)存在而且尸(.)=0.反之不然,例如函数厂()=sinx在点=kTr,k∈Z处厂(kTr) =(一1),但是g()=I)I=IsinxI在点=7r,k∈Z处都不可导.2可积性关系至于函数)与I)l之间的可积性关系,从定积分性质知道如下定理:定理3若函数)∈R[0,b],则I)I∈R[口,b],而且有If)dxl≤fI)ldx¨.JaJa①收稿日期:2010—07—3O基金项目:南京铁道职业技术学院院级课题基金(Y10081).作者简介:冯再勇(1982一),男,江苏南京人,讲师,硕士,主要从事应用数学的教学和研究工作956佳木斯大学(自然科学版)2010年定理3的条件仅仅是充分的,也就是反过来若,()∈R[a,b],却不能保证厂()∈[a,b].例如,对Dirichlet函数加以改造,令函数)=E∈]有lf(x)l-10,1],但是)隹R[0,1].显然,什么条件下能够由I)I的可积性得到厂()的可积性,便成为一个有价值的问题.这里我们给出如下定理:定理4若有界函数厂()在区间[a,b]上具有介值性,并且I)l∈R[a,b],则有,()∈R[口,b].证明:令I)l=g(),由可积性第二充要条件:对V,卵>0,存在[a,b]的分划,使得振幅≥-.-4-的小区间长度之和小于卵,即∑<卵.f≥手对于函数,(),用同样的分割[a,b],记每个小区间[H,Xi]为△.考虑∑Ax的大小:≥①若Yx∈{△I≥},有厂()≥0,则厂()I)I=g(x),从而在[H,]上有:∞=≥>詈(1)厶②若V∈{△I≥},有)≤0,则);-I)}=一g().令函数g(x)=l厂()I在A=[,]上的上,下确界分别记为:蟛:s{)},m:_upa(xin{g()},贝0振幅=sup{g(x)}一in{g(x)} ￡BlitEn=一g;而函数厂()在△=[H,]上的上,下确界分别记为::suP{)},=in{)},则振幅=suP{)}一in{)}=一;由)=一g(x),结合集合确界的性质可得: =suP{)}=一in{g(x)}=一m,:in{)}=一s"Pfg()}=一^巧;从而有,:一=(一m)一(一Mf)=Mf—m=∞,所以同样有:∞=≥占>÷(2)③若函数)在△=[,.](≥s)上变号.此时>0>,=一=+(一)≥,必然有:max(,一)≥导.另外)在△=[,]上变号,而/()具有介值性,所以jE△f,满足厂()=g()=0.显然,g()=I)I在△上的=max(,一),而m=g()=0,从而g;=M,亦有:∞=Mf=max(,一)≥-占4-(3)综合①,②,③,可知,V3只要≥,都有∞g≥等,于是:∑Ax≤∑3x<叼.-≥∞≥即,对于函数),分划同样能保证振幅不小于的小区间长度之和小于,根据第二充要条件可得)∈R[o,6].证毕!我们知道,如果函数)在[n,b]上处处可导,那么其导函数的一个重要特性就是介值性L3J,因此,作为定理4的一个特例,如果导函数满足f厂()l∈R[a,b]贝U有厂()∈R[口,b].另夕,定理4也只是充分条件,例如定义在区间上的阶梯函数并不满足介值性,但是由于其本身和其绝对值都是简单函数,因此它们都是可积的.参考文献:[1]许绍溥,姜东平,宋国柱,等.数学分析教程(上)[M】.第一版.南京:南京大学出版社,1990,347,340.[2]复旦大学陈传璋,金福临,等.数学分析[M].第二版.北京:高等教育出版社,1983,276.[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].第一版.北京:高等教育出版社,1993,160.[4】谢惠民,恽自求.数学分析习题课讲义[M】.第一版.北京:高等教育出版社,2003,332. OntheRelationshipsofDerivabilityandIntegrabilitybetweenf()andI)IFENGZai一,ZHANGLi(FoundationalDepartment,Suzhoucampus,NanjingInstituteofRailwayTechnology,Suzh ou215137,C11ina)Abstract:Therelationshipsofderivabilityandintegrabilitybetweenfunctionf()andl)1were dis—cussedinthispaperandsomenecessaryandsufficientconditionsonthesubjectwereproved.S ometypicalexam—piesforeachcaseweregivenaswel1.Keywords:derivability;integrability。
考研数学解题中的21个思维定势
考研数学解题中的21个思维定势《高数解题的四种思维定势》1.在题设条件中给出一个函数f（x）二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f（x）在指定点展成泰勒公式再说。
2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
3.在题设条件中函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=0或f（b）=0或f（a）=f（b）=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f（u）再说。
第二部分《线性代数解题的八种思维定势》1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
2.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。
5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
第三部分《概率与数理统计解题的九种思维定势》1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。
2.若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。
3.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。
关键：寻找完备事件组。
4.若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化X ~ N （0，1）来处理有关问题。
处处连续处处不可导的复变函数举例
处处连续处处不可导的复变函数举例一、特例式有关处处不可导的复变函数1、绝对值函数绝对值函数是数学中经常用到的函数，其定义为： f(x)=|x|，当x≥0时，f(x)=x，当x<0时，f(x)=-x；绝对值函数在点0处不可导，其原因在于此处函数左右两侧的斜率不同，左侧斜率为-1，右侧斜率为1，没有一个特定的斜率可以使用，故此处函数处处不可导。
2、三角函数三角函数是比较常用的一类函数，三角函数可以表示成以下两种形式：f(x)=sin(x)和f(x)=cos(x)。
因为三角函数的周期性，其表达式满足f(x)=f(2π+x)，也就是说函数在x=2π处不可导，因为此处函数左右两侧的斜率都为0，没有特定的斜率可以使用，故此处函数处处不可导。
3、指数函数指数函数定义为 f(x)= ex ，此处x为实数，e为自然对数的底数。
指数函数在x=0处不可导，此处函数左右两侧的斜率都为无穷大，没有特定的斜率可以使用，故此处函数处处不可导。
4、极限函数极限函数定义为：limx→a f(x)=b，即令x不断靠近a时，函数值f(x)不断靠近b。
由于极限函数没有定义域，故此处函数处处不可导。
二、泛函定理有关处处不可导的复变函数1、阶跃函数阶跃函数是一类重要的基本函数，其定义为：（1）当x < a 时，f(x)=0；（2）当x ≥ a 时，f(x)=1。
由于函数左右两侧的斜率不同，当x=a时，函数处处不可导。
2、非可展式（整体函数）非可展式也称为整体函数，其定义为： f(x)=0，x∈[a,b]，f(x)=1, x∉[a,b]。
由于函数左右两侧的斜率不同，当x=a或x=b时，函数处处不可导。
3、伯努利函数伯努利函数是用数学形式描述实验观察结果的函数，其定义为：f(x)=1,x∈ S；f(x)=0, x∉ S，其中S为一个特定的径向集合。
由于函数的值不同，当x∈S时，函数处处不可导。
4、德摩根函数德摩根函数是一类重要的复变函数，它可以表示出级数中另一类振动函数，其定义为：f(x)=sin。
存在可导可微连续的关系
存在可导可微连续的关系在数学中，可导、可微和连续是经常被用到的概念。
这些概念是描述函数性质的基石，对于函数的分析和求解都很重要。
在这篇文章中，我们将探讨这三个概念的关系，以及它们之间的联系和区别。
可导和可微是两个相关但不同的概念。
一个函数在某个点处可导，表示该函数在该点处有导数。
导数可以被看作是函数在该点上的斜率。
一个可导的函数必须满足导数存在，即左右导数相等。
如果左右导数不相等，则该函数在该点处不可导。
在一些情况下，可导和可微是等价的概念。
例如，对于一些简单的函数，如$f(x)=x^2$，它在所有的点处都是可导和可微的。
但是在一些复杂的函数，例如绝对值函数 $f(x)=|x|$，可导和可微不是等价的。
在 $x=0$ 的位置，该函数存在导数，但不能够微商。
这是因为 $x=0$ 的左导数为 $-1$，右导数为 $1$。
连续是在数学中比较常见的一个概念，它描述的是函数在一个区间上是否没有断点。
如果一个函数在该区间的每一个点都有极限值，并且极限值等于该点的函数值，则该函数在该区间上连续。
连续和可微之间存在着密切的联系。
在某个点 $x_0$，如果一个函数连续，则该函数必须在该点可微。
这个结论是因为连续性质保证了该函数在 $x_0$ 的极限存在，并且这个极限就是该点处的函数值。
这个极限与该点处的导数相关，因此函数在该点的导数存在，可微。
相反地，可微函数不一定是连续的。
例如，我们可以考虑 $f(x) = x^{1/3}$ 在$x=0$ 的位置的情况。
该函数在 $x=0$ 处可微，但是在该点处不连续。
总结而言，可导、可微、和连续是三个不同但相关的概念。
可导和可微是用来描述函数在某个点的局部性质，它们之间的区别在于可微描述了函数在该点处的线性近似关系。
连续则是描述函数在某个区间上的全局性质，如果一个函数在该区间上连续，则该函数在该区间的每个点都有极限值。
如果一个函数在某个点处可导或可微，则该函数在该点处必须连续，但是可微或可导函数并不一定是连续的。
2016考研数学：高数中的难点
2016考研数学：高数中的难点高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。
在这一阶段的主要目标是针对高数中的重点考点做强化复习，对一般难度和常见题型要做到熟练掌握。
为了帮助提高大家高效复习，本文为大家梳理了考研数学的难重点，希望大家不要盲目复习。
1.函数、极限与连续。
求分段函数的复合函数;求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性，判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，复习的关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。
2.一元函数微分学。
求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
3.一元函数积分学。
计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分的题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质的证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题。
这一部分主要以计算应用题出现，只需多加练习即可。
4.向量代数和空间解析几何。
计算题：求向量的数量积，向量积及混合积;求直线方程，平面方程;判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;建立旋转面的方程;与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。
这一部分的难度在考研数学中应该是相对简单的，找辅导书上的习题练习，需要做到快速正确的求解。
绝对值函数公式
绝对值函数公式绝对值函数是数学中的一种基本函数形式，它常用来描述数的大小或者表示距离。
绝对值函数的定义很简单，即取一个实数作为输入，输出该实数的绝对值。
在数学上，绝对值函数通常表示为 |x|，其中x 是实数。
绝对值函数的形式可以用一个简单的公式来表示，即：| x | = {x, if x ≥ 0,-x, if x < 0.}上述公式说明了绝对值函数在不同取值情况下的计算方法。
当输入x 大于等于零时，绝对值函数的输出等于x；而当输入x 小于零时，绝对值函数的输出等于 x 的相反数，即 -x。
绝对值函数的图像呈现出一条以原点为中心的 V 形曲线，在原点处取得最小值为零。
当 x 值小于零时，绝对值函数的图像位于 x 轴的下方，且与 x 轴关于原点对称；而当 x 值大于等于零时，绝对值函数的图像位于 x 轴的上方。
可以将绝对值函数看作是对输入 x 值进行一种“取正”的操作，即使输入为负数，最终输出仍然是正数。
这种性质使得绝对值函数在数学以及实际应用中具有广泛的运用。
绝对值函数的性质及运算规律也是数学中的基础知识。
以下是一些常见的性质和运算规律：1. 非负性：对于任意实数 x，绝对值函数的值始终大于等于零，即|x| ≥ 0。
2. 对称性：绝对值函数关于原点对称，即 |x| = |-x|。
3. 三角不等式：对于任意实数 x 和 y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。
这个不等式表明，两个实数的绝对值之和不会超过它们的绝对值分别相加。
4. 分段函数：绝对值函数可以表示为一个分段函数，即根据 x 的正负情况采取不同的计算方法。
这种分段定义使得绝对值函数具有良好的连续性。
5. 求导性质：绝对值函数在 x = 0 处不可导，但在 x = 0 处的左右导数均存在。
在 x = 0 处的左导数为 -1，右导数为 1。
绝对值函数在各种应用中都有重要的作用。
例如，在几何学中，绝对值函数常用于计算两点之间的距离。
在经济学中，绝对值函数常用于计算价格和成本之间的差异。
连续性和可导性的关系
连续性和可导性的关系连续性和可导性是微积分中两个重要的概念，它们密切相关但是有着不同的定义和性质。
在本文中，我们将探讨连续性和可导性之间的关系。
一、连续性在微积分中，函数的连续性是指函数在一个区间内的所有点都不存在跳跃或断裂。
具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处连续，则它满足以下三个条件：1. $f(a)$存在；2. $\lim_{x\to a} f(x)$存在；3. $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$。
这意味着，当$x$接近$a$时，函数的值也接近$f(a)$。
连续性是函数最基本的性质，因为它保证了函数的光滑和连贯。
二、可导性可导性是指函数在某个点处的导数存在。
导数是函数在某点的切线斜率，也就是函数在这一点的瞬时变化率。
具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处可导，则它满足以下两个条件：1. $f'(a)$存在；2. $\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$存在。
这意味着，当$x$接近$a$时，函数的斜率也越来越接近切线的斜率。
可导性保证了函数的变化趋势和速率。
三、连续可导的函数那么，连续性和可导性之间的关系是什么呢？如果一个函数在某个点处连续且可导，它是否在该点处就满足所有导数存在呢？事实上，答案是否定的。
我们可以考虑一个经典的例子，即绝对值函数$f(x)=\lvert x\rvert$。
在点$x=0$处，函数连续但不可导。
这是因为，当$x$在$0$的两侧逼近时，函数的斜率分别为$+1$和$-1$，不存在唯一的切线斜率。
另一个例子是阶梯函数$f(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ 1, & x\geq 0 \end{cases}$。
在点$x=0$处，函数连续但不可导。
这是因为，函数在$0$的左侧斜率为$0$，右侧斜率为正无穷，不存在唯一的切线斜率。
这些例子说明了连续性和可导性之间的区别。
高等数学部分易混淆概念考研数学恶补
高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确． 由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．例6：()0xx f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则1lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。
知识点二(导数与微分)
导数的计算常用方法① 利用导数的定义xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00000.讨论函数(),,(),.g x x a f x c x a ≠⎧=⎨=⎩在点x a =的可导性常常利用导数的定义. ②利用左、右导数与导数的关系函数)(x f 在0x 处可导的充分必要条件是左、右导数0'()f x -与0'()f x +存在而且相等,即=)('0x f 0'()f x -=0'()f x +.讨论分段函数（包括绝对值函数、取极值函数max{(),()},min{(),()}f x g x f x g x ）在分界点的可导性均要使用此方法.例如，设有一定义于),(-+∞∞的函数(),()(),x x a f x g x a x ϕ⎧-∞<≤⎪=⎨⎪<<+∞⎩.其中)(x ϕ与()g x 分别在区间a x ≤<∞-与+∞<<x a 可导，a x =为其分界点.01、 当a x <<∞-时，由于)()(x x f ϕ=，所以)(')('x x f ϕ=；02、当+∞<<x a 时，由于()()f x g x =，所以'()'()f x g x =；03、在a x =的左、右邻域，由于)(x f 分别要从两个不同的表达式)(x ϕ与()g x 去计算，所以，求)('a f 必须用左、右导数的定义先求'()f a -与'()f a +.如果它们都存在而且相等， 即()()()f a f a f a -+'''==，则)(x f 在a x =处可导.在这里，求左、右导数应特别注意，按照定义'00()()()()()lim lim x x f a x f a a x a f a x xϕϕ---∆→∆→+∆-+∆-==∆∆， '00()()()()()lim lim x x f a x f a g a x g a f a x x+++∆→∆→+∆-+∆-==∆∆.值得注意到是，不要因为当a x ≤<∞-时，)()(x x f ϕ=而认为必有)(')('x x f ϕ=.在a x <<∞-，)(')('x x f ϕ=是对的，但不能误认为)('a ϕ就是)('a f ，)('a f 可以不存在，例如函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=,1,,1,1)(2x x x xx f它在),(+∞-∞处处连续，当1>x 时，21)('x x f -=；当1<x 时，x x f 2)('=.但在分界点1=x 处，)1('f 却不存在.这是因为2'000(1)(1)(1)1(1)lim lim lim (2)2x x x f x f x f x x x----∆→∆→∆→+∆-+∆-===+∆=∆∆， '00011(1)(1)11(1)lim lim lim 11x x x f x f x f x x x++++∆→∆→∆→-+∆--+∆====-∆∆+∆.③ 利用导数的四则运算法则 如果函数)(x u u=及)(x v v =在点x 处具有导数, 则它们的和、差、积、商( 除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且01、 [()()]()()u x v x u x v x '''±=±；2、 [().()]().()().()u x v x u x v x u x v x '''=+；03 、)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. ④ 利用复合函数的求导法则设)(u f y =, 而)(x g u =且)(u f 及)(x g 都可导, 则复合函数)]([x g f y =的导数为xuu y x y d d d d d d ⋅= 或 ()().()y x f u g x '''=. ⑤ 利用反函数求导法则设)(y f x =在区间y I 内单调、可导且()0f y '≠, 则它的反函数)(1x f y -=在)(y x I f I =内也可导,并且)(1])([1y f x f'='- 或 d 1d d d y x x y =. 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.⑥ 利用参数方程求导法则如果)(t x ϕ=与)(t y ψ=都可导，且()0,()t x t ϕϕ'≠=具有单调连续反函数)(1x t -=ϕ，则参数方程⎩⎨⎧==)(),(t y t x ψϕ确定的函数亦可导，且d d d d d d y y tx x t = 或 ()()t x t y t y x t ψϕ'''==''；和 223d ()()()()d ()y t t t t x t ψϕψϕϕ''''''-=' .⑦ 利用隐函数求导法使用隐函数求导时，一定要注意方程(,)0F x y =是确定y 为x 的隐函数，还是x 为y 的隐函数，然后对方程两边对自变量求导，注意因变量为自变量的函数.⑧ 利用对数求导法这种方法主要适用于求幂指函数()[()]v x y u x =()()0,()1u x u x >≠的导数和由多个因子之积或商组成的函数的导数．（5）熟记一些简单的高阶导数导数公式 ① ()(e )e x n x =；② ()()(ln )(0,1)x n n x a a a a a =⋅>≠；③ )2sin()(sin )(π⋅+=n x x n ，)2 cos()(cos )(π⋅+=n x x n ；④ nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-； ⑤ 1)()1(!)1(11++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n x n x ； ⑥ !1.2.3)2)(1.()()( n n n n x n n =--= ，0)()1(=+n n x ；⑦ n 阶导数的莱布尼兹公式++=-')1()()(.)(v nu v u uv n n n∑=--=+++--+nk k k n k n n k k n v u C uv v u k k n n n 0)()()()(..!)1()1( .2．微分（1）微分的概念设函数)(x f y =在某区间内有定义, 0x 及x x ∆+0在这区间内, 如果函数的增量 )()(00x f x x f y -∆+=∆ 可表示为)(x o x A y ∆+∆=∆.其中A 是不依赖于x ∆的常数，则称函数)(x f y =在点0x 是可微的, 而x A ∆叫做函数)(x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分, 记作y d 或)(d x f ， 即x A y ∆=d ，或 x A x f ∆=)(d .（2）函数可微的条件函数)(x f y =在点0x 可微的充分必要条件是函数)(x f y =在点0x 可导, 且当函数)(x f y =在点0x 可微时, 其微分一定是0d ().y f x x '=∆ .值得注意的是，函数的导数与微分是两个不同的概念,但它们是密切有关的,可导函数一定可微,可微函数也一定可导.导数是在一点处函数的变化率,而微分则是函数在一点处由增量x ∆所引起的变化量(增量)的近似值,导数的值只与x 有关而微分的值则不仅与x 有关也与x ∆有关. （3）微分的近似计算在0()0f x '≠的条件下, 以微分0d ()y f x x '=∆近似代替增量)()(00x f x x f y -∆+=∆时, 其误差为(dx)o . 因此, 在x ∆很小时, 有近似等式y y d ≈∆ .(4) 微分的几何意义在直角坐标系中，当函数)(x f y =在点0x x =可导，则曲线)(x f y =在点),(00y x M 的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，由于00,d ()x x x y f x x '∆=-=∆，写成y x f y d )(0=-，在点0x x =的附近任取点x x x ∆+=0，这时，函数值的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆就是曲线)(x f y =上点的纵坐标的增量, 而d y 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，当x ∆很小时,y y d -∆比x ∆小得多. 因此，在几何上，在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段，或者说在局部用线性函数代替非线性函数. （5）微分形式的不变性当u 为可导函数)(y u f =的自变量时,d '()d y f u u =,当u 不是自变量而为x 的可导函数)(x u ϕ=时,d '()d y f u u =仍然成立.但是导数不具有这样的性质,当u 为自变量时,d '()d yf u u=,而当)(x u ϕ=时, d '()'()d yf u x xϕ=.因此，讲到导数,务必说明是对哪个变量的导数,而讲到微分时,则无需说明是关于哪个变量的微分，这就是微分形式的不变性.辅助函数的积分构造法在微分中值定理的证明和应用中，辅助函数的构造是一个重点内容，也是一个难点问题，很多文献探讨过辅助函数的构造技巧[1]127, [2]119，例如待定常数法、分析逆推法、乘积因子法、几何直观法、复数法等[3][4][5]，本文只介绍一种应用十分广泛且行之有效的积分构造法.企望能对读者的学习有所帮助.在Roll 定理的应用中，常常会遇到诸如求证至少存在一点(,)a b x Î，使得()()()()f p f q x x x x ¢+= （1） 成立的问题.将式中x 换成x ，得到()()()()f x p x f x q x ¢+=.这是一阶线性微分方程，若(),()p x q x 是连续函数，则（1）的通解为()()()()p x dx p x dxf x e q x e dx C -轾蝌犏=+犏臌ò.即 ()()()()p x dx p x dxf x e q x edx C 蝌-=ò.令0C =,得()()()()0p x dxp x dxf x e q x edx 蝌-=ò若要证明（1），需引人的辅助函数为()()()()()p x dx p x dxF x f x e q x edx 蝌=-ò （2）下面讨论（2）式几种常见的特例.情形（Ⅰ）: 结论形如()()0f kf x x ¢+=的情形.令（1）式中(),()0p x k q x ==，代入（2）式，辅助函数可设为()()kxF x e f x =?.情形（Ⅱ）: 结论形如()()0f nf x x x ¢+=的情形.将原式变形为()()0nf x f x x¢+=，令（1）式中(),()0np x q x x==，代入（2）式，得到辅助函数为()()n F x x f x =. 情形（Ⅲ）: 结论形如()()()0f g f x x x ⅱ+=的情形.令（1）式中()(),()p x g x q x ¢==，代入（2）式，辅助函数可设为()()()g x F x ef x =?. 易知，情形（Ⅰ）是情形（Ⅲ）的一种重要的特例.情形（Ⅳ）: 结论形如()f C x x ¢=的情形.令（1）式中()0,()Cp x q x x==，代入（2）式，辅助函数可设为()F x ()ln f x C x =-.下面我们举例说明.例 1 设()f x 在[0,]2p 上可导，且1(0)()22f f p ==.证明:至少存在一点1(0,)2x Î，使得()()cos f f x x x ¢+=. 分析 令式（1）中的()1,()cos p x q x x ==.因此，可设辅助函数为11()()cos dxdxF x f x e xedx 蝌=-ò1[()(cos sin )]2x e f x x x =-+ 证明 设1()[()(cos sin )]2xF x e f x x x =-+.容易知道()F x 在[0,]2p 满足Roll 定理的条件，因此，至少存在一点1(0,)2x Î，使得()0F x ¢=，即 [()()cos ]0e f f x x x x ¢+-=.消去e x，得到()()cos f f x x x ¢+=. 例 2 设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =，当0x >时，()0f x >，证明：对于任意正整数k ，存在(0,1)x Î，使得()(1)()(1)f kf f f x x x x ⅱ-=-. 分析 要证明的结论可以表示为()(1)()(1)0f f kf f x x x x ⅱ---=.辅助函数必然是由函数()f x 和(1)f x -来构成，而求导后要出现k ，应该是()kf x 或(1)kf x -求导后才会出现，与情形（Ⅱ）相比较，容易得到辅助函数可设为()()(1)kF x f x f x =-证明 令()()(1)kF x f x f x =-(01)x <<显然()F x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)0F F ==，由Roll 定理，至少存在(0,1)x Î，使得()0F x ¢=. 即 ()(1)()(1)0f f kf f x x x x ⅱ---=， 也即 ()(1)()(1)f kf f f x x x x ⅱ-=-. 说明 若()()(1)kF x f x f x =-，则1()()[()(1)()(1)]k F x f x kf x f x f x f x -ⅱ?=---便知在题设条件下可证明方程()(1)()(1)kf x f x f x f x ⅱ-=-在(0,1)内至少有一个根. 例3 设函数()f x 在区间[0,1]上可微，且满足2110(1)()kx f ke f x dx -=?ò（1k >），证明：存在(0,1)x Î，使得()2()f f x x x ¢=. 分析 要证明的结论可以表示为()2()0f f x x x ¢-=，注意到题设中出现的函数21x e -，与情形（Ⅲ）相比较，可设辅助函数为21()()x F x e f x -=?.证明 令21()()x F x e f x -=?，由积分中值定理，存在01[0,]x kÎ，使得22011100(1)()()kx x F k f x e dx e f x --==ò，从而20100()()(1)(1)x F x e f x f F -===.显然()F x 在0[,1]x 上连续，在0(,1)x 内可导，由Roll 定理，至少存在0(,1)(0,1)x x 翁，使得21()[()2()]0F e f f x x x x x -ⅱ=-=，即 ()2()f f x x x ¢=. 例4 设0a b <<，函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，证明至少存在一点(,)a b x Î，使得()()()lnbf b f a f ax x ¢-=. 分析 要证明的结论可以表示为()()()ln ln f b f a f b ax x -¢=-，由情形（Ⅳ），可设辅助函数 ()()()()ln ln ln f b f a F x f x x b a-=--.证明 设()()()()ln ln ln f b f a F x f x x b a-=--，显然()F x 闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()ln ()ln ()()ln ln f a b f b aF a F b b a-==-，由Roll 定理，至少存在一点(,)a b x Î，使得()()1()()0ln ln f b f a F f b a x x x-ⅱ=-?-，即 ()()()l n bf b f a f ax x ¢-=.说明 要证明的结论等式左边是两个函数()f x 和()g x 在区间[,]a b 两个端点处函数值之差的比值，可以考虑用Cauchy 中值定理来证明.由等式右边的特点并结合情形（Ⅳ），可设()ln g x x =.则()g x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且1()0g x x¢=?，对于函数()f x 和()g x ，应用Cauchy 中值定理，至少存在一点(,)a b x Î，使得()()()ln ln 1f b f a f b a x x¢-=-，即 ()()()lnbf b f a f ax x ¢-=. 例5 设函数()f x 在区间[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0f f ==，证明至少存在一点(0,1)x Î，使得2()()1f f x x x¢ⅱ=- 分析 要证明的结论可以表示为(1)()2()0f f x x x ⅱ?--=。
绝对值的幂次求导
绝对值的幂次求导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：绝对值的幂次求导是微积分中的一个重要概念，其涉及到对含有绝对值函数的幂函数进行求导。
在日常生活和数学问题中，我们经常会遇到涉及绝对值函数的幂函数，因此了解并掌握绝对值的幂次求导方法是非常重要的。
让我们来了解一下什么是绝对值函数。
绝对值函数是一个用来表示一个实数到它的绝对值的非负实数的函数，通常用符号“|x|”表示，其中x为实数。
当x大于等于0时，|x|等于x；当x小于0时，|x|等于-x。
|3|=3，|-3|=3。
接下来，让我们看看如何对含有绝对值函数的幂函数进行求导。
设f(x)为一个函数，其中含有绝对值函数的幂函数，即f(x)=|g(x)|^n，其中g(x)是一个实数函数，n是一个正整数。
要对这样的函数进行求导，我们首先需要根据绝对值函数的性质进行分析。
当g(x)大于等于0时，f(x)等于g(x)^n；当g(x)小于0时，f(x)等于(-g(x))^n。
我们可以将含有绝对值函数的幂函数进行分段表示，即f(x)=g(x)^n，当g(x)>=0；f(x)=(-g(x))^n，当g(x)<0。
接着，我们可以按照导数的定义对这两种情况分别求导。
当g(x)>=0时，f(x)=g(x)^n，对f(x)进行求导得到f'(x)=n*g(x)^(n-1)*g'(x)。
这里用到了幂函数的导数公式：(x^n)'=n*x^(n-1)。
当g(x)<0时，f(x)=(-g(x))^n，对f(x)进行求导得到f'(x)=n*(-g(x))^(n-1)*(-g'(x))。
这里同样用到了幂函数的导数公式，并且由于(-g(x))=-g(x)，所以导数为-n*g(x)^(n-1)*g'(x)。
绝对值的幂次求导是一个比较复杂的过程，需要我们根据绝对值函数的性质进行分情况讨论，并利用幂函数的导数公式进行计算。
通过了解和掌握绝对值的幂次求导方法，我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题，提高数学建模能力和分析能力。
数学中的极限与连续性概念测试题
数学中的极限与连续性概念测试题在数学的广袤领域中，极限与连续性概念是极其重要的基石，它们不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
为了帮助大家更好地理解和掌握这两个概念，下面我们将通过一系列测试题来进行探讨。
一、选择题1、当 x 趋近于 2 时，函数 f(x) ＝（x 2)／（x² 4)的极限为（）A 1/4B 1/2C 不存在D 02、函数 f(x) ＝｜x| 在 x ＝ 0 处（）A 连续且可导B 连续但不可导C 不连续D 可导但不连续3、下列函数中，在 x ＝ 0 处极限存在但不连续的是（）A f(x) ＝ 1/xB f(x) ＝ sin(1/x)C f(x) ＝｛ 1, x ＞ 0; 0, x ＝ 0; －1, x ＜ 0 ｝D f(x) ＝ x sin(1/x)4、若lim(x→1) f(x) ＝ 3，lim(x→1) g(x) ＝ 5，则lim(x→1) f(x) ＋g(x) ＝（）A 8B 2C －2D 155、函数 f(x) ＝｛ x ＋ 1, x ＜ 1; 2x 1, x ≥ 1 ｝在 x ＝ 1 处（）A 连续且可导B 连续但不可导C 不连续D 可导且连续二、填空题1、极限lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x 的值为_____。
2、若函数 f(x) 在 x ＝ a 处连续，则lim(x→a) f(x) ＝＿_____。
3、函数 f(x) ＝（x² 1)／（x 1)在 x ＝ 1 处的极限为_____。
4、极限lim(x→0) （sin x)／x 的值为_____。
5、若函数 f(x) ＝ x² 4，g(x) ＝ x ＋ 2，则lim(x→2) f(x)／g(x) ＝＿_____。
三、解答题1、求极限lim(x→3) （x² 9)／（x 3)。
2、讨论函数 f(x) ＝｛ x ＋ 2, x ＜ 0; 0, x ＝ 0; x², x ＞ 0 ｝在 x ＝0 处的连续性。
关于绝对值函数不可导点的定理
关于绝对值函数不可导点的定理绝对值函数不可导点的定理是一个重要的数学定理，有助于理解与研究函数的特性和性质。
它主要指出，当函数为绝对值函数时，其一定存在不可导点，也就是说函数在某一点处不可以求导。
本文将对绝对值函数不可导点的定理从定义、特性和例子三个方面进行介绍，以加深读者的理解。
一、定义绝对值函数不可导点的定理指的是一类特殊的绝对值函数在某一点处不可以求导，即任意方向的导数都不存在。
严格来讲，它的定义可表述为：当函数为绝对值函数时，存在不可导的点，其对应的求导结果不存在，或存在无数个求导结果。
二、特性绝对值函数不可导点的定理在实际应用中具有重要意义。
它最显著的特性就是函数和它的导数在某一点处分别不存在或者存在无数个。
例如，在区域[1,2]中，函数|x|在1处不可导，即f（1）无法求导。
而导数也在1处不存在，即f'（1）没有任何值。
此外，绝对值函数是另一类特殊的函数，它的曲线为断线，说明其变化的程度特别剧烈，因此又有无数个分段函数组成，从而使当函数为绝对值函数时，其一定存在不可导点。
三、例子在函数变换的研究中，绝对值函数不可导点的定理可以通过以下经典例子予以验证。
例如，函数y=|x|在x = 0处不可导，即y'（0）不存在。
因此，使用极限法来计算x = 0处的导数，得到结果1。
另一例子，函数y=|x2−1|在x = 1处不可导，即y'（1）不存在。
而令x → 1时，y'（1）的极限值则为0。
可见，这两个例子都是绝对值函数不可导点的定理的典型案例，可以实际证明该定理。
综上所述，绝对值函数不可导点的定理主要指出，当函数为绝对值函数时，存在不可导的点，其对应的求导结果不存在，或存在无数个求导结果。
绝对值函数不可导点的定理在函数变换研究及其他对函数性质进行分析时具有重要的意义，其中最典型的例子有函数|x|和|x2−1|，都可以证明该定理的真实性。
考研数学冲刺：高等数学考察形式分析
考研数学冲刺：高等数学考察形式分析考研数学冲刺：高等数学考察形式分析1、函数、极限与连续。
主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数、讨论函数连续性和判断间断点类型、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
求分段函数的复合函数;求极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数的连续性，判断间断点的类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。
2、一元函数微分学。
主要考查导数与微分的定义、各种函数导数与微分的计算、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值、方程的的个数、证明函数不等式、与中值定理相关的证明、最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用、用导数研究函数性态和描绘函数图形、求曲线渐近线。
求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
3、一元函数积分学。
主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算、变上限积分的求导、极限等、积分中值定理和积分性质的证明、定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分的题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质的证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题。
高等数学可导与可微的关系
高等数学可导与可微的关系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高等数学是大学阶段的数学课程，其中包括微积分、数学分析、线性代数等内容。
在这些课程中，我们经常会碰到两个重要的概念：可导和可微。
这两个概念在数学中扮演着非常重要的角色，它们之间有着密切的联系。
让我们来谈谈可导和可微这两个概念的定义。
在数学中，一个函数如果在某一点处存在导数，我们就称这个函数在这一点是可导的。
换句话说，函数在这一点处的切线存在且唯一。
而可微性则是对可导性的加强，一个函数在某一点处可微意味着这个函数在这一点处不仅存在导数，而且导数是连续的。
也就是说，这个函数在这一点处是可导的，并且在这一点处的导数连续。
接下来，我们来探讨可导和可微的关系。
需要明确的是，一个函数在某一点处可微必定可导，但可导不一定可微。
可导性是可微性的必要条件，但不是充分条件。
举个例子来说，如果一个函数在某一点处存在导数，但导数在该点的取值发生了跃变（即不连续），那么这个函数在该点是可导但不可微的。
在实际应用中，可导和可微的性质在许多问题中起着至关重要的作用。
在微积分中，我们经常会用到导数来研究函数的变化率，最值等性质。
而对于一些特殊函数，比如分段函数、绝对值函数等，在某些点处可能可导但不可微，这些函数的性质在求导的过程中需要特别小心谨慎。
在数值计算和优化问题中，可导和可微的概念也扮演着非常重要的角色。
在梯度下降算法等优化问题中，需要求解目标函数的导数，如果目标函数在某些点处不可微，可能会导致梯度下降算法无法收敛或收敛到局部最优解。
高等数学中的可导和可微概第二篇示例：高等数学中的可导与可微是两个概念，它们之间有着密切的关系。
在学习数学的过程中，我们常常会遇到这两个概念，很多人可能会觉得它们意思很相似，其实它们是存在一定的区别的。
下面我们就来详细了解一下高等数学中可导与可微的关系。
我们先来了解一下可导的概念。
在高等数学中，可导是指函数在某一点处存在导数。
导数在数学中是一个非常重要的概念，它是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点附近的局部线性逼近。
每一点都连续但不可导的函数
每一点都连续但不可导的函数
在数学中，连续的函数是指在其定义域内的每一点都能够无间断地取到值的函数。
而可导的函数则是指在其定义域内的每一点都有导数存在的函数。
但是，有些函数虽然在定义域内每一点都连续，却不存在导数，这样的函数被称为“每一点都连续但不可导的函数”。
一个著名的例子就是绝对值函数。
在其定义域内，绝对值函数始终为正，并且在x=0处取到最小值0。
因此，绝对值函数在定义域内是连续的。
然而，当我们尝试计算在x=0处的导数时，我们会发现左右导数的值不同，因此在x=0处不存在导数。
还有一个例子是魏尔斯特拉斯函数，其定义方式比较复杂，但其主要特点是每一点都连续，并且其导数在任何地方都不存在。
这个函数的存在证明了即使一个函数在定义域内每一点都连续，也不能保证其一定可导。
每一点都连续但不可导的函数在实际应用中有着广泛的应用，尤其是在分形几何学中。
因为这些函数在一定程度上呈现出自相似的特性，这使得它们可以被用来描述自然界中很多不规则的形态，如云朵、山脉、枝丫等等。
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