复数的概念及运算(学习课资)
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5.复数的几何表示
复数 z＝a＋bi 一一对应 复平面内的点_Z_(_a_，__b_) 一一对应
uuur 平面向量_O_Z_.
公开课资
4
知识点二 复数的运算
1.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i _； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (_a_－__c_)＋___(b_－__d_)_i_； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c－___b_d_)＋__(_a_d_＋__b_c_)i__；
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6
2.复数的代数运算 (1)复数代数形式的四则运算在新教材高考中，尽管难度不大， 却是热点内容，我们必须熟练地掌握其运算法则. (2)对于复数的乘方，我们可以转化为复数的乘法来计算，也可 以利用二项式定理来计算，注意二项式定理、乘法公式同样适 用于复数.
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7
【名师助学】
1.本部分知识可以归纳为： (1)一条规律：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不 能比较大小. (2)四种运算：①加法；②减法；③乘法；④除法. (3)两条性质：①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1 ＋in＋2＋in＋3＝0(各式中 n∈N).
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5
④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝（ac＋bd）c2＋＋（d2bc－ad）i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有： z1＋z2＝_z_2_＋__z_1 ，(z1＋z2)＋z3＝_z_1＋__(_z_2＋__z_3_)._.
若_____a_＝__0_，_，b≠则0a＋bi为纯虚数.
2.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a_＝__c_，__b_＝__d__ (a，b，c，d∈R).
3.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_a_＝__c_，__b_＋__d_＝__0_(a，b，c，
d∈R).
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3
4.复数的模
向量O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝ |a＋bi|＝__a_2_＋__b_2 .
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9
3．(2013年广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复
数x＋yi的模是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
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10
4．(2013 年江西)复数 z＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面
内所对应的点在( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：复数 z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面内所对应的点为
答案：D
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12
(2)(2013 年新课标Ⅰ)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )
A．－4
B．－45
C．4
4 D.5
解析：(3－4i)z＝|4＋3i|＝5，则 z＝3－5 4i＝3－543i＋34＋i 4i＝
532＋5 4i＝35＋45i，其虚部为45.
答案：D
答案：C
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16
【互动探究】
2．(2014 年江西)若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，
则|z|＝( C )
A．1
B．2
C. 2
D. 3
解析：由题意，得 z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1＋i， 则|z|＝ 12＋12＝ 2.
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②(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i，11＋－ii＝－i.
2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不 再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数 相等的条件进行求解. 3.利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的 前提条件.
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图 10-2-1
A．A
B．B
C．C
D．D
解析：z 的共轭复数与 z 实部相等，虚部相反，所对应的点
与 z 所对应的点关于 x 轴对称．故选 B.
答案：B
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15
(2)(2013 年山东)复数 z＝2－i i2(i 为虚数单位)，则|z|＝
()
A．25
B. 41
C．5
D. 5
解析：z＝2－i i2＝3－i 4i＝3－i24ii＝4－＋13i＝－4－3i， 则|z|＝ －42＋－32＝5.
复数
公开课资
1
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
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2
知识点一 复数的概念
1.复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的_实___部__ 和_虚__部__.若_b_＝__0_，则a＋bi为实数；若__b_≠__0，则a＋bi为虚数；
8
1．(2014 年重庆)实部为－2，虚部为 1 的复数所对应的点
位于复平面的( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．(2013 年浙江)已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( C )
A．5－5i
B．7－5i
C．5＋5i
D．7＋5i
解析：(2＋i)(3＋i)＝6－1＋3i＋2i＝5＋5i.故选 C.
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13
Hale Waihona Puke Baidu
【互动探究】 1．(2014年湖南)复数3＋i2 i(i为虚数单位)的实部等于 ___－__3___．
解析：由题意，得3＋i2 i＝－3－i，－3－i 的实部为－3.
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14
考点 2 复数的模及几何意义 例 2：(1)(2013 年四川)如图 10-2-1，在复平面内，点 A 表 示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )
(1，－2)，在第四象限．
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考点 1 复数的概念
例 1：(1)(2013 年安徽)设 i 是虚数单位，若复数 a－31－0 i
(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：复数 a－31－0 i＝a－31－0i3＋3＋i i＝a－3－i 是纯虚数， 则 a－3＝0，a＝3.故选 D.
复数 z＝a＋bi 一一对应 复平面内的点_Z_(_a_，__b_) 一一对应
uuur 平面向量_O_Z_.
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知识点二 复数的运算
1.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i _； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (_a_－__c_)＋___(b_－__d_)_i_； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c－___b_d_)＋__(_a_d_＋__b_c_)i__；
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2.复数的代数运算 (1)复数代数形式的四则运算在新教材高考中，尽管难度不大， 却是热点内容，我们必须熟练地掌握其运算法则. (2)对于复数的乘方，我们可以转化为复数的乘法来计算，也可 以利用二项式定理来计算，注意二项式定理、乘法公式同样适 用于复数.
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【名师助学】
1.本部分知识可以归纳为： (1)一条规律：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不 能比较大小. (2)四种运算：①加法；②减法；③乘法；④除法. (3)两条性质：①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1 ＋in＋2＋in＋3＝0(各式中 n∈N).
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④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝（ac＋bd）c2＋＋（d2bc－ad）i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有： z1＋z2＝_z_2_＋__z_1 ，(z1＋z2)＋z3＝_z_1＋__(_z_2＋__z_3_)._.
若_____a_＝__0_，_，b≠则0a＋bi为纯虚数.
2.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a_＝__c_，__b_＝__d__ (a，b，c，d∈R).
3.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_a_＝__c_，__b_＋__d_＝__0_(a，b，c，
d∈R).
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4.复数的模
向量O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝ |a＋bi|＝__a_2_＋__b_2 .
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3．(2013年广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复
数x＋yi的模是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
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4．(2013 年江西)复数 z＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面
内所对应的点在( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：复数 z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面内所对应的点为
答案：D
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(2)(2013 年新课标Ⅰ)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )
A．－4
B．－45
C．4
4 D.5
解析：(3－4i)z＝|4＋3i|＝5，则 z＝3－5 4i＝3－543i＋34＋i 4i＝
532＋5 4i＝35＋45i，其虚部为45.
答案：D
答案：C
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【互动探究】
2．(2014 年江西)若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，
则|z|＝( C )
A．1
B．2
C. 2
D. 3
解析：由题意，得 z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1＋i， 则|z|＝ 12＋12＝ 2.
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②(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i，11＋－ii＝－i.
2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不 再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数 相等的条件进行求解. 3.利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的 前提条件.
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图 10-2-1
A．A
B．B
C．C
D．D
解析：z 的共轭复数与 z 实部相等，虚部相反，所对应的点
与 z 所对应的点关于 x 轴对称．故选 B.
答案：B
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(2)(2013 年山东)复数 z＝2－i i2(i 为虚数单位)，则|z|＝
()
A．25
B. 41
C．5
D. 5
解析：z＝2－i i2＝3－i 4i＝3－i24ii＝4－＋13i＝－4－3i， 则|z|＝ －42＋－32＝5.
复数
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1
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
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知识点一 复数的概念
1.复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的_实___部__ 和_虚__部__.若_b_＝__0_，则a＋bi为实数；若__b_≠__0，则a＋bi为虚数；
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1．(2014 年重庆)实部为－2，虚部为 1 的复数所对应的点
位于复平面的( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．(2013 年浙江)已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( C )
A．5－5i
B．7－5i
C．5＋5i
D．7＋5i
解析：(2＋i)(3＋i)＝6－1＋3i＋2i＝5＋5i.故选 C.
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Hale Waihona Puke Baidu
【互动探究】 1．(2014年湖南)复数3＋i2 i(i为虚数单位)的实部等于 ___－__3___．
解析：由题意，得3＋i2 i＝－3－i，－3－i 的实部为－3.
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14
考点 2 复数的模及几何意义 例 2：(1)(2013 年四川)如图 10-2-1，在复平面内，点 A 表 示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )
(1，－2)，在第四象限．
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考点 1 复数的概念
例 1：(1)(2013 年安徽)设 i 是虚数单位，若复数 a－31－0 i
(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：复数 a－31－0 i＝a－31－0i3＋3＋i i＝a－3－i 是纯虚数， 则 a－3＝0，a＝3.故选 D.