二次型与二次曲面资料

螺旋线
圆柱面
x2 y2 a2
z
M(x,y,z) x = acos t y = asin t z = bt
（移动及转动都是 等速进行，所以 z与t成正比。)
x
绕 x 轴一周
0Байду номын сангаас
y
(2-1)双叶旋转双曲面
x y 双曲线 a b z
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
(2-1)双叶旋转双曲面
x y 双曲线 a b z
x
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
z
x2 y2 z2 1 2 2 a b
反过来,具备这三个条件的方程,其图形是球面:
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0
(配方法)
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=k
k>0
k=0
球面方程
点球面
k<0
虚球面
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
z 得旋转抛物面
x 2 y 2 2 pz
.
.
o
y
绕y轴旋转一周又如何?
x
生活中见过这个曲面吗？
卫星接收装置
.
(4)圆锥面
直线
x
y kx z = 0
绕 x 轴一周 o
y
(4)圆锥面
直线
x
y kx z = 0
绕 x 轴一周 o
z
y
.
(4)圆锥面
直线
x
y kx z = 0
M(x,y,z) S
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2
展开: x2+y2+z2 -2x0 x-2y0y-2z0z + x02+y02+z02 -r2 =0
球面方程特点: (i) 三元二次方程; (ii) 二次项x2、y2、z2系数相同; (iii)无混合二次项xy、yz、zx.
绕 x 轴一周 o
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线 z
扫过的曲面叫做柱面.
M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
x2 y2 z2 - 2 - 2 =1 2 a b b
x2 + y2 = k2 z2
x2 y2 - 2 =1 2 a b
二.空间曲线:
1. 方程: • 一般式方程: 如: • 参数式方程: F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 x2 + y2 =1 x + y + z =3 x= x( t ) y= y( t ) z= z( t ) t T
柱面特点: 含有两个变量的方程在空间表示柱面. C: f ( x,y )=0 ( z为母线) S: f (x,y)=0
z=0
柱面名称:与母线名称对应.
(1).椭圆柱面
x2 y2 2 1 2 a b
z
当 a=b 时,为圆柱面:
x2 y2 a2
o x
y
(2).双曲柱面
z
x2 z2 2 2 1 a b
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0
x2 y2 (1) 2 2 1 a b z0
旋转曲面名称: 与母线名称对应.
绕 x轴
x a2
2

2
y2 z2 b
2
1 1
绕y轴
x z a2
2

y2 b
2
---旋转椭球面
(2-1)双叶旋转双曲面
x2 y2 1 双曲线 a 2 b 2 z 0
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
(3)旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 绕 z 轴一周 x0
z
o
y
(3)旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 绕 z 轴一周 x0
z
.
o
y
x
(3)旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 绕 z 轴一周 x0
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
z1 z
C
2
y1 x y
2
o
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0
x
旋转曲面特点:
C中轴坐标(z) 不变,另一坐标(y)变为除轴坐标外 两坐标的正负算术平方根. 反过来,方程中若有两个变量以平方和形式出现, 这个方程的图形一般是旋转曲面.
f ( y, z ) 0 母线 C x 0
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
哈尔滨工业大学数学系
第 八 章
二次型 与 二次曲面
8.4
空间中的曲面和曲线
图形
方程 F(x,y,z)=0
两个基本问题: (1).给出图形,建立方程 ; (2).已知坐标满足的方程,研究其表示的曲面图形.
1.球面
已知球心M0 (x0,y0,z0),半径r , 求球面S方程.
|M0 M| = r , 即
0
y
.
(2-2)旋转单叶双曲面
双曲线
x y 2 2 1 b a z 0
2 2
y
绕 y 轴一周
o
a
x
(2-2)旋转单叶双曲面
双曲线
x y 2 2 1 b a z 0
2 2
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
(2-2)旋转单叶双曲面
双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0