解析几何第二十七讲 抛物线答案

专题九解析几何

第二十七讲抛物线

答案部分2019 年

2 p p 1.解析：由题意可得：

3 p 2

，解得p 8 ．故选D．

p ，即p=2. 2.（I）由题意得1 2 所以，抛物线的准线方程为x=?1. （Ⅱ）设Ax , y , Bx , y ,C x , y A B B c c ，重心

, G G

A A G x y .令y 2t,t 0，则x t2 . A t2 1 由于直线AB过F，故直线AB

方程x y 1，代入y2 4x ，得

为

2t

2 2 t

2 1 y 4 0 ，t y

1 2 . 故2 4 y ，所以

B , ty ，即2 B B t t t

2 又由于

G

A B c

G

A B c

2 c x 1 x x x

3 1 得

y 1 y y y 及重心G在x轴上，故2 3

4 0 t

2

2 1 2t 2 . 2t C

t

t ,2

t t G ,

3t 2 ,0

所以，直线AC方程为y t t x t ，得

2

2 2 Q t2 1,0 . t2 2 .从而

由于Q在焦点F的右侧，故

2t 1 | | FG y S 2 1 A 2t 2 4 2

1 |

2 | t t 2 4

.

2 2

t 2 1 t 2 3 1 | | 2t

2 | | 2 2 | | 1 2t 2t 1 S QG y t 2 2 c 2 令m t2 2 ，则m>0，4

2

3t t 2 1 4 t t 4 t

S m 1 1 3 1 …

. 2 2 2 1 S m 4m 3 m 4 2 m 3 4 2 2 2

3 m m S

3 当m 3 时，

1 取得最小值

S 1 2

，此时G（2，0）. 2 Dt A x y x 2y, , , 1 2 1 . 1 3.解析（1）设

，则

1 1 2

1 ，整理得

2 由于y' x ，所以切线DA的斜率为

2 x tx1 1 y x ，故1

1 x t 1 设

2tx 2 y +1=0 . B x得

2 , y2

，同理可2 2 故直线AB的方程为2tx 2y 1 0. 1

所以直线AB过定点

. (0, ) 2 （2）由（1）得直线AB的方程y tx 1 . 为

2

1

y tx 2

x 2 y 2 由

，可得x2 2tx 1 0 . 2 y1+1=0. 于是x x t y y t x x 1 2 t .

2 2 2 , 1 2 1 1 2 1 M t t2 1 .

设M为线段AB的中点，则, 2

由于EM AB ，而EM t t

，AB 与向量(1, t) 平行，所以

, 2 2 t=0或t 1. 当t =0时，| EM |=2

，所求圆的方程

2 x 4 ；y 为

2 2 5 t 1时，| EM | 2 ，所求圆的方程为

2 当

x2

y 5 2

2 t t2 2 t 0 .解得

2 .

2010-2018 年

1．C【解析】由题意可知，如图MFx 60o，又抛物线的定义得MF MN ，所以MNF 为等边三角形，在三角形NFH 中，FH 2 ，FH cos 60 o

，得NF 4 ，所以M 到

NF NF 的距离为等边三角形MNF 中NF 边上的高，易知为3

2 NF

2 3 ．选C．

y N x H O F M 2．D【解析】易知抛物线的焦点为F(1, 0) ，设P(x , y ) ，由PF x 轴得x P P P 1，代入

抛物线方程得

P 2 的k 2，故选D．

y (2 舍去)，把P(1, 2) 代入曲线y k (k 0) x p 3．B【解析】因为抛物线的准线方程为x 1，∴p 2 ，∴焦点坐标为(1, 0) ．

2 4．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2 条，即x 5 r ，所以

0 r 5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2

条即可．设

A(x , y ) ，

1 1 B(x , y )，

2

2 x x 2x M (x , y )，则

0 0 1 2 0

，

y 4x 2 2 y 2y y

y

4x 1 2 0 ．又

1 1 y

2 2 4x

2

两式相减得

(y y )(y y ) 4(x x )，k 1 2 1 2 1 2

AB 1 y y 2 x x 1 2 4 y 1 2 ．

y

设圆心为C(5, 0) ，则k y

0 ，因为直线l 与圆相切，

2 y 0 CM x0 5 3

2 所以

y 0

1

，解得

x0 = 3，于是y0

r2 2 y x 5 0 0 4 ，r > 2，又y2 x ，

0 4 0

即r2 4 12，所以0 < r < 4，又0 < r <5，r > 2所以2 r 4 ，选D．5．C【解析】过点Q 作QQ l 交l 于点Q ，因为PF 4FQ ，所以| PQ |:| PF | 3: 4 ，

又焦点F 到准线l 的距离为4，所以| QF || QQ| 3．故选C．

p ，焦点(3 ,0) 6．D【解析】易知抛物线中

3 ，直线AB 的斜率k

，故直线AB 的

3 F 2

4 3 2 y 3 x 3 ，代入抛物线方程y2 3x，整理得21 9 0 方程为( ) x x ．y