高中数学必修二直线与方程
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分析：如图 1，为使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的倾斜角应介于直线 PB 的倾斜
角与直线 PA 的倾斜角之间，所以，当 l 的倾斜角小于 90°时，有 k kPB ；当 l 的倾斜角
大于 90°时，则有 k kPA ． 解：如图 1，有分析知
A
y
4 (1) Q kPA 3 2 ＝－1，
上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式： y kx b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b
③两点式：
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
（
x1
x2 ,
y1
y2 ）直线两点
x1, y1
，
x2 , y2
④截矩式： x y 1 ab
其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0,b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a,b 。
用 k 表示。即 k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当 0o,90o 时， k 0 ；
当 90o,180o 时， k 0 ； 当 90o 时， k 不存
在。
②过两点的直线的斜率公式： k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
注意下面四点：(1)当 x1 x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；
1 (
, m) 共线，求 m 的值．
2
分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．
解答：由 A 、 B 、 C 三点共线，则 k AB k AC ．
∴
23 32
m 1
3 2
，解得
m
1 2
．
2
说明：由三点共线求其中参数 m 的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公
式，面积公式等，但用斜率公式求 m 的方法最简便．
⑤一般式： Ax By C 0 （A，B 不全为 0）
注意：○1 各式的适用范围 ○2 特殊的方程如：
平行于 x 轴的直线： y b （b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： x a （a 为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线 A0 x B0 y C0 0 （ A0 , B0 是不全为 0 的常数）的直线系： A0 x B0 y C 0 （C 为常数）
则 | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
（9）点到直线距离公式：一点 Px0 , y0 到直线 l1 : Ax By C 0 的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
典型例题
例 1. 已知直线过点 P（-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为 5，求直线 l 的方程。
例 4. 在直线3x y 1 0上求一点P，使点P到两点（1， 1），（2，0）的
距离相等。 分析：（1）设 P（x，y），则有 y＝3x＋1，故点 P 的坐标为（x，3x＋1），由距离公式
得 x 的方程，解得 x＝0。 （2）设 P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为 x＋y－1＝0，再解方
(2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求
得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式： y y1 k(x x1 ) 直线斜率 k，且过点 x1, y1
注意：当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l
（7）两条直线的交点
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交
交点坐标即方程组
A1 x A2 x
B1 y C1 B2 y C2
0 0
的一组解。
方程组无解 l1 // l2 ；
方程组有无数解 l1 与 l2 重合
（8）两点间距离公式：设 A(x1, y1)，B（）x2 , y2 是平面直角坐标系中的两个点，
（6）两直线平行与垂直
当 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2 x b2 时，
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Miss Zeng 整
l1 // l2 k1 k2 , b1 b2 ； l1 l2 k1k2 1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
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高中数学必修二 4、直线与方程
知识点复习：
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平
行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为 k 的直线系： y y0 k x x0 ，直线过定点 x0, y0 ；
（ⅱ）过两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 ， l2 : A2 x B2 y C2 0 的交点的直线系方
程为 A1x B1y C1 A2x B2 y C2 0 （ 为参数），其中直线 l2 不在直线系中。
B O
x
2 (1)
P
kPB 3 2 ＝3．
∴ （1） k 1 或 k 3 ．
图1
3
（2）arctan3 4 ．
说明：容易错误地写成－1 k 3，原因是或误以为正切函数在0, 上单调递增．
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例3
若三点 A
(2, 3) ， B
(3, 2) ， C
设直线的截距式方程为： x y 1
解：
ab
则有
5 a 1 ab 2
4 b 5
1
a
5，b
2
或a
5 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，b
4
直线方程为 8x 5y 20 0或2x 5y 10 0
例 2 已知两点 A(-3，4)，B(3，2)，过点 P(2，－1)的直线 l 与线段 AB 有公共点． （1）求直线 l 的斜率的取值范围．（2）求直线 l 的倾斜角的取值范围．
角与直线 PA 的倾斜角之间，所以，当 l 的倾斜角小于 90°时，有 k kPB ；当 l 的倾斜角
大于 90°时，则有 k kPA ． 解：如图 1，有分析知
A
y
4 (1) Q kPA 3 2 ＝－1，
上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式： y kx b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b
③两点式：
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
（
x1
x2 ,
y1
y2 ）直线两点
x1, y1
，
x2 , y2
④截矩式： x y 1 ab
其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0,b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a,b 。
用 k 表示。即 k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当 0o,90o 时， k 0 ；
当 90o,180o 时， k 0 ； 当 90o 时， k 不存
在。
②过两点的直线的斜率公式： k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
注意下面四点：(1)当 x1 x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；
1 (
, m) 共线，求 m 的值．
2
分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．
解答：由 A 、 B 、 C 三点共线，则 k AB k AC ．
∴
23 32
m 1
3 2
，解得
m
1 2
．
2
说明：由三点共线求其中参数 m 的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公
式，面积公式等，但用斜率公式求 m 的方法最简便．
⑤一般式： Ax By C 0 （A，B 不全为 0）
注意：○1 各式的适用范围 ○2 特殊的方程如：
平行于 x 轴的直线： y b （b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： x a （a 为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线 A0 x B0 y C0 0 （ A0 , B0 是不全为 0 的常数）的直线系： A0 x B0 y C 0 （C 为常数）
则 | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
（9）点到直线距离公式：一点 Px0 , y0 到直线 l1 : Ax By C 0 的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
典型例题
例 1. 已知直线过点 P（-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为 5，求直线 l 的方程。
例 4. 在直线3x y 1 0上求一点P，使点P到两点（1， 1），（2，0）的
距离相等。 分析：（1）设 P（x，y），则有 y＝3x＋1，故点 P 的坐标为（x，3x＋1），由距离公式
得 x 的方程，解得 x＝0。 （2）设 P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为 x＋y－1＝0，再解方
(2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求
得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式： y y1 k(x x1 ) 直线斜率 k，且过点 x1, y1
注意：当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l
（7）两条直线的交点
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交
交点坐标即方程组
A1 x A2 x
B1 y C1 B2 y C2
0 0
的一组解。
方程组无解 l1 // l2 ；
方程组有无数解 l1 与 l2 重合
（8）两点间距离公式：设 A(x1, y1)，B（）x2 , y2 是平面直角坐标系中的两个点，
（6）两直线平行与垂直
当 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2 x b2 时，
共6页 第1页
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l1 // l2 k1 k2 , b1 b2 ； l1 l2 k1k2 1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
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高中数学必修二 4、直线与方程
知识点复习：
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平
行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为 k 的直线系： y y0 k x x0 ，直线过定点 x0, y0 ；
（ⅱ）过两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 ， l2 : A2 x B2 y C2 0 的交点的直线系方
程为 A1x B1y C1 A2x B2 y C2 0 （ 为参数），其中直线 l2 不在直线系中。
B O
x
2 (1)
P
kPB 3 2 ＝3．
∴ （1） k 1 或 k 3 ．
图1
3
（2）arctan3 4 ．
说明：容易错误地写成－1 k 3，原因是或误以为正切函数在0, 上单调递增．
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例3
若三点 A
(2, 3) ， B
(3, 2) ， C
设直线的截距式方程为： x y 1
解：
ab
则有
5 a 1 ab 2
4 b 5
1
a
5，b
2
或a
5 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，b
4
直线方程为 8x 5y 20 0或2x 5y 10 0
例 2 已知两点 A(-3，4)，B(3，2)，过点 P(2，－1)的直线 l 与线段 AB 有公共点． （1）求直线 l 的斜率的取值范围．（2）求直线 l 的倾斜角的取值范围．