§4.02-拉普拉斯变换的定义、收敛域

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第四章拉普拉斯变换1

41引言42拉普拉斯变换的定义收敛域43拉普拉斯变换的基本性质44拉普拉斯逆变换45用拉普拉斯变换法分析电路s域的元件模型46系统函数hs47系统函数的零极点分布决定时域特性48系统函数的零极点分布决定频域特性410全通网络和最小相移函数的零极点分布411线性系统的稳定性41傅里叶级数和傅里叶变换
第4章拉普拉斯变换、连续系统的
(a)令 0, L[u(t)] 1 ,即u(t) 1
s
s
15
et 1
s
(b) 单边正弦信号 sin 0t u(t)
L[sin t] L[ 1 (e jt ejt )]
2j
1[ 1 1 ]
2 j s j s j
s2 2
即sin
t
s2
2
16
et 1
s
(c)单边余弦信号
costu(t)
(3) f (t)u(t t0 ) tu(t t0 )
(4) f (t t0 )u(t t0 ) (t t0 )u(t t0 ) 的拉氏变换。
解：信号(1)和(2)t 0 时的波形相同， f (t t0)
所以它们的拉氏变换也相同，即
L[t t0 ] L[(t t0 )u(t)] L[tu(t)] L[t0u(t)]
(0 )
f
(0 )
dt 2
若f(t)为有始函数，则
f (t) f (t)u(t)
L[ df (t)u(t)] sF (s)
dt
25
例
设
f1(t) etu(t),
1 f2 (t) et
t0 t 0
试求 f1'(t) 和 f2 '(t) 的拉氏变换。 1 f1(t)
解：f1(t), f2(t)的波形如图所示。

4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域

∫
∞
s
a s s π ds = arctan = − arctan 2 2 s +a as 2 a
21
四、延时（时域平移）延时（时域平移）
若LT [ f (t )] = F ( s ), 则当t0 > 0时, 有 : LT [ f (t − t0 )u (t − t0 )] = e
− st0
F ( s)
1 (18) (1 − e − at ) t
−3t
∫ ∫
∞
s
1 1 s ( − )ds = ln s s+a s+a
∞
s
s = − ln s+a
∞
(19)
e
−e t
−5t
∞
s
1 1 s+3 s+5 ( − )ds = ln = ln s+3 s+5 s+5 s s+3
∞
sin( at) ( 20) t
11
例4 − 1 求f (t ) = sin( ωt )的拉氏变换F ( s).
1 jωt − jω t f (t ) = sin(ωt ) = (e − e ) 2j
e j ω t − e − jω t F ( s ) = LT [sin(ωt )] = LT [ ] 2j 1 1 1 1 jω t − jω t = − ( LT [e ] − LT [e ]) = [ ] 2j 2 j s − jω s + j ω
18
三、时域积分与复频域积分特性 1、时域积分特性
若LT [ f (t )] = F ( s ), 则LT [ ∫ 其中 : f
( −1) t −∞

§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域

t
]

f (t ) e e
t
j t
dt

则

f (t ) e

( j ) t
d t F ( j )
令 : j s , 具有 (角) 频率的量纲, 称为复频率。
F s

f t e s t dt L [ f (t )]
t
( ) t
0
0, 0
收敛区
O

σ
X
说明
(1)例1到例3均满足 lim f ( t )e
t t
第 9 页
0 ( 0 )
称 f ( t ) 为指数阶信号 ( 2) 有界的非周期信号的拉氏变换一定存在 ( 0 ) n t (3) lim t e 0 0

所以
1 1 j st f (t ) F s e d s L [F ( s )] 2 π j j
j
X
第
3．拉氏变换对
F s L f t f t e s t d t 正变换 1 σ j 1 st F s e d s 逆变换 f t L F ( s ) 2 π j σ j
t
(4) e 等信号比指数函数增长快，找不到收敛
t2
坐标，为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
X
3. 双边拉氏变换的收敛域
第
10 页
解： lim f (t )e
t
e f (t ) t e
t
t jω
t0 t0
t
, 为实数

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的性质与公式
常数的拉普拉斯变换
A L[A]= S
常数与原函数积的拉普拉斯变换
L[Af (t )]=AL[f (t )] = AF ( s)
函数和的拉普拉斯变换
L[f1 (t ) + f 2 (t )]=L[f1 (t )] + L[f 2 (t )] = F1 ( s ) + F2 ( s )
函数f(t)的拉氏变换即是将该函数乘以 -st 的拉氏变换即是将该函数乘以e 函数的拉氏变换即是将该函数乘以然后从0→ 内定积分内定积分。称为拉氏变换的核，然后从 →∞内定积分。 e-st称为拉氏变换的核，其结果得出仅含有s参数的另一个函数其结果得出仅含有参数的另一个函数F(s) ，参数的另一个函数它建立在s变量域。它建立在变量域。拉氏变换的实质是将时间函变量域数表达式转换为拉氏运算子s的函数表达式。数表达式转换为拉氏运算子的函数表达式。的函数表达式
指数函数的拉普拉斯变换
1 L[e ]= s +α
-α t
原函数导数的拉普拉斯变换
df (t ) L[ ]=SL[ f (t )] f (0) dt
更多变换参见P409“常用拉普拉斯变换表” 常用拉普拉斯变换表” 更多变换参见常用拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换应用实例
单隔室静注给药
dX =kX dt
X
=
k0 S (S + k )
查拉氏变换表，找到“ 查拉氏变换表，找到“A/S(S+a)”，对应原函数，其中A＝ “A (1 e αt ) ”其中＝k0，a = k
α
k X = 0 ( ekt ) 1 k
单隔室非血管给药两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：

§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域

tn −st ∞ n ∞ n−1 −st e = + ∫ t e dt −s 0 s 0
n ∞ n−1 −st = ∫ t e dt s 0 n n−1 n 所以 L t = L t s n =1
[ ]
∞
[ ]
[ ]
L[t] = ∫ t ⋅ e dt
−st 0
[ ]
[ ]
1 ∞ t de−st = − s ∫0
X
第
Hale Waihona Puke 三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
1 −st ∞ 1 = e L[u(t)] = ∫ 1⋅ e dt = 0 0 s −s
∞ −st
9 页
2.指数函数
Le
[ ]=∫
α − t
∞
0
3.单位冲激信号
∞ 0
∞
1 e e e dt = = − (α + s) 0 α + s
α − t −st
−(α+s) t
n ! 所以 L t = n+1 s
n
[ ]
⋯ ⋯
X
∞ −∞
X
第
2．拉氏逆变换
F(σ + jω) = ∫ f (t) e
∞ −(σ +jω) t
4 页
f 对于 (t) e
F 是 (σ + jω)的傅里叶逆变换 1 ∞ −σ t f (t) e = F(σ + jω) ejω tdω 2π ∫−∞ σt 两同以e 边乘 1 ∞ f (t) = F(σ + jω) e(σ +jω)t dω 2π ∫−∞ 其中 s =σ + jω ; 若取常数， ds = jdω : σ取常数，则

(完整版)拉普拉斯变换

t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(

拉普拉斯变换(推荐完整)

f
-st
(t)e a dt

1
F(
s
)
aa
收敛域：
Re(s/a) s0 Re(s) as0
3)时移特性（Time Shifting）
若 f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (t - t0 )u(t - t0 ) L e-st0 F (s) t0 0, Re(s) s 0
例：求信号f
(t)

sin 0
t
0 t 其它

的Laplace变换。
f (t) sin(t)u(t) sin(t - )u(t - )
F
(
s)

1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换，从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
L[cos(w0t)u(t)]
s
s2

w
2 0
Re(s) 0
L[sin(w0t)u(t)]
w0
s2

w
2 0
Re(s) 0
单边拉普拉斯的基本性质 (properties of Laplace Transform)
1 ) 线性特性(linearity)

拉普拉斯变换的定义

§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1．拉普拉斯正变换[]t e et f t j td )(ωσ-+∞∞--⋅⎰te tf t j d )()(ωσ+-+∞∞-⋅=⎰则2．拉氏逆变换3．拉氏变换对:,)( ),( 依傅氏变换定义绝对可积条件后容易满足为任意实数乘以衰减因子信号σσt e t f -()[]=⋅=-tet f F F σω)(1)(ωσj F +=称为复频率。

具有频率的量纲令 , , :s j =+ωσ()()⎰∞∞--=t e t f s F t s d ()()()()()⎰⎰∞∞--∞∞-+-===+te tf s F t e t f j F t s t j d d ωσωσ()() 的傅里叶逆变换是对于ωσσj F e t f t +-()()⎰∞∞--+=ωωσπωσd 21tj t e j F e t f t e σ 以两边同乘()()()ωωσπωσd 21⎰∞∞-++=t j e j F t f ωσωσd d ; :j s j s =+=则取常数，若其中⎰⎰∞∞-∞+∞-⇒j j s σσω::对积分限：对()()⎰∞+∞-=∴j j t s s e s F j t f σσπd 21()()[]()()()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰∞+∞--∞∞--j j t s t s s e s F j t f L t f t e t f t f L s F σσπ逆变换正变换 d 21 d 1()()te tf F t j d 0ωω-∞⎰=∴二．拉氏变换的收敛收敛域：使F (s )存在的s 的区域称为收敛域。

记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用;能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应;能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性;理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系;会判定系统的稳定性;知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1）定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰ 逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换：正变换 ()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2）定义域若0σσ>时,lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()stf t dte +∞--⎰存在,即()f t 的拉普拉斯变换存在;0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域;0σ与函数()f t 的性质有关;2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值;（3）原函数积分若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0)()[()]tf F s f t dt s sζ---∞=+⎰式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=⎰（4）延时性若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=（5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=,则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6）尺度变换若[()]()f t F s ζ=,则1[()]()s f at F a aζ=a >0 （7）初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s ++→→∞==（8）终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞→∞=（9）卷积定理若11[()]()f t F s ζ=,22[()]()f t F s ζ=,则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=12121[()()][()()]2f t f t F s F s jζπ=*=121()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞-∞-⎰3. 拉普拉斯逆变换（1）部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式,然后将各部分分式逐项进行逆变换,最后叠加起来即得到原函数()f t ; 2留数法留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数()st F s e 在围线中所有极点的留数运算,即(1)11[()]()()[()]22j st st st j cF s F s e ds F s e ds F s e j jσσζππ+∞--∞===∑⎰⎰极点的留数若i p 为一阶级点,则在极点i s p =处的留数21[()()]insti i i s p i r s p F s e X ===-∑若i p 为k 阶级点,则111[()()](1)!ik k st i i s p k d r s p F s e k ds-=-=--4. 系统函数网络函数Hs （1）定义系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数,即()()()zs R s H s E s =冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成变换对,即()[()]H s h t ζ=系统的频率响应特性()()()()j w s jwH jw H s H jw e ϕ===式中,()H jw 是幅频响应特性,()w ϕ是相频响应特性; （2）零极点分布图1212()()()()()()()()()m n K s z s z s z N s H s D s s p s p s p ---==--- 式中,K 是系数；1z ,2z ,m z 为()H s 的零点；1p ,2p ,,n p 为()H s 的极点;在s 平面上,用“”表示零点,“X ”表示极点;将()H s 的全部零点和极点画在s 平面上得到的图称为系统的零极点分布图;对于实系统函数而言,其零极点要么位于实轴上,要么关于实轴成镜像对称分布; （3）全通函数如果一个系统函数的极点位于左半平面,零点位于右半平面,而且零点与极点对于jw 轴互为镜像,那么这种系统函数称为全通函数,此系统则为全通系统或全通网络;全通网络函数的幅频特性是常数; （4）最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于s 平面的左半平面或jw 轴,则称这种函数为最小相移函数;具有这种网络函数的系统为最小相移网络; （5）系统函数()H s 的求解方法 ①由冲激响应()h t 求得,即()[()]H s h t ζ=;②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换,然后由()()()zs R s H s E s =获得;③根据s 域电路模型,求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比,即为()H s ; 5. 系统的稳定性若系统对任意的有界输入,其零状态响应也是有界的,则此系统为稳定系统; 1稳定系统的时域判决条件()h t dt M +∞-∞≤⎰充要条件 ① 若系统是因果的,则①式可改写为0()h t dt M +∞≤⎰ （2）对于因果系统,其稳定性的s 域判决条件①若系统函数()H s 的全部极点落于s 左半平面,则该系统稳定；②若系统函数()H s 有极点落于s 右半平面,或在虚轴上具有二阶以上的极点,则该系统不稳定；③若系统函数()H s 没有极点落于s 右半平面,但在虚轴上有一阶极点,则该系统临界稳定;内容摘要例题·求拉氏变换·求拉氏变换,拉氏变换的性质 ·拉氏变换的微分性质 ·系统函数,求解系统的响应 ·用拉氏变换法分析电路·例4-1求下列函数的拉氏变换 ()()1-=t tu t f 分析拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以()s F 表示()t f 单边拉氏变换,以 ()s F B 表示()t f 双边拉氏变换;若文字中未作说明,则指单边拉氏变换;单边拉氏变换只研究0≥t 的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在拉氏变换的和典型信号的拉氏变换二．单边拉氏变换逆变换的求法围线积分法三．拉氏变换的四．五．系统函数一.拉普拉斯时移定理,微分定理和初值定理等方面;本例只讨论时移定理;请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用; 解答例4-2求三角脉冲函数)(f t 如图4-2a 所示的象函数分析和傅里叶变换类似,求拉氏变换的时,的性质,; 解答方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于于是方法三：利用微分性质求解分析信号的波形仅由直线组成,信号导数的象函数容易求得,或者信号经过几次微分后出现原信号,这时利用微分性质比较简单; 将()t f 微分两次,所得波形如图4-2b 所示;()()()2222e 11e e 211s s s sss F ----=+-=根据微分性质由图4-2b 可以看出于是方法四：利用卷积性质求解()t f 可看作是图4-2c 所示的矩形脉冲()t f 1自身的卷积于是,根据卷积性质而所以例4-3应用微分性质求图4-3a 中的象函数下面说明应用微分性质应注f()1t f 因而这是应用微分性质应特别注意的问题;由图4-3b 知例4-4某线性时不变系统,在非零状条件不变的情况下,三种不同的激励信号作用于系()()s s s F --=e 111()()22e 11sss F --=图4-2c()()t f t f t f 321),(,(),1t f ()()()t f t f t f 321,,'''图4-4（b)为图中所示的矩形脉冲时,求此时系统的输出阶跃响应则例4-5电路如图4-5a 所示 1求系统的冲激响应; 2求系统的起始状态使系统的零输入响应等于冲激响应; 3求系统的起始状态, 解答1求系统的冲激响应;系统冲激响应()t h 与系统函数()s H 是一对拉氏变换的关系;对()s H 求逆变换可求得()t h ,这种方法比在时域求解微分方程简便;利用s 域模型图4-5b 可直写出图4-5a 电路的系统函数冲激响应2求系统的起始状态为求得系统的零输入响应,应写出系统的微分方程或给出带有初值的s 域模型;下面我们用s 域模型求解;图4-5a 电路的s 域模型如图4-5b; 由图4-5b 可以写出上式中第二项只和系统起始状态有关,因此该项是零输入响应的拉氏变换;依题意的要求,该项应和()s H 相等,从而得()t x 3当输入()。

§4.02拉普拉斯变换的定义、收敛域

>0,收敛域为S右半平面
收敛域为S平面>3的区域，可表示为Re(s)>3的区域
X
第
说明
9
页
1.满足 lim t
f
(t) e
t

0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3. lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
对于单边信号f(t),若存在一个0,使

0时,
有
lim
t
f (t )e t
0,
则 f (t) e σ在t > 0的全部范围内满足绝对可积,Laplace变换存在.
收敛轴
jω 收敛区
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：
收敛坐标 σ0 O
ROC(region of convergence) σ (实际上就是拉氏变换存在的
条件)
X
例题
第 8
页
计算下列信号Laplace变换的收敛域:
1、u(t) u(t )
收敛域为全S平面
2、 u(t)
>0,收敛域为S右半平面
3、sin(0 t)u(t)
>0,收敛域为S右半平面
4、 t的正次幂信号: tu(t ), t n u(t )
5、指数信号e 3t u(t )
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
X
三．一些常用函数的拉氏变换
第 10
页

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。

它可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，为我们分析和处理信号提供了很大的便利。

本文将介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。

一、定义拉普拉斯变换可以将一个实函数 f(t) 转换为复函数 F(s)，其中 t 表示时间，s 表示复频率。

拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt其中，e 是自然常数，s 是复变量。

拉普拉斯变换的积分区间是从 0 到正无穷，表示了信号在整个时间轴上的变化。

二、性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，可以简化我们对信号的分析。

下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意的常数 a 和 b，有 L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s)。

拉普拉斯变换可以线性叠加。

2. 积分性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的积分的拉普拉斯变换是1/s·F(s)。

该性质对于求解微分方程非常有用。

3. 导数性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的导数的拉普拉斯变换是 s·F(s) - f(0+)。

这个性质也对求解微分方程十分重要。

除了上述性质，拉普拉斯变换还具有平移性质、卷积性质和初值定理等，这些性质使得我们可以快速、方便地进行信号分析和处理。

三、应用举例拉普拉斯变换在实际应用中有着广泛的应用。

下面举例几个常见的应用场景：1. 信号处理：对于一个时域的信号，通过拉普拉斯变换可以将其转换为频域信号，从而方便我们对信号的频域特性进行分析。

例如，在音频处理中，拉普拉斯变换能够帮助我们对音频信号的频谱进行分析，实现去噪、音频增强等功能。

2. 控制系统：拉普拉斯变换可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和性能。

(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。

能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。

理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。

会判定系统的稳定性。

知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1）定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换：正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2）定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。

0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。

0σ与函数()f t 的性质有关。

2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。

第四章拉普拉斯变换4月30日

t 0− t −∞ −∞ 0−
( ) ∫ f (τ )dτ = f (0 )
0− −1 −∞
0−
−
为一常量
−1 ∞ t − − st 0− 0−
1 ∴ ∫ f (τ )dτ + ∫ f (τ )dτ ← ⎯→ f ( ) (0 ) + ∫ ⎡ ∫ f (τ )dτ ⎤e ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ s
t −∞ 0−
σ > −α
10、 ∑ δ ( t − nT ) ←⎯ →
n=0
∞
1 1 − e − sT
4.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性（叠加）若则
f1 ( t ) ←⎯ → F1 ( s ) ， f 2 ( t ) ←⎯ → F2 ( s ) ， K1 f1 ( t ) + K 2 f ( t ) ←⎯ → K1 F1 ( s ) + K 2 F2 ( s )
8、 e −α t sin (ωt ) u ( t ) ←⎯ →
→ e −α t cos (ωt ) u ( t ) ←⎯
ω 2 (s +α ) + ω2
s +α
σ > −α σ > −α
σ > σ1
2 (s +α ) + ω2
9、
1 n s1t 1 t e u ( t ) ←⎯ → n +1 n! ( s − s1 ) 1 n −α t 1 t e u ( t ) ←⎯ → n +1 n! (s +α )
f (0 + ) = lim sF (s )
s →∞
如果 f (t ) 在 t = 0 处有冲激函数及其导数，则 f (t ) 的拉普拉斯变换为 s 的多项式与真分式 F1 (s ) 之和，即 F (s ) = k1 + k 2 s + L + F1 (s ) 。此时初值定理应表示为： f (0 + ) = lim sF1 (s )

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换公式总结拉普拉斯变换是一种傅里叶变换的扩展，广泛应用于信号处理和控制系统的分析。

它将时间域中的函数转换到复平面的变换域中，可以有效地处理复杂的微分和积分方程。

拉普拉斯变换有许多重要的性质和公式，下面将对其中的一些进行总结。

1.拉普拉斯变换定义F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s为复变量，t为时间，e为自然常数。

2.拉普拉斯变换的收敛条件要使拉普拉斯变换存在，函数f(t)必须满足一定的收敛条件。

常见的收敛条件为：函数f(t)是因果（即f(t)在t<0时为零）和指数增长边界条件（即函数f(t)e^(-αt)在t趋于正无穷时有界）。

3.常见的拉普拉斯变换公式3.1常函数的拉普拉斯变换：L[1]=1/s3.2单位阶跃函数的拉普拉斯变换：L[u(t)]=1/s3.3单位冲激函数的拉普拉斯变换：L[δ(t)]=13.4指数函数的拉普拉斯变换：L[e^(at)] = 1/(s-a)，其中a为常数3.5高斯函数的拉普拉斯变换：L[e^(-at^2)] = sqrt(π/a) × e^(s^2/4a)3.6正弦和余弦函数的拉普拉斯变换：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)3.7常见微分和积分公式的拉普拉斯变换：L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)4.拉普拉斯反变换公式f(t) = L^(-1)[F(s)] = 1/(2πj) × ∫[-j∞,j∞] e^(st)F(s) ds5.拉普拉斯变换的性质5.1线性性：L[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s)，其中a、b为常数5.2微分性：L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)5.3积分性：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)5.4积分定理：∫[0,∞) f(t) dt = F(0+)5.5初值定理：lim(s→∞) sF(s) = f(0+)5.6终值定理：lim(t→0+) f(t) = lim(s→0) sF(s)6.拉普拉斯变换在信号处理中的应用拉普拉斯变换在信号处理领域有广泛的应用。

§4.02-拉普拉斯变换的定义、收敛域

第四章拉普拉斯变换1

4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域

§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域

拉普拉斯变换

§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域

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拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换公式总结

§4.02拉普拉斯变换的定义、收敛域

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第四章 拉普拉斯变换4月30日

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