放缩法证明不等式例题-推荐下载

放缩法证明不等式一、放缩法原理　为了证明不等式，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定B A ≤同时成立，那么显然正确。所谓“放”即把A 放大到C,再把C 放大B C ,C A ≤≤B A ≤到B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。二、常见的放缩法技巧　１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩2、糖水不等式放缩：.)b a ,0m (m a m b a b >≥++≤3、添（减）项放缩4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）5、逐项放大或缩小： )1n (n 1n 1)1n (n 12-<<+21n 2)1n (n n +<+< )12)(32(1)12(12--<-n n n )12)(12(1)12(12+->-n n n )

22(21)12(12+<+n n n 三、例题讲解例1：设、、是三角形的边长，求证≥3a b c c b a c b a c b a c b a -++-++-+例2：设、、≥0，且，求证≥a b c 3=++c b a abc c b a 23222+++2

9

例3：已知求证：*21().n

n a n N =-∈*12231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈例４：函数f （x ）=，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +.x

x

414+)(2121*1N n n ∈-+例5：已知a n =n ，求证：＜3．∑n k =1

例6： 已知数列，

，，．（1）求数列的{}n a 132a =113(2,*)21n n n na a n n N a n --=≥∈+-{}n a 通项公式；（2）对一切正整数，不等式恒成立，试求正整数的

n 123!n

a a a a n λ⋅⋅<⋅ 最小值。例7：已知数列，，{}n a 212221111,123(1)n a a n n ⎡⎤==⋅++++⎢⎥-⎣⎦ (2,*)n n N ≥∈求证：(1)．(2) 2

211(*)(1)n n a n n N a n ++=∈+12111(1)(1)4()n n N a a a +++<∈A

例8：（1）已知

对任何正整数都成立.5

4n a n =-1->m n ，

（2）证明：对于任意正整数R ，有.)111()11(1+++<+

n n n n 例9：

在平面上有一系列点，对每个自然数xoy ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，点位于函数的图象上.以点为圆心的⊙与轴都相切，且⊙n n P )0(2>=x x y n P n P x 与⊙又彼此外切，若，且N*).n P 1+n P 11=x ∈<+n x x n n (1(1)求证：数列是等差数列；⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n x 1(2)设⊙的面积为，，求证：.n P n S n n S S S T +++= 212

3π

.并说明与中哪一个更接近于1n x +n

x 1

n x +n x

（4）求证：.11n k k x =+∑

针对性练习1、求证：

2222111171234n ++++< 2、设求证：)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n 2

)1(2)1(2+<<+n a n n n 3、已知函数，数列满足，且),0(,12)(+∞∈++=x x x x f }{n x ),2,1)((1 ==+n x f x n n .

11=x (1)设，证明：；2-=n n x a n n a a <+1(2)设(1)中的数列的前项和为，证明.}{n a n n S 2

2

4、已知数列满足求证：{}n a 2111,0,2n n a a a +=<≤1211().32n k k k k a a a ++=-<∑

5、设、、是三角形的边长，求证≥a b c 222)()()(b a b

a c a c a c

b

c b c b a -++-++-+ ])()()[(31222a c c b b a -+-+-6、设0≤≤≤≤1，求证：≤1a b c )1)(1)(1(111c b a b a c a c b c b a ---+++++++++7.数列满足，求证：01,,n a a a 20111,(0,1,,)2k k k a a a a k n n

+==+= 。111k a n -<<8.（2008浙江高考）：已知数列，，，{}n a 0≥n a 01=a

．*)(12121N n a a a n n n ∈=-+++记：

，n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

．求证：当时，（Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）。∙∈N n 1+n S n 3