(完整版)圆锥曲线方程知识点总结
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§8.圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,
2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12
222 b a b
y a
x
=+
. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12
22
2
b a b x a y
=+
.
②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.
③椭圆的标准方程：12
22
2=+
b y a x 的参数方程为⎩⎨
⎧==θ
θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π
θ ）.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.
②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.
⑤准线：c a x 2±=或c
a y 2
±=.
⑥离心率：)10( e a
c
e =.⑦焦点半径：
i. 设),(00y x P 为椭圆
)0(12
2
22
b a b y a x =+
上的一点，21,F F 为左、右焦点，则ii.设),(00y x P 为椭圆
)0(12
2
2
2 b a a y b x =+
上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002
200201 x a ex x c
a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθ
b a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：,(222
2a b c a b d -=
和,(2
a
b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆
)0(12
22
2 b a b y a x =+
的离心率是)(22b a c a
c
e -==
，方程t t b y a x (2
2
2
2
=+
是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a
c e =
我们称此方程为共离心率的椭圆系方
程.
⑸若P 是椭圆：
12
22
2=+
b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2
tan
2θ
b （用
⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒
-=+=0201,ey a PF ey a PF
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：以无轨迹
方程为双曲线
21212121212121,222F F F F a PF PF F F
a PF PF F F a PF PF ==
-=-=- ⑴①双曲线标准方程：
)0,(1),
0,(12
2
2
22
22
2 b a b x a y b a b y a x =-
=-
.
一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.
⑵①i. 焦点在x 轴上：
顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2
±= 渐近线方程：0=±b y a x 或0
2222=-b
y a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -.
焦点：),0(),,0(c c -.
准线方程：c
a y 2
±=.
渐近线方程：
0=±b
x
a y 或022
2
2=-
b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan se
c b y a x 或⎩
⎨
⎧==θθ
sec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a
c
e =.
④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a
b 2
2.
⑤参数关系a
c e b a c =
+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程
1
2
22
2
=-
b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
a
ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-
M a ex F M '--='01a
ey F M a
ey F M a
ey MF a
ey MF -'-='+'
-='+=-=02010201 ⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为y asin α,)
bsin α)
N 的轨迹是椭圆