刚体绕任意轴的转动惯量

例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
J 1 ml，2 现有一水平力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。
Ny O
Nx
解 设轴对棒的作用力为 N
由转动定律 Fl' J
Nx, Ny
l' C F mg
由质心运 动定理
F

Nx

macx

m
l 2

Ny

mg

macy
求 到圆盘静止所需时间
解 取一质元 dm ds 2π rdr
R
dM rdf r gdm

摩擦力矩 由转动定律
M
R
dM
2 mgR
0
3
M J d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
t
0
dt
3R d
0
0 4g
t 3R0 4g
不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
rO T
解 (1) Fr J


Fr J

98 0.2 0.5

39.2
rad/s 2
F mg
(2) mg T ma
Tr J


J
mgr mr2
两者区别
a r
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
•力
改变质点的运动状态
质点获得加速度
•
改变刚体的转动状态
力 F 对z 轴的力矩
刚体获得角加速度

z F//
F
M z (F ) Fτr Fh
• 力矩取决于力的大小、方 向和作用点
• 在刚体的定轴转动中，力矩 只有两个指向
h r
F
A F
Fn
讨论

Mo
(1) 力对点的力矩
MO

r

F
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
O . r
F
MZ

r
F
力矩的方向由右螺旋法则确定

z F//
F
(3)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
h r
F
A F
例如
T' T
Mi TR T' R
T'
T
Mi TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动
当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
M kJ 在国际单位中 k = 1
刚体的转动定律
M z J
作用在刚体上所有的外力对

ml 2
2

0
质点系
打击中心
Nx

ml 2
Fl ' J

F

F (3l' 2l
r
3dr

m 2
R2
dl m
R O
Rm dr
r O
(3) J 与转轴的位置有关 z
M
L
O
dx
x
J L x2dx 1 ML2
0
3
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理 J z' J z ML2
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴 L :两轴间垂直距离
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2π R R2dl
0
0

R2
2π R
dl
0
2π
R3
m 2π R

mR2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr
dm ds

m π R2
2π
rdr

2mr R2
dr
J
m r2dm
0
R 0
2m R2
例如求对圆盘的一条直径的转动惯量
z
x
y
已知
Jz

1 mR2 2
zm 圆盘
Jz Jx Jy Jx Jy
Jx

Jy

1 mR2 4
C
x
R
y
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦
z
M
L
O dx
x
J L / 2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
z' z M
L C
例 均匀细棒的转动惯量
J Z

JZ

M


L
2
2

1 ML2 3
z
z
M
L
J z 1/ 12ML2
2. (薄板)垂直轴定理
Jz Jx Jy
x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。
2
xdm mxC mg
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩


M J

1 mgl cos
2
3 ml 2

3g cos
2l

dω dt
d d
ω
d
0
θ 0
3gcos
2l
d
3gsin
l
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止

98 0.2 0.5 10 0.22

21.8
rad/s 2
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平
面内转动，初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
O
ml x

解 取一质元 M xdm g g xdm
C dm
M mgxC
M 1 mgl cos
定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体对 z 轴
的转动惯量
讨论
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
(3) 与牛顿定律比较：M F, J m, a
• 理论推证
源自文库
取一质量元
Fi

fi

miai
切线方向 Fi fi miai
Fn
例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图)
求 摩擦力对y轴的力矩
y
解 dm M dx df dm g
ML
L
根据力矩 dM M gxdx
Ox
x
L
M
L


M

gxdx


1
MgL
0
L
2
dx
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算

O
ri
fi
Fi
mi
对固定轴的力矩 Fi ri fi ri miai ri miri2
对所有质元
Fi ri fi ri ( miri2 )
合外力矩 M
合内力矩 = 0
刚体的转动惯量 J
三. 转动惯量
定义式
J miri2
质量不连续分布
J r2dm
质量连续分布
• 计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴
的位置
(1) J 与刚体的总质量有关
例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L 3
J铁 J木
z M
O
dx
L x
(2) J 与质量分布有关