微分方程教案详解
大学数学教案-微分方程的求解方法
大学数学教案-微分方程的求解方法
一、引言
微分方程是数学中经典且重要的研究领域之一。
在科学和工程等各个领域中，微分方程都扮演着重要的角色。
本教案将介绍微分方程的基本概念，并详细讨论了常见的求解方法。
二、微分方程概述
1.微分方程的定义和基本性质
2.微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程
3.初值问题和边值问题
三、常见求解方法
1. 可分离变量法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
2. 齐次线性微分方程法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
3. Bernoulli 方程法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
4. 线性高阶非齐次线性微分方程法（特征根法）•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
5. 其他常见方法介绍
•积分因子法
•变量替换法
•Laplace 变换法
四、数值解法
1.欧拉方法
2.改进的欧拉方法（改进的欧拉公式）
3.二阶龙格库塔法（RK2）
4.四阶龙格库塔法（RK4）
五、应用举例
1.常微分方程应用实例
•天体运动问题
•放射性衰变问题
2.偏微分方程应用实例
•热传导方程问题
•波动方程问题
六、总结与展望
本教案详细介绍了微分方程的基本概念和常见求解方法，并给出了数值解法和具体应用实例。
微分方程是一门重要而广泛应用的学科，通过学习该课题能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。
未来，随着科技的发展，微分方程研究将会得到更多的突破。
注：以上内容仅供参考，请根据具体需要进行补充和修改。
高等数学教案 第18课 常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程
定义 4 用来确定任意常数的条件称为初始条件或初值条 件．
求一阶微分方程 y f (x ，y) 满足初始条件 y |xx0 y0 的特解 的问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作
y f (x ，y) ，y来自|x x0y0
．
（5-7）
微分方程特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线， 通解的图形是一族相互平行的曲线（有无数多条），称为积 分曲线族，如图 5-2 所示．
18 常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程 第
课
课题 课时
教学目标
教学重难点 教学方法 教学用具 教学设计
教学过程
常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程
2 课时（90 min）
知识技能目标： （1）掌握函数微分方程的基本概念。 （2）掌握可分离变量微分方程的解法。
思政育人目标：
由具体问题引出微分的定义，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象 产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的 良好习惯；培 养 学 生 的 逻 辑 思 维 、 辩 证 思 维 和 创 新 思 维 能 力 ；树 立 学 生 实 事 求 是 、 一 丝 不 苟 的 科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到 学以致用的目的。
教学重点：函数微分方程的基本概念
教学难点：可分离变量微分方程的解法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
第 1 节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第 2 节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）
其中 C 为任意常数．又因为曲线通过点 (0，1) ，代入上式，解 出C 1．
高中数学备课教案微分方程的基本概念与解法
高中数学备课教案微分方程的基本概念与解法高中数学备课教案微分方程的基本概念与解法引言：微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中都有广泛的应用。
本教案旨在介绍微分方程的基本概念与解法，帮助学生理解微分方程的意义和应用，提高他们的问题解决能力和数学思维能力。
一、微分方程的基本概念1. 微分方程的定义与分类微分方程是含有未知函数及其导数或微分的方程。
根据方程中未知函数的个数和自变量的个数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
2. 常微分方程的阶数与形式常微分方程的阶数指导数的最高次数，形式上可分为一阶微分方程、二阶微分方程以及高阶微分方程等。
介绍常见的一阶和二阶微分方程的形式，并通过示例进行说明。
3. 初始条件与边界条件解微分方程时，常需要给出一些附加条件，如初始条件以及边界条件。
解的存在性和唯一性与这些条件密切相关，学生需要注意这些条件的合理运用。
二、微分方程的解法1. 可分离变量的微分方程介绍可分离变量的微分方程的基本概念和解法，通过实例演示具体的解题步骤和方法。
2. 齐次线性微分方程探讨齐次线性微分方程的特点和解法，引导学生掌握使用特征方程求解此类微分方程的方法。
3. 一阶线性非齐次微分方程引入一阶线性非齐次微分方程的概念，介绍其解法。
通过实例演示，让学生熟悉使用常数变易法求解的步骤和技巧。
4. 高阶线性微分方程及其解法讨论高阶线性微分方程的特征根和通解的概念，引导学生掌握高阶齐次线性微分方程的解法。
5. 变量代换法与参数求解法介绍变量代换法和参数求解法的基本思想和步骤，让学生通过几个具体的例子掌握这两种解微分方程的方法。
三、微分方程的应用1. 几何问题的建模与求解通过具体的几何问题和示例，引导学生将实际问题转化为微分方程，并用所学的解法求解。
2. 物理问题的建模与求解以典型的物理问题为例，介绍如何将物理问题转化为微分方程，并通过解方程得到问题的解答。
高中数学教案解微分方程
高中数学教案解微分方程引言：微分方程是数学中的重要分支，既是专业的研究领域，也是高中数学课程的内容之一。
本教案旨在帮助高中数学教师更好地解析微分方程，引导学生理解其基本概念和解题方法。
一、微分方程的基本概念微分方程是包含导数或微分的方程，是研究变化和变化率的数学工具。
常见的微分方程类型包括一阶微分方程、二阶微分方程和高阶微分方程。
一阶线性微分方程具有一般形式dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
二、解微分方程的方法1. 可分离变量法可分离变量法适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程。
将变量分离后，将两边积分得到解。
例如，对于dy/dx = x/y，可以将方程改写为ydy=x*dx，然后积分求解。
2. 齐次微分方程齐次微分方程适用于形如dy/dx = f(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x 进行变量代换，并化简方程，得到形如dv/(1-v) = f(x)dx的方程。
再次积分并变换回原变量，即可得到解。
3. 线性微分方程线性微分方程是形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
常用的解法是利用积分因子法，通过乘以合适的积分因子，将方程转化为可积的形式。
具体步骤涉及计算积分因子、乘法积分和求解，并根据初始条件确定特定解。
4. 变量代换法变量代换法适用于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程。
通过引入新的变量和代换，可以将方程转化为一阶微分方程或者已知的微分方程类型，进而求解。
三、解题示例1. 题目：求解微分方程dy/dx = 2x解析：由题可知，这是一个可分离变量的微分方程。
将dy/dx = 2x 改写为dy = 2xdx，并积分两边，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
因此，微分方程的解为y = x^2 + C。
2. 题目：求解微分方程dy/dx = y/x解析：该方程为齐次微分方程。
高中数学教案微分方程
高中数学教案微分方程微分方程教案高中数学教案摘要：本教案主要介绍微分方程的基本概念、求解方法和应用，并设计了相关的教学活动和练习。
教学目标：1.了解微分方程的概念与分类，并理解微分方程的意义。
2.能够运用常微分方程的解法，解决简单的微分方程问题。
3.了解微分方程在实际问题中的应用，并能够将数学知识与实际问题相结合，解决实际问题。
教学重点：1.微分方程的概念与分类。
2.常微分方程的解法。
3.微分方程在实际问题中的应用。
教学难点：1.应用题中的问题分析和建立微分方程的能力。
2.求解复杂微分方程的能力。
教学准备：1.教师：PPT课件、教案、多媒体设备。
2.学生：教材、笔记本、计算器。
教学过程：一、导入（约5分钟）教师通过给学生出示一些实际问题，引发学生对微分方程的思考，激发学生的学习兴趣。
例如：一辆汽车在某段路程上的速度是多少？一杯冷水从什么温度下降到什么温度需要多长时间？二、知识讲解（约25分钟）1.微分方程的概念与分类（10分钟）教师结合多媒体展示，详细介绍微分方程的定义和分类，包括常微分方程和偏微分方程的区别，以及一阶、二阶微分方程等。
2.常微分方程的解法（15分钟）教师重点讲解常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等，并通过示例演示每种方法的具体步骤和应用场景。
三、教学活动（约15分钟）1.小组讨论（10分钟）将学生分成小组，让他们根据所学的知识，自行应用解题方法解决教师提供的实际问题。
鼓励学生自主思考、合作探讨，培养学生的问题解决能力和团队精神。
2.展示与总结（5分钟）请每个小组派代表展示解题过程和结果，并让其他小组评价和提问。
教师及时纠正错误，总结解题思路和方法。
四、知识拓展（约20分钟）教师通过讲解微分方程在实际问题中的应用，如放射性衰变问题、人口增长问题等，引导学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生应用数学解决实际问题的思维能力。
五、教学总结（约5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并展示一些典型的习题，让学生巩固所学知识。
高中数学必修课教案微分方程的基本概念与求解方法
高中数学必修课教案微分方程的基本概念与求解方法高中数学必修课教案：微分方程的基本概念与求解方法引言:微分方程是数学中的重要概念之一，也是高中数学必修课程中的重要内容。
本教案将重点介绍微分方程的基本概念和求解方法，帮助学生掌握微分方程的基本原理和应用。
一、微分方程的基本概念1. 定义微分方程是包含未知函数、该函数的导数和自变量的方程。
它可以描述自然界中的变化规律和数学模型。
2. 常见类型- 一阶微分方程：包含一阶导数的方程，如dy/dx = f(x)。
- 二阶微分方程：包含二阶导数的方程，如d^2y/dx^2 + p(x)dy/dx + q(x)y = f(x)。
- 更高阶微分方程：包含高阶导数的方程，如d^n y/dx^n + a_(n-1) d^(n-1) y/dx^(n-1) + ... + a_1 dy/dx + a_0 y = f(x)。
二、微分方程的求解方法1. 可分离变量法- 步骤：1) 将微分方程化为dy/dx = g(x) * h(y)的形式；2) 将方程两边同时积分得到不定积分；3) 求解不定积分得到隐含函数方程；4) 若需要求出显式解，则需要进一步转化。
2. 齐次微分方程法- 步骤：1) 将微分方程化为dy/dx = f(y/x)的形式；2) 令v=y/x，将原方程化简为dv/dx的形式；3) 求解dv/dx的不定积分得到v的隐含函数方程；4) 代入v=y/x得到原方程的隐含函数方程；5) 若需要求出显式解，则需要进一步转化。
3. 线性微分方程法- 步骤：1) 将微分方程化为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式；2) 求出齐次线性微分方程的通解；3) 再求出非齐次线性微分方程的特解；4) 将通解与特解相加得到原方程的通解。
4. 变量代换法- 步骤：1) 假设新变量v=g(x,y)与原方程相关；2) 求出dv/dx和dv/dy，并代入原方程得到新方程；3) 解新方程，并将v转换回原变量得到原方程的解。
微分方程教案范文
微分方程教案范文教学目标：1.了解微分方程的概念和基本形式；2.掌握一阶和二阶微分方程的解法；3.学会应用微分方程解决实际问题；4.提高学生的问题分析与解决能力。
教学重难点：1.理解微分方程的概念和基本形式；2.掌握微分方程的解法；3.能够运用微分方程解决实际问题。
教学准备：1.教师准备好黑板、粉笔、教学投影仪等教学工具；2.准备一些微分方程的例题及对应的解法。
教学过程：第一节：微分方程的概念和基本形式1.教师介绍微分方程的定义和基本概念，强调微分方程与导数的关系；2.通过实际例子，引导学生理解微分方程的意义；3. 教师讲解微分方程的基本形式：dy/dx = f(x)，d²y/dx² = f(x)等。
第二节：一阶微分方程的解法1.教师介绍一阶微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第三节：二阶微分方程的解法1.教师介绍二阶微分方程的解法：特征方程法、变量分离法、待定系数法等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第四节：应用微分方程解决实际问题1.教师讲解如何应用微分方程解决实际问题；2.通过例题演示，指导学生如何建立微分方程模型；3.强调解的意义和结果的合理性。
教学方法与手段：1.讲授与演示相结合的方法，通过例题讲解，帮助学生理解微分方程的解法；2.提问与解答相结合的方法，引导学生思考与分析问题，培养问题解决能力；3.实例分析与模型建立相结合的方法，通过实际问题的讲解，培养学生应用微分方程解决实际问题的能力。
课堂练习与讨论：1.在课程的每个环节，教师都设置一些习题，进行课堂练习；2.学生之间可进行小组讨论和交流，提高问题解决的思路和方法。
课堂总结与作业布置：1.教师对本节课的重点和难点进行总结；2.布置相关作业，要求学生自主思考和解决问题；3.鼓励学生积极参加学术竞赛和科研活动，提升对微分方程的理解和应用能力。
幼儿园中班数学教案认识微分方程让孩子学会微分方程概念
幼儿园中班数学教案-《认识微分方程，让孩子学会微分方程概念》本篇文章将从教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤、教学重点与难点以及教学总结六个方向详细阐述中班数学教案《认识微分方程，让孩子学会微分方程概念》。
一、教学目标通过本次教案的教学，让幼儿了解微分方程的概念与基本知识，激发幼儿的学习兴趣，提高幼儿的数学思维能力，培养幼儿的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容本次教案的教学内容主要包括微分方程的概念、常微分方程的基本形式、微分方程的解法与应用等方面。
通过让幼儿了解微分方程的定义与特点，学习微分方程的基本形式以及解法，让幼儿能够掌握微分方程的基本知识和解题方法，为日后的学习打下坚实的基础。
三、教学方法本教案采用多种教学方法，如讲解法、示范法、互动法、实验法等，以培养幼儿的学习兴趣和积极性。
在教学过程中，可以让幼儿自己动手实践，帮助幼儿理解和掌握微分方程的概念和解题方法。
四、教学步骤1.导入通过讲解微分方程的概念，引导幼儿了解微分方程的基本定义和特点。
2.学习微分方程的基本形式通过讲解微分方程的基本形式，让幼儿了解常微分方程的基本形式，并掌握微分方程的一些基本概念。
3.学习微分方程的解法通过讲解微分方程的解法，让幼儿了解微分方程的解法和求解方法。
4.实践操作通过实验和操作等方式，让幼儿自己动手实践，帮助幼儿理解和掌握微分方程的概念和解题方法。
5.课堂互动通过课堂互动，让幼儿在互动中学习，相互交流，培养幼儿的合作意识和创新精神。
6.总结通过总结，让幼儿回顾学习内容，巩固所学知识，培养幼儿的思维能力和记忆能力。
五、教学重点与难点1.教学重点让幼儿了解微分方程的概念和基本知识，掌握微分方程的基本形式和解法，为日后的学习打下坚实的基础。
2.教学难点微分方程的概念和解法较为抽象，需要通过多种方式引导幼儿理解和掌握，提高幼儿的学习兴趣和积极性。
六、教学总结通过本教案的教学，幼儿们对微分方程的概念和基本知识有了较为深入的了解和掌握，培养了幼儿的数学思维能力和逻辑思维能力，提高了幼儿的创新意识和实践能力，为日后的学习打下了坚实的基础。
基础数学微分方程教案高中
基础数学微分方程教案高中
教学目标：
1. 了解微分方程的基本概念和解题方法
2. 掌握一阶微分方程的求解步骤
3. 能够运用微分方程解决实际问题
教学重点：
1. 微分方程的定义和基本形式
2. 一阶微分方程的求解方法和应用
教学难点：
1. 复杂微分方程的求解
2. 微分方程在实际问题中的应用
教学准备：
1. 教案、黑板、粉笔、复印资料、教材
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师向学生介绍微分方程的概念和重要性，引导学生思考微分方程与常微分方程的区别和联系。
二、讲解微分方程的基本形式（10分钟）
1. 定义微分方程及其分类
2. 一阶微分方程的一般形式和求解步骤
三、讲解一阶微分方程的求解方法（15分钟）
1. 可分离变量的微分方程求解
2. 线性微分方程求解
3. 齐次微分方程求解
4. 方法小结和练习
四、综合应用（10分钟）
根据实际问题，让学生运用所学知识解决简单微分方程问题，培养学生的解决问题能力。
五、课堂练习（10分钟）
布置一些练习题让学生在课后复习巩固所学知识。
六、作业布置（5分钟）
留作业：完成课堂练习题并预习下节课内容。
教学反思：
微分方程作为数学领域中的重要概念，对于学生来说可能存在一定难度。
在教学中，要注意通过引入实例问题，引导学生将抽象的数学理论与实际问题结合起来，提高学习motivation和理解难度。
同时，也要重视巩固练习，帮助学生掌握解题方法和技巧。
高等数学第十一章 微分方程教案
第1次课的教学整体安排 (),)n y =个变量的函数。
这里必须指出，在方程()1,n y -等变量则可以不出现。
另一种是显式 (1),,)n y -'特别地，1n =时，一阶微分方程的标准形式为 (,,F x y y )y 或 (,P x 在区间I 上有(),)n y =()),,())n x ϕ≡该微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，微分方程的通解或一般解微分方程的另一种解中不含有任意常数，，从通解中确定出任意常数而得出的。
第2次课的教学整体安排个的非零常数倍，即12()()y x y x 不恒等于非零常数，则1()y x 与2()y x 在区间I 上线性无关。
例如，函数23x e -与2x e -在区间(,)-∞+∞内线性相关；函数sin x 与cos x ，x 与2x ,sin x x 与sin x ，x e -与x e 在区间(,)-∞+∞内都线性无关。
于是，当1()y x 与2()y x 线性无关时，函数1122()()y C y x C y x =+中含有两个独立的任意常数12C C 和。
有了线性无关的概念再结合定理1，我们就得到如下二阶齐次线性微分方程（3-2）的通解结构定理。
定理2 若1()y x 与2()y x 是方程（3-2）的两个线性无关的特解，则1122()()y C y x C y x =+ （3-4）就是方程（3-2）的通解。
例如，方程0y y ''+=是二阶齐次线性方程（这里()0,()1p x Q x ≡≡）.容易验证，1cos y x =与2sin y x =是所给方程的两个解，且21sin tan cos y x x y x==常数，即它们是线性无关的。
因此方程0y y ''+=的通解为12cos sin y C x C x =+。
关于二阶非齐次线性方程（3-1）的通解结构，我们有如下的定理。
定理3 设*()y x 是二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++= （3-1）的一个特解，()Y x 是与（3-1）对应的二阶齐次线性方程（3-2）的通解，那末()*()y Y x y x =+ （3-5）是二阶非齐次线性微分方程（3-1）的通解。
高中数学备课教案微分方程的基本概念与求解方法
高中数学备课教案微分方程的基本概念与求解方法高中数学备课教案：微分方程的基本概念与求解方法一、引言：微分方程是数学中一种重要的工具和理论基础，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
掌握微分方程的基本概念和求解方法对于高中数学教学和学习非常重要。
本教案将详细介绍微分方程的基本概念和几种常见的求解方法。
二、微分方程的基本概念：1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
2. 常见形式：常微分方程和偏微分方程。
3. 阶数：微分方程中最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。
4. 解的类型：特解、通解和初值问题。
三、微分方程的求解方法：1. 可分离变量法：使用步骤：(1) 将微分方程转化为可分离变量的形式。
(2) 对方程两边同时积分，得到通解。
(3) 如果已知初始条件，将初始条件代入通解，求得特解。
2. 线性微分方程：使用步骤：(1) 将微分方程转化为齐次线性微分方程。
(2) 求解齐次线性微分方程得到通解。
(3) 利用待定系数法求得非齐次线性微分方程的特解。
(4) 通解等于齐次解与非齐次解的和。
3. 齐次线性微分方程组的求解方法：使用步骤：(1) 求解齐次线性微分方程组得到特征方程的根。
(2) 根据特征方程的根的重数和线性无关的解的个数求得齐次线性微分方程组的通解。
(3) 利用待定系数法求得非齐次线性微分方程组的特解。
(4) 通解等于齐次解与非齐次解的和。
4. 高阶线性常系数微分方程的求解方法：使用步骤：(1) 求解齐次线性微分方程得到特征方程的根。
(2) 根据特征根的重数和线性无关的解的个数求得齐次线性微分方程的通解。
(3) 利用未知系数法求得非齐次线性微分方程的特解。
(4) 通解等于齐次解与非齐次解的和。
四、实例演练：1. 例题一：求微分方程dy/dx = x + sin(x)的通解。
解：将方程转化为dy = (x + sin(x))dx。
两边同时积分得到∫dy = ∫(x + sin(x))dx，即y = (x^2)/2 - cos(x) + C，其中C为常数。
微分方程教案
微分方程教案引言：微分方程作为数学的一个重要分支，是描述自然界中变化规律的一种数学工具。
本教案将介绍微分方程的定义和基本概念，并以实例演示如何求解微分方程，旨在帮助学生理解微分方程的基本原理和解题方法。
一、微分方程的定义和分类1. 微分方程的定义微分方程是一个包含未知函数及其导数或微分的方程。
一般表示为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中y是自变量x的某个函数。
2. 常微分方程和偏微分方程常微分方程中只含有一个自变量，如dy/dx = f(x)。
偏微分方程中含有多个自变量，如∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0。
二、微分方程的基本概念1. 解函数和通解解函数是满足微分方程的具体函数，通解是含有任意常数的解函数的集合。
2. 初值问题和边值问题初值问题是在给定某一点上的函数值和导数值，求解满足微分方程条件的特解。
边值问题是在给定边界上的函数值，求解满足微分方程条件的特解。
三、常见的微分方程和求解方法1. 一阶常微分方程1) 可分离变量方程2) 齐次方程3) 线性方程4) Bernoulli 方程2. 高阶常微分方程1) 常系数线性齐次方程2) 常系数线性非齐次方程3) 变系数线性齐次方程4) 变系数线性非齐次方程3. 偏微分方程1) 热传导方程2) 波动方程3) Laplace 方程四、求解微分方程的技巧和方法1. 变量分离法将微分方程中的变量分离到方程两边，再进行积分。
2. 齐次方程的换元法通过引入新的变量，将齐次方程转化为变量分离的形式。
3. 一阶线性方程的积分因子法通过乘以适当的积分因子，将一阶线性方程转化为变量分离的形式。
4. 常系数线性方程的特解法根据齐次方程的通解求解非齐次方程的特解。
五、案例演示1. 一阶常微分方程求解以可分离变量方程为例，演示解题步骤和方法。
2. 高阶常微分方程求解以常系数线性非齐次方程为例，演示解题步骤和方法。
微分方程教案
微分方程教案
一、教学目标：
1. 理解微分方程的基本概念和解法；
2. 掌握常见微分方程的求解方法；
3. 能够应用微分方程解决实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 重点：微分方程的基本概念和求解方法；
2. 难点：微分方程的应用解决实际问题。
三、教学内容：
1. 微分方程的基本概念：一阶微分方程和高阶微分方程；
2. 常见微分方程的求解方法：可分离变量、线性微分方程、齐次微分方程、常
数变易法等；
3. 微分方程的应用：生长衰减问题、物理问题、工程问题等。
四、教学过程：
1. 导入：通过引入实际问题引起学生兴趣，如生长衰减问题；
2. 概念讲解：介绍微分方程的基本概念和常见求解方法；
3. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程；
4. 练习：布置练习题让学生巩固所学知识；
5. 拓展：引导学生思考微分方程在实际问题中的应用。
五、教学方法：
1. 讲授相结合：通过讲解基本概念和求解方法，引导学生理解微分方程的本质；
2. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程，帮助学生掌握解题技巧；
3. 互动讨论：鼓励学生参与讨论，提高学生对微分方程的理解和应用能力。
六、教学工具：
1. 教科书、课件等教学资料；
2. 实例题目和练习题；
3. 多媒体设备。
七、教学评估：
1. 课堂表现：学生对微分方程的理解和应用能力；
2. 作业成绩：检验学生对微分方程的掌握程度；
3. 课后测验：检验学生对微分方程的理解和应用能力。
八、教学反思：
对教学过程进行总结和反思，根据学生的反馈和表现调整教学方法和内容，不断优化教学效果。
高中数学教案微分方程的解法
高中数学教案微分方程的解法高中数学教案：微分方程的解法一、引言微分方程作为数学的一个重要分支，是数学应用于自然科学和工程技术领域的重要工具。
本教案将介绍微分方程的解法，帮助学生深入理解微分方程的概念和应用。
二、微分方程的基本概念1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
2. 分类：a) 一阶微分方程：包括变量的一阶导数；b) 高阶微分方程：包括变量的二阶及以上的导数。
三、一阶微分方程的解法1. 可分离变量法：a) 将方程两侧分离成独立的变量；b) 对两侧分别积分，并加入常数。
2. 齐次微分方程解法：a) 将方程两侧除以最高次导数的系数，转化为齐次形式；b) 令新变量，将方程转化为可分离变量的形式；c) 代入积分等式，求解新变量；d) 将新变量转化回原变量，得到解。
3. 线性微分方程解法：a) 将方程转化为线性形式；b) 利用积分因子法，求出积分因子；c) 乘以积分因子，将方程转化为可积的形式；d) 对两侧积分，并加入常数，得到解。
四、高阶微分方程的解法1. 齐次线性微分方程解法：a) 求出齐次方程的特征方程，得到特征方程的根；b) 根据特征方程的根的个数及重复次数，得到齐次方程的通解。
2. 非齐次线性微分方程解法：a) 求出对应的齐次方程的通解；b) 利用待定系数法，猜测非齐次方程的特解；c) 将特解代入非齐次方程，解得待定系数；d) 非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上特解。
五、应用示例1. 物理问题：例如弹簧振动、自由落体等问题，可以通过微分方程进行建模和求解。
2. 经济问题：例如人口增长、利率变化等问题，也可以通过微分方程来进行分析和求解。
六、总结微分方程是数学中重要的工具，掌握微分方程的解法对于解决实际问题至关重要。
本教案介绍了一阶和高阶微分方程的常见解法，并且给出了一些应用示例，希望能够帮助学生深入理解微分方程的概念和应用。
以上，是高中数学教案微分方程的解法。
通过本教案的学习，相信学生们对微分方程的解法会有更深入的理解，并能够应用于实际问题的解决当中。
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第七章 微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n yf x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
§7. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件: t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)把(4)式两端积分一次, 得 14.0C t dtds v +-==; (6)再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7) 这里C 1, C 2都是任意常数. 把条件v |t =0=20代入(6)得 20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2. 把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8) s =-0.2t 2+20t . (9) 在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程 s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ). 几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 , y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0, 一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0. y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.例3 验证: 函数 x =C 1cos kt +C 2 sin kt 是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=,)sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=.将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dt x d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0 的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得 C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得 C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得 x =A cos kt . 作业：P298：4§7. 2 可分离变量的微分方程观察与分析:1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为xdx dy y 212=, 两边积分, 得C x y +=-21, 或Cx y +-=21,可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解.一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=(x )(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2).(5)y '=10x +y 是. ⇒10-y dy =10x dx .(6)xy y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2112x C C xe e e y ±=±=+.因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dtdM . 由题意, 初始条件为 M |t =0=M 0. 将方程分离变量得 dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt . 由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为 kv mg dtdv m-=, 初始条件为 v |t =0=0. 方程分离变量, 得m dt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv1)ln(1C m t kv mg k +=--, 即 t m k Cek mg v -+=(ke C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得kmgC -=,于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e kmgv --=.例4 求微分方程221xy y x dxdy+++=的通解.解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy++=, 分离变量得dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan .于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3§7. 3 齐次方程 齐次方程: 如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的函数f (x , y )可写成 x y的函数, 即)(),(xy y x f ϕ=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程1)(222-+=⇒-+=⇒xyx y dx dy x x y y dx dy(2)2211y y x -='-不是齐次方程2211x y dx dy --=⇒(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0是齐次方程 xy y x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22(4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程142-+-+-=⇒y x y x dx dy(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x yx 是齐次方程x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2 齐次方程的解法:在齐次方程)(x ydx dy ϕ=中, 令x y u =, 即y =ux , 有 )(u dxdu xu ϕ=+,分离变量, 得xdx u u du =-)(ϕ.两端积分, 得⎰⎰=-xdx u u du)(ϕ. 求出积分后, 再用xy代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程dxdyxy dx dy x y =+22.解 原方程可写成1)(222-=-=xyx y x xy y dx dy ,因此原方程是齐次方程. 令u xy=, 则 y =ux , dxdu x u dx dy+=, 于是原方程变为12-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x.分离变量, 得 xdx du u =-)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |, 或写成ln|xu |=u +C . 以xy代上式中的u , 便得所给方程的通解 C xyy +=||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM ,因为 x y yOP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程22y x x y y+=-', 整理得1)(2++=yx y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程1)(2++=yx y x dy dx .令v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v ,即 12+=v dydv y, 分离变量, 得ydy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C yv v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 1222=-CyvC y , 以yv =x 代入上式, 得)2(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为 )2(222C x C z y +=+. 这就是所求的旋转曲面方程.例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度) ,() ,(dtdy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =.另一方面, ) ,()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此y x y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即yx y x b a dy dx ++-=1)(2.问题归结为解齐次方程yx y x b a dy dx ++-=1)(2.令u yx =, 即x =yu , 得12+-=u ba dy du y, 分离变量, 得dy bya u du -=+12,两边积分, 得 )ln (ln arsh C y ab u +-=,将yx u =代入上式并整理, 得])()[(2111b ab a Cy Cy C x +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得hC 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211b a b a hy h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y a b u +-=后的整理过程:)ln (ln arsh C y a b y x +-=a bCy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a ba bCy Cy y x -=⇒-])()[(2a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=⇒.作业：P309：1（1）（3）（5），2§7.4 线性微分方程一、 线性方程 线性方程: 方程)()(x Q y x P dxdy=+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy=+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)2(⇒021=--y x dx dy是齐次线性方程 (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x 是非齐次线性方程(3) y '+y cos x =e -sin x 是非齐次线性方程(4)y x dxdy+=10 不是线性方程(5)0)1(32=++x dx dy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +- 不是线性方程齐次线性方程的解法: 齐次线性方程0)(=+y x P dxdy是变量可分离方程. 分离变量后得dx x P ydy)(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-,这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.例1 求方程y dxdyx =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为 y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dxx P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---,化简得 ⎰='dxx P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程25)1(12+=+-x x ydx dy 的通解.解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dtdi L -. 由回路电压定律得出0=--iR dtdi L E , 即LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t LE i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为 i |t =0=0. 方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中LR t P =)(, t L E t Q m sin )(ω=.由通解公式, 得 ])([)()()(C dt e t Q et i dt t P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t LE e dt L Rm dt L R+⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ωt L R mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C mωω+=,因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R LR E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程 伯努利方程: 方程n y x Q y x P dxdy)()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+ 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy += 5xy y dxdy =- 是伯努利方程.(3)x y y x y +='11-=-'xy y xy 是伯努利方程.(4)x xy dxdy42=- 是线性方程 不是伯努利方程.伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dxdyy n n=+-- 令z =y 1-n , 得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例4 求方程2)(ln y x a xydx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得x a y xdx dy y ln 112=+--, 即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---,令z =y -1, 则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x a C x z -=. 以y -1代z , 得所求方程的通解为 1])(ln 2[2=-x a C yx .经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程yx dx dy+=1. 解 若把所给方程变形为y x dydx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为u dx du 11=-, 即u u dx du 1+=. 分离变量, 得dx du u u =+1, 两端积分得u -ln|u +1|=x -ln|C |. 以u =x +y 代入上式, 得y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）§7. 5可降阶的高阶微分方程一、y (n )=f (x )型的微分方程 解法: 积分n 次1)1()(C dx x f y n +=⎰-,21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-,⋅ ⋅ ⋅.例1 求微分方程y '''=e 2x -cos x 的通解. 解 对所给方程接连积分三次, 得 12sin 21C x e y x +-='', 212cos 41C x C x e y x +++=', 3221221sin 81C x C x C x e y x ++++=这就是所给方程的通解. 或 122sin 21C x e y x +-='', 2122cos 41C x C x e y x +++=', 32212sin 81C x C x C x e y x ++++=这就是所给方程的通解.例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为)(22t F dtx d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而)1()(0Tt F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t mF dt x d -=其初始条件为0|0==t x ,0|0==t dt dx .把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F dt dx +-=.再积分一次, 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=.由初始条件x |t =0=0,0|0==t dt dx ,得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为 )621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T .二、y ''= f (x , y ')型的微分方程 解法: 设y '=p 则方程化为 p '=f (x , p ).设p '=f (x , p )的通解为p =ϕ(x ,C 1), 则),(1C x dxdyϕ=. 原方程的通解为 21),(C dx C x y +=⎰ϕ.例3 求微分方程 (1+x 2)y ''=2xy ' 满足初始条件y |x =0=1, y '|x =0=3 的特解.解 所给方程是y ''=f (x , y ')型的. 设y '=p , 代入方程并分离变量后, 有dx x x p dp 212+=. 两边积分, 得ln|p |=ln(1+x 2)+C , 即 p =y '=C 1(1+x 2) (C 1=±e C ). 由条件y '|x =0=3, 得C 1=3, 所以 y '=3(1+x 2). 两边再积分, 得 y =x 3+3x +C 2. 又由条件y |x =0=1, 得C 2=1, 于是所求的特解为 y =x 3+3x +1.例4 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、y ''=f (y , y ')型的微分方程 解法 设y '=p ,有 dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为),(p y f dy dpp =. 设方程),(p y f dydpp =的通解为y '=p =ϕ(y , C 1), 则原方程的通解为21),(C x C y dy+=⎰ϕ.例5 求微分yy ''-y '2=0的通解. 解 设y '=p , 则dydp p y ='', 代入方程, 得 02=-p dydp yp. 在y ≠0、p ≠0时, 约去p 并分离变量, 得ydy p dp =. 两边积分得ln|p |=ln|y |+ln c , 即 p =Cy 或y '=Cy (C =±c ).再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为 ln|y |=Cx +ln c 1, 或 y =C 1e Cx (C 1=±c 1).作业：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）§7. 6 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧, 上端固定, 下端挂一个质量为m 的物体. 取x 轴铅直向下, 并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v 0≠0后, 物体在平衡位置附近作上下振动. 在振动过程中, 物体的位置x 是t 的函数: x =x (t ).设弹簧的弹性系数为c , 则恢复力f =-cx .又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比, 比例系数为μ, 则 dtdx R μ-,由牛顿第二定律得dt dx cx dtx d m μ--=22.移项, 并记mn μ=2, mc k =2,则上式化为02222=++x k dt dx n dt x d ,这就是在有阻尼的情况下, 物体自由振动的微分方程. 如果振动物体还受到铅直扰力 F =H sin pt 的作用, 则有pt h x k dt dx n dtx d sin 2222=++,其中mH h =. 这就是强迫振动的微分方程. 例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路, 其中R 、L 、及C 为常数, 电源电动势是时间t 的函数: E =E m sin ωt , 这里E m 及ω也是常数.设电路中的电流为i (t ), 电容器极板上的电量为q (t ), 两极板间的电压为u c , 自感电动势为E L . 由电学知道 dt dq i =, C q u c =, dtdi L E L -=, 根据回路电压定律, 得0=---Ri C q dt di L E ,即 t E u dt du RC dt u d LC m c cc ωsin 22=++,或写成t LC E u dt du dt u d m c c c ωωβsin 22022=++, 其中L R 2=β, LC10=ω. 这就是串联电路的振荡方程.如果电容器经充电后撤去外电源(E =0), 则上述成为022022=++c c c u dt du dt u d ωβ. 二阶线性微分方程: 二阶线性微分方程的一般形式为 y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x ),若方程右端f (x )≡0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的. 二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程 y ''+P (x )y '+Q (x )y =0即0)()(22=++y x Q dx dyx P dxy d .定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程 y ''+P (x )y '+Q (x )y =0. 的两个解, 那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程的解, 其中C 1、C 2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理. 证明 [C 1y 1+C 2y 2]'=C 1 y 1'+C 2 y 2' [C 1y 1+C 2y 2]''=C 1 y 1''+C 2 y 2''因为y 1与y 2是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 所以有 y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1=0及y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2=0, 从而 [C 1y 1+C 2y 2]''+P (x )[ C 1y 1+C 2y 2]'+Q (x )[ C 1y 1+C 2y 2]=C 1[y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1]+C 2[y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2]=0+0=0. 这就证明了y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的解 函数的线性相关与线性无关:设y 1(x ), y 2(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数. 如果存在n 个不全为零的常数k 1, k 2, ⋅ ⋅ ⋅ , k n , 使得当x ∈I 时有恒等式k 1y 1(x )+k 2y 2(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n (x )≡0成立, 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关; 否则称为线性无关. 判别两个函数线性相关性的方法:对于两个函数, 它们线性相关与否, 只要看它们的比是否为常数, 如果比为常数, 那么它们就线性相关, 否则就线性无关.例如, 1, cos 2x , sin 2x 在整个数轴上是线性相关的. 函数1, x , x 2在任何区间(a , b )内是线性无关的.定理2 如果如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程 y ''+P (x )y '+Q (x )y =0 的两个线性无关的解, 那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x ) (C 1、C 2是任意常数)是方程的通解.例3验证y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为y1''+y1=-cos x+cos x=0,y2''+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.因为对于任意两个常数k1、k2,要使k1cos x+k2sin x≡0,只有k1=k2=0,所以cos x与sin x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.例4 验证y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为(x-1)y1''-xy1'+y1=0-x+x=0(x-1)y2''-xy2'+y2=(x-1)e x-xe x+e x=0所以y1=x与y2=e x都是方程的解,因为比值e x/x不恒为常数,所以y1=x与y2=e x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C2e x.推论如果y1(x)y2(x)⋅⋅⋅y n(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+⋅⋅⋅+a n-1(x)y'+ a n(x)y=0的n个线性无关的解,那么此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+ C n y n(x)其中C1C2⋅⋅⋅C n为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构:我们把方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.证明提示: [Y(x)+y*(x)]''+P(x)[ Y(x)+y*(x)]'+Q(x)[ Y(x)+y*(x)]=[Y ''+P(x)Y '+Q(x)Y ]+[ y* ''+P(x)y* '+Q(x)y*]=0+ f(x)= f(x).例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y''+y=0的通解,y*=x2-2是y''+y=x2的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y''+y=x2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和如y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)与y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.证明提示:[y1+y2*]''+P(x)[ y1*+y2*]'+Q(x)[ y1*+y2*]=[ y1*''+P(x) y1*'+Q(x) y1*]+[ y2*''+P(x) y2*'+Q(x) y2*]=f1(x)+f2(x).作业：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）§7. 7 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y''+py'+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1qp p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为, 函数xr e y 11=、xr ey 22=是方程的解, 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1=e (α+i β)x =e x (cos x +i sin x ) y 2=e (α-i β)x =e x(cosx -i sinx )y 1+y 2=2e xcos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1-y 2=2iexsinx)(21sin 21y y ix e x -=βα故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为: 第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r +1)(r -3)=0其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x +C 2e 3x .例2 求方程y ''+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解. 解 所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y'=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=1+2i r2=1-2i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +⋅⋅⋅+p n-1y'+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0注D叫做微分算子D0y=y D y=y'D2y=y''D3y=y'''⋅⋅⋅D n y=y(n)分析令y=e rx则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L (r )=r n +p 1r n -1+p 2 r n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p n -1r +p n =0 称为微分方程L (D)y =0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应: 单实根r 对应于一项: Ce rx ; 一对单复根r 1, 2=αi β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k -1); 一对k 重复根r 1, 2=αi β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k -1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k -1)sin βx ]. 例4 求方程y (4)-2y '''+5y ''=0 的通解. 解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i . 因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0. 解 这里的特征方程为 r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.作业：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）§7. 8 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程:方程y''+py'+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和:y=Y(x)+ y*(x).当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:一、f(x)=P m(x)eλx型当f(x)=P m(x)eλx时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q(x)eλx,将其代入方程,得等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).(1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则λ2+pλ+q0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=Q m(x)eλx.(2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则λ2+pλ+q=0,但2λ+p0,要使等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=xQ m(x)eλx.(3)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0,要使等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ''+py '+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ''-2y '-3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ''-2y '-3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y .例2 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ''-5y '+6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.。