小学奥数公因数和公倍数

第三讲：公因数和公倍数

則怔知识点拨

一、公约数的概念与最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0被排除在约数与倍数之外。

例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12

18 的约数有：1,2,3,6,9,18

12和18的公约数有：1,2,3,6,其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6

1.求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.

2 2

例如：231 3 7 11, 252 2 3 7 ,所以(231,252) 3 7 21 ;

218 12

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘•例如：39 6，所以(12,18) 2 3 6 ;

3 2

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数•用辗转

相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数

去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数. (如果最后的除数是1,

那么原来的两个数是互质的).

例如，求600 和1515 的最大公约数：1515 600 2L 315 ；600 315 1L 285 ；315 285 1L 30 ；

285 30 9L 15；30 15 2L 0 ;所以1515和600的最大公约数是15.

2.最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n.

二、公倍数的概念与最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12 的倍数有：12,24,36,48,60,72,84...

18 的倍数有：18,36,54,72,90...

12和18的公倍数有：36,72...,其中36是12和18的最小公倍数，记作[12, 18]=36

1. 求最小公倍数的方法

① 分解质因数的方法；

例如：231 3 7 11, 252 22 32 7，所以 231,252

22 32

7 11 2772 ； ② 短除法求最小公倍数； 218 12

例如： 39 6 ，所以 18,12

2 3 3 2 36 ；

3 2

2. 最小公倍数的性质

① 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.

② 两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.

③ 两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma , B mb ，那么a 、b 互质，所以A 、B 的最小公倍数为

所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： M | A B

a. b

① A B ma mb m mab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

② 最大公约数是 A 、B 、AB 、A B 及最小公倍数的约数.

2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即（a,b ） [a,b] a b ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a ） 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：5 6 7 210 , 210就是567的最小公倍数

b ） 偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最

小公倍数的

2倍 ③[a,b] a b (a,b

mab ,

例如：6 7 8 336，而6,7,8的最小公倍数为336 2 168

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

目巨例题精讲

【例1】两根电线分别长24m 和16m ,现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余, 是多少米？ 【巩固】求12和18的最大公因数。

【例2】找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？ 4和20 6和36 7和8 6和19

【巩固】说出下面各组数的最大公因数。

15 和 22

【例3】用一个数去除30、60、75,都能整除，这个数最大是多少?

【巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少?

【例4】有三根铁丝，长度分别是 120厘米、180厘米和300厘米•现在要把它们截成相等的小段，每根都 不能有剩余，每小段最长多少厘米？ 一共可以截成多少段？

【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成

3个零件，第二道工序 每个工人每小时可完成 10个，第三道工序每个工人每小时可完成

5个，要使加工生产均衡，三道工序至

少各分配几个工人？ 剪成的小段最长可以

4和16

【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为240cm, 200cm, 480cm,如果把它们截成同样长的小段，且不许

有剩余，每小段最长可以是多少厘米？

【例5】一张长方形的纸,长7 分米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成一块正方形,而且正方形边长为整厘米数,有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大,可以裁多少块？

【巩固】把1 米3 分米5 厘米长、1 米5 厘米宽的长方形纸,裁成同样大小的正方形而无剩余,至少能裁几块？

例6】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸,剪成面积相等的正方形,并且最后没有剩余,这些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法）

巩固】用辗转相除法判断1547和3135是否互质。

例7】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

巩固】求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？