4图的矩阵表示

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连通分支(举例)
p(G)=3
G
有向图如何？
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定理 在n阶简单图G, 如果对G的每对顶点u和v, deg(u) + deg(v)≥ n–1, 则G是连通图。
证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。 设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有 n– q个顶点。在这两部分中各取一个顶点u和v, 则
定理4证明: V(D)中存在v1可达V(D)中的其余顶 点; V1=V(D)-{v1}中存在v2可达V1中的其余顶 点; ……,于是有v1→v2 →……→vn-1 →vn #
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思考：判断下列图中哪些是强连通图，哪些是单向连通图，哪 些 是弱连通图。
回路: vi0 vil v e v e i0 j1 i1 j2 v e il1 jl vi0
v v v i0
i1
i2
e e j1
j2
v v ir 1 ir e jr
e jl
vil 1
3
简单通(回)路,初级通(回)路
简单(simple)通路(迹) : 没有重复边的通路 简单(simple)回路(闭迹) : 没有重复边的回路 复杂(complex)通路: 有重复边的通路 复杂(complex)回路: 有重复边的回路 初级(element)通路(路径(path)): 没有重复顶点
定义 设无向图G=<V,E>, VV, 若p(GV)>p(G)且
VV, p(GV)=p(G), 则称V为G的点割集. 若
{v}为点割集, 则称v为割点.
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边割集
定义 设无向图G=<V,E>, EE, 若p(GE)>p(G)且EE, p(GE)=p(G), 则称E为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称 e 为割边或桥.
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初级通(回)路
初级(element)通路(路径(path)): 没有重复顶点的通路,即通路 中各个顶点都不相同，例 ：v1→v6 →v3 →v4长度为3
初级(element)回路(圈(cycle)): 没有重复顶点的回路,即回路中 各个顶点都不相同。例：v1→v6 →v3 →v2 →v1
若 (G) = 1, 则G有一割边,
此时 k(G) = (G) = 1, (*) 式成立。
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简单图都是1-连通的和1-边连通的。 n阶完全图是(n–1)-连通的和(n–1)-边连通的。 对于任何n阶连通图, 当且仅当没有割点时, 它是2-连通
的; 当且仅当没有割边时, 它是2-边连通的。 若图G是h-连通的, 则G也是h-边连通的。(k(G)≤ (G)) 由定义可知, 若h1>h2, 图G是h1-连通的, 则G也是h2-连通
的。 若h1>h2, 图G是h1-边连通的, 则G也是h2-边连通。 一个图的连通度越大, 它的连通性能就越好。
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引理1
引理1: 设E’是边割集,则p(G-E’)=p(G)+1. 证明: 如果p(G-E’)>p(G)+1, 则E’不是边割集, 因
为不满足定义中的极小性. # 说明: 点割集无此性质
显然，初级通路（回路）一定是简单通路（回路）。反之不 然。
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初级通路(paths)
P1
P2
P3
P4
P5
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初级回路(圈cycles)
C1
C2
C3
C4
C5
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关于通路与回路的几点说明
表示方法 ① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5
环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图
中, 所有圈的长度2.
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关于通路Βιβλιοθήκη Baidu回路的几点说明
在两种意义下计算的圈个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2看作3个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
0≤deg(u)≤q – 1, 0≤deg(v)≤n – q – 1, 因此deg(u) + deg(v)≤n – 2, 这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。
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短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞. 距离的性质： u,v∈V(G)
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定理14.8
定理14.8(强连通判别法) D强连通当且仅当D中存 在经过每个顶点至少一次的回路
证明: () 显然 () 设V(D)={v1,v2,…,vn}, 设i,j是从vi到vj的有向通
路, 则1,2+2,3+…+n-1,n+n,1是过每个顶点至少一 次的回路. # 说明: 不一定有简单回路,反例如下:
e jr (vir1 , vir ), (e jr vir1 , vir ) 其中 r = 1,2,…,l, vi0 是起点, vil 是终点 通路长度 || = l.
v v v i0
i1
i2
e e j1
j2
v v ir 1 ir e jr
vil e jl
2
回路(closed walk)
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推论
推论: 在n阶图G中,若从不同顶点vi到vj有通路, 则从vi到vj有长度小于等于n-1的初级通路.
证明: 若通路不是路径, 则通路上有重复顶点, 删除所有重复顶点之间的回路, 得到的是路径, 其长度小于等于n-1. #
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定理14.6（回路）
定理2: 在n阶图G中,若有从顶点vi到自身的回路, 则有从vi到自身长度小于等于n的回路. #
的通路 初级(element)回路(圈(cycle)): 没有重复顶点的
回路
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简单通(回)路
简单(simple)通路(迹) : 没有重复边的通路,即通路中各边都 不相同。 如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3 →v4长度为6
简单(simple)回路(闭迹) : 没有重复边的回路，即回路中各 边都不相同。 如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6
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定理14.5
定理1: 在n阶图G中,若从不同顶点vi到vj有通路, 则从vi到vj有长度小于等于n-1的通路.
证明: 若通路长度大于n-1, 则通路上顶点数大 于n, 通路上有重复顶点, 删除重复顶点之间的 回路,通路长度至少减少1. 重复进行, 直到通路 长度小于等于n-1为止. #
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引理2
引理2:设E’是非完全图G的边割集, (G)=|E’|,GE’的2个连通分支是G1,G2,则存在 uV(G1),vV(G2),使得(u,v)E(G)
证明: (反证)否则(G)=|E’| =|V(G1)||V(G2)||V(G1)|+|V(G2)|-1=n-1, 与G 非完全图相矛盾! #
说明: a1b1(a-1)(b-1)=ab-a-b+10
aba+b-1.
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有向图的连通性
对于有向图，“图中任意两点都有通路相连”，这个要求 很高，因为有向图虽然是连在一起的，但受到边的方向 的限制，任意两点不一定有通路。以下分三种情况讨论：
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(a)
(b)
(c)
1）强连通图：有向图中，任意A、B是互为可达的。如图(a)
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无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系 连通图: 平凡图, 任意两点都连通的图 连通分支: V关于R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
推论: 在n阶图G中,若有从顶点vi到自身的 简单 回路,则有从vi到自身长度小于等于n的圈(初级 回路).
vi
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图的连通性
在图G中，如果A到B存在一条通路，则称A到B是可达的。 无向图的连通性 如果无向图中，任意两点是可达的，图为连通图。否则为 不连通图。 当图是不连通时，定是由几个连通子图构成。称这样的连 通图是连通分支。
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定理14.7
定理 对任意的图G = (V, E),
有 k(G)≤ (G)≤ (G)
(*)
证明 若G是平凡图或非连通图,
则 k(G) = (G) = 0, 上式显然成立。
若G是连通图, 则因每一顶点的所有关联边构成一个边割集,
所以 (G)≤(G)。
下面证明k (G)≤ (G)。
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定理14.9
定理14.9(单向连通判别法) D单向连通当且仅当D 中存在经过每个顶点至少一次的通路
例 下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通
(1)
(2)
(3)
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引理
引理: 有向图D单向连通 ,则对于任意的V’V(D), 存在v’V’,使得任意的vV’, v’与v之间至少有 一条单向通路(v’→v).
2）单向连通图：在有向图中，任意两点A、B存在着A到B的通 路或存在着B到A的通路。如图(b)
3）弱连通图：在有向图中，如果其底图是无向连通图。如图(c)
显然：在有向图中，如果有一条通过图中所有点的回路，
则此图是强连通的。 如果有一条通过图中所有点的通路，
则此图是单向连通图。 30
单向连通图都是弱连通图，但弱连通图却不一定是单 向连通图。 在弱连通图中，存在这样的顶点A、B，从A到B不可 达，且从B 到A也不可达。 强连通图既是单向连通图，又是弱连通图。 即强连通单向连通弱连通
一，且各个点（边）割集中所含的点（边）的个数 也不尽相同。我们用含元素个数最少的点割集和边 割集来刻画它的连通度
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连通度
下面从数量观点来描述图的连通性。 定义 设G = (V, E)是连通图,
k(G) = min{| V | | V是G的点割集}称为G的点连通度; (G) = min{| E | | E是G的边割集}称为G的边连通度。 图G的点连通度是为了使G成为一个非连通图,需要删除的 点的最少数目。 若图G中存在割点, k(G) = 1。 图G的边连通度是为了使G成为一个非连通图, 需要删除的 边的最少数目。 若图G中存在割边, (G) = 1。
通路与回路
通路,回路 简单通路,简单回路 初级通路,初级回路 短程线,距离 连通,连通分支,连通分支数 弱连通,单向连通,强连通(双向连通) 割集,连通度,Whitney定理
1
通路(walk)
通路: 顶点与边的交替序列
v e v e i0 j1 i1 j2 v e il 1 jl vil
在下图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集， e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？
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几点说明
Kn无点割集 n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
一个连通图G，若存在点割集和边割集，一般并不唯
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v 对称性：d(u,v)=d(v,u) 满足三角不等式：d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
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图的连通性的应用 在实际问题中, 除了考察一个图是否
连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。 图的连通性在计算机网、通信网和 电力网等方面有着重要的应用。
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点割集
在连通图中，如果删去一些顶点或边，则 可能会影响图的连通性。所谓从图中删去
某个顶点v，就是将顶点v和与v关联的所
有的边均删去；删除边只需将该边删除
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点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边