方差和标准差 教学设计(一)

方差和标准差教学设计（一）
教学设计思想
本节内容一共需要二个课时来学习，第一课时通过观察与思考使学生直观感受甲、乙两人的射击平均成绩不分高低，但射击成绩波动大小不同，从而引出方差和标准差的概念。

在教师引导下学生探究出如何刻画每个数据与平均数的偏差，如何表示所有数据的总偏差。

第二课时提供了三个实际情景，通过对问题的分析和探究，使学生进一步理解方差的意义。

教学目标
知识与技能
说出刻画数据离散程度的三个量——极差、方差、标准差——的概念，能借助计算器求出相应方差和标准差。

能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。

过程与方法
经历数据的收集与整理的过程，根据公式求一组数据的方差和标准差。

情感、态度、价值观
体会方差、标准差是反映一组数据波动大小的量，在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活。

教学重难点
重点：计算一组数据的方差概念的理解。

难点：对方差的意义理解不透，有些问题弄不清该用方差衡量，还是该用平均数衡量。

解决办法：通过学习明白对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析。

如果要衡量这组数据中的离散趋势，也就要研究它的波动情况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量。

教学方法
合作探究，小组讨论
教学用具
多媒体
课时安排
2课时
教学过程设计
第一课时
我们常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”。

但在评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差时，只用平均数是不够的，有时还需要用一个新的数来
刻画一组数据的波动情况。

（一）观察与思考
甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，每人各射10发子弹，成绩如下表：射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲的成绩/环 4 8 6 10 5 7 7 6 10 7
乙的成绩/环 5 7 6 8 7 8 6 7 9 7
将数据用散点图表示，如图26—3。

1.观察图形，从图中能估计甲和乙射击成绩的平均水平吗?
2.哪组数据围绕其平均值的波动较大?波动大小反映了什么?
3.谁的射击成绩比较稳定？
注：观察两名业余射击选手比赛的成绩的散点图，直观感受两人成绩水平的高低及稳定性
1.大约都是7环左右。

2.甲选手的波动较大。

波动大意味着成绩不稳定。

3.从图上观察，乙选手的成绩波动较小，比甲选手的成绩更稳定。

要比较甲和乙的射击水平，自然想到比较其射击成绩的平均数或中位数，但是，甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7(环)。

两人相比，乙的成绩大多集中在7环附近，而甲的成绩相对于平均数的波动较大。

如果一组数据与其平均数的偏差(偏离平均数的大小)较小，我们就说这组数据比较稳定。

事实上，我们在研究问题时，仅考虑数据的“平均水平”是不够的，还需要关注数据的离散程度，即它们与平均数的偏差大小。

设x是n个数据x1，…，x n的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这
n 个数据的方差(variance)，用“s 2
”表示。

即
222212n 1
s [(x x)(x x)...(x x)]n
=-+-++-
称方差的算术平方根
s =
为这组数据的标准差(standard deviation)。

方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。

对平均数相等的两组数据，一般方差较小的这组数据相对于平均数的离散程度较小。

注：这里应强调，比较两组数据的波动大小时，以两组数据的平均数相等或比较接近为前提。

例如，甲和乙射击成绩的平均数都是7，方差分别为
2222222
1s [4757267377872107] 3.410
=
-+-+-+-+-+-=甲（）（）（）（）（）（） 2222221s [5726747728797]1.210
=
-+-+-+-+-=乙（）（）（）（）（） 由于22
s s <乙甲，说明乙的射击成绩比甲稳定。

一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。

极差也是刻画数据离散程度的一个统计量。

如：
甲射击成绩的极差为10－4＝6(环)。

乙射击成绩的极差为9－5＝4(环)。

极差反映数据的波动范围，它只用到数据的两个极端值，没有利用数据的全部信息。

因此，在数学上常用方差刻画数据的离散程度。

（二）例题
例 在某场女排比赛的一个时段里，甲、乙两队场上各自6名球员的身高分别如下；(单位，cm)
甲队：166 178 181 175 186 182 乙队：175 176 172 183 185 177
用计算器计算此时每队场上6名球员身高的平均数和方差，并说明这一时段里哪个队场上球员的身高更整齐些。

解：(1)进入统计状态，选择一元统计。

(2)输入球员的身高数据。

注：输人数据的方式与计算平均数时输入数据的方式相同。

(3)显示结果。

按STATVAR 键后屏幕显示n x Sx x δ。

n 表示数据的个数，x 表示平均数，x δ表示标准差，利用→或←选择x δ，再按键2x ENTER ，屏幕自动显示方差的值。

计算结果见下表：(方差精确到0.01)
这一时段里，两队场上球员平均身高相同，但22
s s >乙甲，所以乙队场上球员的身高比较
整齐。

（三）练 习
两个小组各5名同学目测同一本画册的宽度，目测误差的数据如下：(单位：cm) 第一组：－2 －1 0 1 2 第二组：－3 －2 0 2 3
(1)从直观上看，哪组同学目测得较准确?
(2)分别计算两组数据的极差和方差，进行比较，验证第(1)题的结论。

答案
(1)第一组同学目测较准确。

(2)两组数据的极差分别是4cm 和6cm ，方差分别为22
12s 2,s 5.2
== 第一组的极差和方差都较小。

（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。

（五）板书设计
练习 第二课时
张老师乘公交车上班，从家到学校有A ，B 两条路线可选择。

他做了一番实验。

第一周，星期一、星期三、星期五选A 路线，星期二、星期四选B 路线，每天两趟；第二周交换。

记录所用时间如下表： 实验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A 路线所花时间/min 31 51 36 36 58 43 42 32 52 39
B 路线所花时间/min 46 50 41 43 47 48 49 48 43 45
（一）一起探究
根据两条路线所花时间绘制的折线统计图如图26—4所示。

1.观察图26—4，请说明选择哪条路线乘车平均用时较少，选择哪条路线乘车用时的波动较大。

2.用计算器分别计算选择A ，B 两条路线乘车所用时间的平均数和方差。

3.如果上班路上的可用时间只有40min ，乘车应选择哪条路线?
4.如果路上可用时间为50min ，乘车应选择哪条路线? 注：这是一个非常现实的问题，综合性较强。

1.从图26—4看出，选择A 路线平均用时较少，且所用时间的波动性也大。

2.22
A A
B B x 42(min),s 74,x 46(min),s 7.8====
3.应选择A 路线。

4.应选择B 路线。

经计算和分析得到：选择路线A 乘车平均用时较少，但数据的离散程度大，有三次用时超过50min ，说明时常有堵车现象发生；选择路线B 乘车平均用时较多，但用时比较稳定，
可能路线B较长，但很少有堵车现象。

（二）做一做
画一个长和宽分别为3cm和2cm的长方形，用最小刻度为1mm的直尺测量长方形对角线的长度。

6名同学一组，将测得的数据填入下表。

A B C D E F
测量人编
号
测量结果
/cm
(1)计算6个数据的平均数和方差。

(2)计算对角线的实际长度(精确到0.1)。

(3)用测量数据的平均数作为实际长度的近似值，记录估计的误差。

(4)和其他小组比较你们估计的误差及测量数据的一致性。

注：设置该问题的目的，是让学生再次经历数据的收集和处理的过程，进一步体会方差的大小在实际问题中的意义。

(1)略。

≈
(2)13 3.6
-的值。

(3)计算x3.6
(4)应交流讨论估计误差和测量结果，体会误差越小，测得数据越接近实际长度，且方差也应越小。

（三）练习
测试甲、乙两种品牌的手表各100只，表示日走时误差数据的统计图如图26—5所示。

（1）甲、乙两种手表平均日走时误差分别是多少？
（2）甲、乙两种手表日走时误差的极差、方差分别是多少？
（3）如何评价这两种手表的质量？
（4）在价格、性能相同的条件下，你愿意购买哪种手表？
答案
（1）两种手表的平均误差都是0。

（2）两种手表的日走时误差的极差分别是4和6，方差分别是1.04和1.62。

（3）甲种手表质量好些
（4）购买甲种手表。

（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。

（五）板书设计。