定积分习题及答案

定积分习题及答案 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

第五章 定积分

(A 层次)

1．⎰20

3cos sin π

xdx x ； 2．⎰-a dx x a x 0

222； 3．⎰+3

1

2

2

1x

x

dx ；

4．⎰--11

45x xdx ； 5．⎰

+4

1

1

x dx ； 6．⎰--1

4

3

1

1x dx ；

7．⎰

+2

1

ln 1e x

x dx

； 8．⎰

-++0

222

2x x dx

； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-π

πsin 4

； 11．dx x ⎰-

22

4

cos 4π

π； 12．⎰-++5

524

2

312sin dx x x x

x ； 13．⎰3

4

2sin π

πdx x x

； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰20

2cos π

xdx e x ； 17．()dx x x ⎰

π02

sin ； 18．()dx x e

⎰1

ln sin ； 19．⎰-

-24

3

cos cos π

πdx x x ； 20．⎰+4

sin 1sin πdx x x ； 21．dx x

x

x ⎰+π02cos 1sin ； 22．⎰-+21

11ln dx x

x

x ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 42

11； 24．⎰20sin ln π

xdx ； 25．(

)()

⎰∞+++0

211dx x

x dx

α

()0≥α。 (B 层次)

1．求由0cos 0

=+⎰⎰x

y t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数

dx

dy 。 2．当x 为何值时，函数()⎰-=x

t dt te x I 0

2

有极值

3．()

⎰x

x

dt t dx d cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪

⎨⎧>≤+=1,2

11,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1

lim

2

2

+⎰+∞

→x dt arctgt x

x 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21

π

x x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0

ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧<+≥+=时当时当0,110,11

x e x x

x f x

，求()⎰-2

1dx x f 。

8．()

22

21

lim

n n n n n +++

∞→ 。

9．求∑

=∞

→+n

k n

k n k n ne

n e

1

2lim 。

10．设()x f 是连续函数，且()()⎰+=1

2dt t f x x f ，求()x f 。

11．若⎰

=

-2ln 26

1

x

t

e dt π

，求x 。

12．证明：⎰

-

--<<212

1

21222

dx e

e

x 。

13．已知⎰∞+-+∞→=⎪⎭⎫

⎝⎛+-a x x

x dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。 14．设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0

,

0,

12

x e x x x f x

，求()⎰-3

1

2dx x f 。

15．设()x f 有一个原函数为x 2

sin 1+，求()⎰'20

2π

dx x f x 。

16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()⎰3

1

dx x f 最小。

17．已知()2

x e

x f -=，求()()⎰'''1

dx x f x f 。

18．设()()()⎰⎰+-=1

2

2

2dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。 19．()()[]⎰

'-π

2

sin cos cos cos dx x x f x x f 。

20．设0→x 时，()()

()dt t f t x x F x ''-=⎰0

22的导数与2x 是等价无穷小，试求()0f ''。 (C 层次)