幂级数及泰勒展开习题解答(最新整理)

幂级数及泰勒展开

一、求下列幂级数的收敛区间

1. 12(21)

n

n x n n ∞

=-∑

解：12(21)

lim

lim 12(1)(21)

n n n n a n n a n n +→∞

→∞-==++1

R ⇒=

当时，因 ， 所以收敛，1x =2111

2(21)2(1)n n n n n n =<-+-1

12(21)n n n ∞

=-∑

当时， 绝对收敛，

1x =-1

(1)2(21)

n

n n n ∞

=--∑ 收敛区间为。

⇒[1,1]-2.

n ∞

=解：11

lim 2n n n

n

a a +→∞==

2

R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，

2x

=

1

n ∞

=当时， 2x =-11

n n ∞

∞===- 收敛区间为。 ⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞

=⎡⎤

-+⎢⎥⎣⎦

∑解：11

1

1

(1)32lim

lim 3(1)32

n n n n n

n n n n

n a a ++++→∞

→∞-+==-+， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。

13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭

4. 1

(23)(1)

21n

n

n x n ∞

=---∑解：121lim

lim 121n n n n

a n a n +→∞

→∞-==+1

R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

231x -<12x <<当时， 发散，

1x =11(1)(1)11

1, 21212-1

2n n n n n n n n ∞

∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时， 为收敛的交错级数，

2x =1

(1)21n

n n ∞

=--∑ 收敛区间为。

⇒(1,2]5.

1

ln(1)

1)1n n n x n ∞

=+-+∑解：1ln(2)(1)lim

lim 1(2)ln(1)

n n n n a n n a n n +→∞

→∞++==++1

R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。11x -<02x <<当时，因为

0x =，1

ln(1)ln lim lim lim 01

1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2

ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21

x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 收敛，

1

(1)ln(1)

1n n n n ∞

=-++∑当时，因为当时 所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11

112n n n n +>>

++1

ln(1)1n n n ∞

=++∑ 收敛区间为。

⇒[0,2)6. 21

1(1)1)4

n

n n

n x n ∞

-=--∑

解：212

1211(1)41lim lim 1

(1)(1)44n n n n n n n n

u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+故当

，即时级数绝对收敛。 2

111124

x x -<⇒-<13x -<<当时， 为收敛的交错级数，1x =-121

11(1)1(1)(11)42n n n n

n n n n -∞

∞-==----=∑∑当时， 为收敛的交错级数，3x =21

11(1)1(1)1)4

2n n n n

n n n n ∞

∞-==---=∑∑ 收敛区间为。

⇒[1,3]-二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数

1. 121

1

(1)21n n n x n +-∞

=--∑

解：212

121(21)lim lim (21)n n n n n n

u x n x

u x n ++-→∞→∞-==+故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。

2

11x x <⇒<||1x >当时， 为收敛的交错级数，1x =-121

11(1)(1)(1)2121

n n n n n n n +∞

∞

-==---=--∑∑

当时， 为收敛的交错级数，

1x =1

1

(1)21n n n +∞

=--∑ 收敛区间为。

⇒[1,1]-令121

1

(1)()(0)0

21n n n x S x S n +-∞

=-=⇒=-∑1222201

11

()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).

x n n n S x x S x S dt x x t

S x x x ∞

+-='⇒=-=

⇒-==++⇒=≤∑⎰2.

21

1

2n n nx

∞

-=∑解：212

121(22)lim lim 2n n n n n n

u x n x

u x n ++-→∞→∞+==故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。

2

11x x <⇒<||1x >