2自然坐标系--切向加速度和法向加速度

有 即
dv dv dvn 0 n0 dt dt dt
a a 0 ann0
dv dvn an 其中： a dt dt a 由于速度大小变化产生的加速度； an 由于速度方向变化产生的加速度。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
dv 可以证明： a dt
dv a kR 解： 切向加速度 dt 2 2 ( kRt) v 2 2 法向加速度 a n k Rt R 2 2 加速度 a a an

kR k Rt
2 2
2 2
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
讨论下列几种运动情况：
1. a 0 , an 0 匀速直线运动；
§2切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系
•切向坐标 沿运动 轨迹的切线方向； •法向坐标 n 沿运动 轨迹的法线方向。
n
n

二、切向加速度、 法向加速度
物体沿平面作曲线运动，速度变化为 v 建立自然坐标系。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将 v 分解为 v 和 vn
an
v2

为运动轨迹的曲率半径。
挑战：证明以上两式 大小
2
a a a
2 n
dv dv 对于平面曲线运动 a dt dt
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
dv v dt
2
2
2Hale Waihona Puke Baidu
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速 率满足 v kRt ， k为常数，求：切向 加速度、法向加速度和加速度的大小。
2. a C , an 0
3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例
解：
v
a

g
an
v
想一想：何处 曲率半径最大？ 何处最小？
v v 0 vnn0 （1）
v A n B v vB τ 其中 v 为速度增量在切线方向的分量；
vn
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0
vA
vA
法线方向的单位矢量。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将（1）式两边同除 t 后取极限， v v v n lim lim lim n 0 0 Δ t 0 t Δ t 0 t Δ t 0 t
第二节 自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系 •问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看 出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。