高考圆锥曲线之弦长为定值问题
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题型七:弦或弦长为定值问题
例题9、(07湖北理科)在平面直角坐标系xOy 中,过定点C (0,p )作直线与抛物线x 2=2py (p>0)相交于A 、B 两点。
(Ⅰ)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点,求△ANB 面积的最小值;
(Ⅱ)是否存在垂直于y 轴的直线l ,使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由。(此题不要求在答题卡上画图)
本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 解法1:
(Ⅰ)依题意,点N 的坐标为N (0,-p ),可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程
为y=kx+p,与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==.
22
p kx y py
x 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.
由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2. 于是2122
1
x x p S S S ACN BCN ABN -⋅=
+=∆∆∆ =212
21214)(x x x x p x x p -+=- =.228422
2
2
2
+=+k p
p k p p
222min 0p S k ABN ==∴∆)时,(当.
(Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在,其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ,PQ 的中点为H ,则)
点的坐标为(
2
,2,11p
y x O PQ H O +'⊥' 212
1)(2
121p y x AC P O -+==
'Θ =
22
12
1p y +. ,22
1
211p y a p y a H O --=+-
=' 2
2
2
H O P O PH '-'=∴
=
21221)2(4
1
)(41p y a p y ---+ =),()2
(1a p a y p
a -+-
22
)2(PH PQ =∴
=.)()2(42⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-
a p a y p a
令02=-
p a ,得p PQ p
a ==此时,2
为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为2
p y =
, 即抛物线的通径所在的直线.
解法2:
(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得
22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+=
=.21222+⋅+k k p 又由点到直线的距离公式得2
12k
p d +=
.
从而,,22122122121222
22+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=
∆k p k p k k p AB d S ABN .22max 02p S k ABN ==∴∆)时,(当
(Ⅱ)假设满足条件的直线t 存在,其方程为y=a ,则以AC 为直径的圆的方程为
,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得
).
(1)2(4))((4,
0))((121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-=---∆=----=则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 2,y 2),Q (x 4,y 4),则有
.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-=-=
令p PQ p
a p a ===-
此时得,2
,02为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为2
p y =
. 即抛物线的通径所在的直线。
练习、(山东09理)(22)(本小题满分14分)
设椭圆E: 22
221x y a b
+=(a,b>0)过M (2
) ,
,1)两点,O 为坐标原点,
(I )求椭圆E 的方程;
(II )是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥u u u r u u u r
?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 解:(1)因为椭圆E: 22
221x y a b
+=(a,b>0)过M (2
) ,
,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
11
4
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,
且OA OB ⊥u u u r u u u r ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m +==+⎧⎪
⎨⎪⎩得
222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>
1222
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要使OA OB ⊥u u u r u u u r ,需使12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k
--+=++,所以2
2
3880m k --=,所以22
3808m k -=≥又22
840k m -+>,所以22238
m m ⎧>⎨≥⎩,所以