工程力学 第十二章 平面应力状态分析与强度理论

τy
τα c
σy
t
符号规定： 符号规定：1 )“ )“σα”正负号同“ 正负号同“σ”； 2) “τ α”正负号同“ 正负号同“τ” ； 3) “a”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角， 轴正向的夹角，逆时针为正， 逆时针为正，顺时针 注意：用公式计算时代入相应的正负号。 用公式计算时代入相应的正负号。 为负。 为负。注意：
y
σy
τy
等价
σx
τx
σy
σx
空间问题简化 为平面问题
o x
o
z
x
σy y
τy
σx
o
n
α
τx
σy
σx
x
α
-- 逆时针转为正。 逆时针转为正。
σy
τy
σx
a
b
n
σα
b
c
σx
α
单元体各面面积
x bc: dA
τx
σx
τx
a
σy
τy
τα c
σy
t
ab: dA⋅ cosα ac: dA⋅ sinα
设：斜截面面积为ｄΑ，由分离体平衡得： 由分离体平衡得：
FP 2
S 截面
5 4 3 2 1
FP l Mz = 4
1
σx
τ2
1
2
τ2
σx
3
2
τ3
取单元体示例二
l
y
1
S 截面
S截面
FP a
4
z
2 3
x
忽略弯曲切应力
y
1
FQy
Mx τ1 = Wp
1 4 2 3
Mz
σx
1
Mz = Wz
3
x
z
Mx 4
Mx τ3 = Wp
Mz σx = − Wz
3
Mx τ3 = Wp
* M max Fs S max = ≤ [σ ] , τ max = ≤ [τ ]. Wz Iz ⋅b
σ max
F
z
(−)
z
F
B
τB
σB
Fl
②
P 组合变形杆将怎样破 坏？ M ——有必要研究一点的应力状态 有必要研究一点的应力状态。 一点的应力状态。
2、点的应力状态的概念
应 力
指明 哪一个面上？ 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向的微分面？ 哪个方向的微分面？
σy
过一点总存在三对相互垂直的主平面， 过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力 主应力排列规定： 主应力排列规定：按代数值由大到小。σ 10
1
≥σ
2
≥σ
3
50 单位： 单位：MPa
σ 1 = 50; 30 σ 2 = 10; σ 3 = −30;
10 30
σ 1 = 10; σ 2 = 0; σ 3 = −30;
tan 2α 0 = − 2τ xy
σ x −σ y
——主平面的位置 (α 0 ; ——最大切应力 所在的位置 α1 = α 0 + 450
σy
σ min
(α1 ;
′ = α 0 ± 90 0 ) α0
′ = α1 ± 900 ) α1
σ x −σ y tan 2α 1 = 2τ xy
σ max σx
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态， 研究一点的应力状态， 可对一个包围该点的微小正 六面体——单元体进行分析 各边边长
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
dx , dy , dz
σz
τ zx τ zy 因为单元体的边长是无穷小，所以可认 τ xz τ yz 为作用在单元体上每一面的应力是均匀分布 σy σx τ xyτ yx 的，平行面上，应力相等。 研究表明：一点的应力状态可以用围绕该点的微小 六面体（单元体）及其三个相互垂直的微分面上的 应力分量来表示。因此只要研究单元体及其上应力 分量的情况就可把握该点的应力状态了。
圆心： 圆心：
(
σ x +σ y
2
,0)
半径：
R= (
σ x−σ y
2
) + τ xy
2
2
应力圆： 应力圆：
(σ α −
σ x +σ y
2
) +τ
2
2
α
=(
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
τ
R= (
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
R C
σ x +σ y
2
σ
二.应力圆的画法
y σ y
第十二章 平面应力状态分析与强度理论 平面应力状态分析与强度理论
第一节 应力状态的概念 第二节 平面应力状态分析的数解法 第三节 平面应力状态分析的图解法 第四节 三向应力状态 广义胡克定律 第五节 强度理论
第一节 应力状态的概念
1、问题的提出 问题1 问题1：同一点处不同方位截面上 同一点处不同方位截面上的应力不相同 不同方位截面上的应力不相同； 的应力不相同；
讨论： 讨论：
σα =
σ x +σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α − τ xy sin 2α
(1) (2)
τα =
1)、
0
σ x −σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α
σ α + σ α ±90 = σ x + σ y
=−
σ α 的极值 主应力以及主平面方位 2)、
dσ α dα
取单元体的方法
一般我们希望所截取的单元体各个面上 的应力能用最简捷的方法确定。而材料力学 中受力构件横截面上各点的应力通常均可用 公式直接算出，因此常常采用使所截取的单 元体的一对平行平面是受力杆件横截面上的 一部分。
第二节 平面应力状态分析的数解法
一、斜截面上的应力
τy σx
y
σy τx σx σy
空间应力状态
平面应力状态
z
σz
y
τ zy τ yz
τ zx
x
σx
τ yx
σy
τ xz
σx
y
σy
τ xy
τ xyτ yx
x
y
σx
y
τ yx
τ xy
x
x
单向应力状态
纯剪应力状态
FP
取单元体示例一 S 截面
l/2
l/2
5 4 3 2 1
FP 2
S截面
5 4 3 2 1
FP l Mz = 4
5 4 3 2 1
(
主平面的方位
′ = α 0 ± 90 0 ) α0
2
σ max =
min
σ x +σ y
2
±
σ x −σ y
2
) 2 + τ xy
——主应力的大小
3)、 3)、 切应力τ α 的极值及所在截面 σ x −σ y τα = sin 2α + τ xy cos 2α , 由 2 σ x −σ y dτ α tan 2α 1 = =0 令 2τ xy dα α =α1
轴向拉伸杆件
F 横截面应力： 横截面应力： σ = A
F
n
F
α
x
F
斜截面应力： 斜截面应力：
σp
σ α = σ cos 2 α σ τ α = sin(2α )
2
σα
F
α
σp
τα
铸铁压缩 P
低碳钢试件： 低碳钢试件：沿横截面断开。 沿横截面断开。
材料抗剪切能力差， 材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生破 坏(塑性材料）； 塑性材料）；
τ yx
D A
τ
τ xy
σx
R= (
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
x
R
c
D (σx ,τxy)
(σy ,τyx)
σ x +σ y
2
主平面位置：
σy
σ1
Βιβλιοθήκη Baiduα0
tg 2α 0 =
− 2τ xy
σ x −σ y
40 50 60
τx σx
x
− 2(−50) = = −1 − 40 − 60
σ3
⇒ α 0 = 67.50
第三节 平面应力状态的图解法
一、应力圆：
σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α − τ xy sin 2α σ = α 2 2 σ −σ y τ α = x sin 2α + τ xy cos 2α 2
+ (σ y dA sin α ) cos α + (τ y dA sin α ) sin α = 0
b
由切应力互等定理和三角变换，可得：
n
σα
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
σx
α
τα =
σ x −σ y
2
τx
a
x
sin 2α + τ xy cos 2α
τ max
τ min
σ min
σx
α0
σ max
σy
例：如图所示单元体， 如图所示单元体，求α 斜面的应力及主应力、 斜面的应力及主应力、主平面。 主平面。 60 50 40 300 （单位：MPa） 解：1、求斜面的应力 σ x = −40, σ y = 60, τ x = −50, α = −30o
(α1 ;
τ max = ± (
min
′ = α1 ± 900 ) α1
) 2 + τ xy
2
——最大切应力 所在的位置
σ x −σ y
2
——xy 面内的最大切应力
tan 2α 0 tan 2α1 = −1
(α1 = α0 + 450 )
将 τ max 与 σ max , σ min 画在原单元体上。 画在原单元体上。
铸铁试件： 铸铁试件： 沿与轴线约成45°的螺旋 线断开。 线断开。 材料抗拉能力差， 材料抗拉能力差， 构件沿45 构件沿45斜截面因拉应 45斜截面因拉应 力而破坏（ 力而破坏（脆性材 料）。
问题2 问题2 ① B点处应力该如何校核？ 点处应力该如何校核？
梁弯曲的强度条件： 梁弯曲的强度条件：
过受力物体内的任一点可作无穷多个微分面， 过受力物体内的任一点可作无穷多个微分面，所有这 些微分面上的应力情况的总和称为该点的应力状态。 （Stress State at a Given Point）。
研究应力状态的目的 研究应力状态的目的：找出一点处应力随截面方位的改变而变化的规律， 找出一点处应力随截面方位的改变而变化的规律， 以全面分析构件破坏的原因， 以全面分析构件破坏的原因，从而为强度计算提供理论依据。 从而为强度计算提供理论依据。
sin 2α + τ xy cos 2α
2、求主应力、 求主应力、主平面 主应力： σ max =
min
σ x +σ y
2
±
(
σ x −σ y
2
) 2 + τ xy
2
+ 80.7( MPa) − 40 + 60 − 40 − 60 2 2 = ± ( ) + (−50) = 2 2 − 60.7( MPa) ∴ σ 1 = 80.7 ( MPa), σ 2 = 0, σ 3 = −60.7 ( MPa)
σy
τy
y
σx τα
σα
对上述方程消去参数（ 对上述方程消去参数（2α），得 ），得：
o
τx
σx
x
(σ α −
σ x +σ y
2
) +τ
2
2
α
=(
σ x −σ y
2
σy
)2 + τ 2 xy
这个方程恰好是一个圆的方程， 这个方程恰好是一个圆的方程，这个圆称为应力圆（ 这个圆称为应力圆（或莫尔 圆，由德国工程师： 由德国工程师：Otto Mohr引入 Mohr引入） 引入）
∑F = 0 ;
n
σ α dA − (σ x dAcosα ) cosα + (τ x dAcosα ) sinα
− (σ y dAsinα ) sinα + (τ y dAsinα ) cosα = 0
bc: dA; ab: dA⋅ cosα ; ac: dA⋅ sinα
∑ F = 0,
t
τ α ⋅ dA − (σ x dA cos α ) sin α − (τ x dA cos α ) cos α
（2)、 2)、应力状态的分类 a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零， 只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。 b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。 等于零的应力状态。 c、三向应力状态：三个主应力都不等于零的应力状态。 三个主应力都不等于零的应力状态。 平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态： 简单应力状态：单向应力状态。 单向应力状态。 复杂应力状态： 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
画出下列图中的A、B、C点的已知应力单元体图。
P
A y
P
σx
A
σx τ yx
B C z
P M x
σx
τzx
B
σx
τxz
C
τ xy
4、应力状态的分类
（1）、主平面与主应力 ）、主平面与主应力： 主平面与主应力：
σx
τy
σy τx
σx
主平面： 主平面：单元体中切应力为零的平面。 单元体中切应力为零的平面。 主应力： 主应力：作用于主平面上的正应力。 作用于主平面上的正应力。
σ x −σ y
2
dσ α dα
= 0,
α =α 0
sin 2α 0 − τ xy cos 2α 0 = 0 = −2τ α 0 即τ α 0 = 0
− 2τ xy
可以确定出两个相互垂直的 平面——主平面，分别为最大正 应力和最小正应力所在平面。
α =α 0
tg 2α 0 =
σ x −σ y
(α 0 ;
σα =
σ x +σ y
2 2 − 40 + 60 − 40 − 60 = + cos(−60 0 ) 2 2 − (−50) sin( −60 0 ) = −58.3( MPa)
+
σ x −σ y
cos 2α − τ xy sin 2α
τα
σα
τα =
σ x −σ y
2 − 40 − 60 = sin(−600 ) + (−50) cos(−600 ) 2 = 18.3(MPa)