直线的参数方程及其应用举例

设Ｐ0P＝ｔ,ｔ为参数, 又∵P0Q= x x0 ,
Q Ｐ= y y0
x x0 =tcos
∴
y y0 ＝t siｎ 0
P( x , y )
Q
x
即
x y
x0 y0
t cos t sin
就是所求的直线
l
的参数方程
h
∵P0P=t,ｔ为参数,ｔ的几何意义就是:有向直线 l 上从已知点 P０( x0 , y0 )到点
为
x
1 3 2
y 1t 2
t
即
x
y
1 t cos5 6
t sin 5 6
就是直线方程的标准形式,(-
3 )2+( 1 )2=1, t 的几何
2
2
意义就是有向线段
M
0
M
的数量、直线
l2
的参数方程为
x 3 y 1
t 3
t
就是非标准
h
l
P0 h
P( x , y )
⑥ 当 t<0 时,点 P 在点Ｐ0 的左侧;
0
x
问题２:直线 l 上的点与对应的参数 t 就是不就是一h 对应关系?
y
l
我们把直线 l 瞧作就是实数轴,
h
以直线 l 向上的方向为正方向,以定点 P０
P0 h
为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数 t 便与这条实数轴上的点 P 建立了
h
１)当 P0 P 与直线 l 同方向或Ｐ０与 P 重合时,
0
P0Ｐ=｜P０Ｐ|
则Ｐ0Q=P０Pcos Q Ｐ＝Ph０Psin
l
P( x , y )
Q
x
2P)0当Ｐ=P-0｜P 与P0P直|线Pl ０反Ｑ方=向P0Ｐ时c,Po0sＰ 、PＱ0ＱP、＝QP０PP同sin时 改仍变成符立号yh
l P0
h
则 P1P2 中点 P３的参数为 t３= t1 t2 ,∣P0P3∣= t1 t2
2
2
(4)若 P０为 P1P２的中点,则 t１+t2=0,t1·t2<0 2、直线参数方程的一般式
过点
P0(
x0 ,
y0 ),斜率为
k
b a
的直线的参数方程就是
x
y
x0 y0
at bt
(t 为参数)
例题:
１、参数方程与普通方程的互化
所对应的参数分别为 t1、t２、t3,Ｐ3 为 P1、P2 的h中点
则ｔ3= t1 t2 (∵P1P3＝-Ｐ2P3, 根据直线 l 参数方程 t 的几何意义,
2பைடு நூலகம்
∴P1Ｐ3= t3-t1, P２P３= t3-t2, ∴t3-ｔ1=－(t3-ｔ2,) )
总结:
1、直线参数方程的标准式
(１)过点 P０( x0 , y0 ),倾斜角为 的直线 l 的参数方程就是
P
x
一一对应关系、
0
问题 3:Ｐ1、Ｐ2 为直线 l 上两点所对应的参数分别为 t１、hｔ２ ,
则 P1Ｐ2=?,∣P１P2∣=?
P1P2＝P1Ｐ0＋P0P2=－ｔ1+t2=t２－t1,∣P１P2∣＝∣ ｔ2-t1∣
直线的参数方程及其应用举例
问题 4:若 P0 为直线 l 上两点 P1、Ｐ２的中点,P1、P2 所对应的
Ｐ( x , y )的有向线段的数量,且|P０P|＝｜t|
① 当 t>0 时,点 P 在点 P0 的上方; ② 当 t=０时,点 P 与点 P0 重合; ③ 当 t＜0 时,点Ｐ在点 P0 的下方;
特别地,若直线
l
的倾斜角
=０时,直线
l
的参数方程为
y
x
y
x0 y0
t
④ 当 t>0 时,点 P 在点 P0 的右侧; ⑤ 当 t＝０时,点 P 与点Ｐ0 重合;
有向线段 M0M 的长、
点拨:求直线的参数方程先确定定点,再求倾斜角,注意参数的几何意义.
例
2:化直线
l2
的参数方程
x 3 y 1
t 3
t
(t
为参数)为普通方程,并求倾斜角,
说明∣t∣的几何意义.
解:原方程组变形为
x3 y 1
t 3
t
(1) (2)
(1)代入(2)消去参数 t,
得 y 1 3(x 3) (点斜式) 可见 k= 3 , tg = 3 ,倾斜角
参数分别为ｔ1、t2 ,则 t１、t2 之间有何关系? 根据直线 l 参数方程 t 的几何意义,
y h
l
P2
Ｐ1P=ｔ1,P２P=ｔ2,∵Ｐ0 为直线 l
P0
上两点 P1、P2 的中点,∴|P1P|=｜P2P|
h
P1Ｐ=－P2Ｐ,即 t1＝-ｔ２, t1t2<0
P1
x
一般地,若 P１、Ｐ2、P3 就是直线 l 上的点, 0
x
y
x0 y0
t t
cos s in
(t 为参数)t 的几何意义:ｔ表示有向线段 P0 P 的数量,P( x , y )
P０P=ｔ
∣Ｐ0Ｐ∣=ｔ
为直线上任意一点、
(2)若Ｐ1、P２就是直线上两点,所对应的参数分别为 t1、t2,
则 P1P２=ｔ2－t１
∣P1P2∣=∣t 2－ｔ １∣
(3) 若Ｐ1、P2、P3 就是直线上的点,所对应的参数分别为 t１、t2、t3
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用
问题１:(直线由点与方向确定)
求经过点 P０( x0 , y0 ),倾斜角为 的直线 l 的参数方程、
设点 P( x , y )就是直线 l 上任意一点,(规定向上的 y
h
方向为直线 L 的正方向)过点 P 作 y 轴的平行线,过
P0
P0 作 x 轴的平行线,两条直线相交于 Q 点、
= 3
普通方程为 3x y 3 3 1 0
(1)、(2)两式平方相加,得 (x 3)2 ( y 1)2 4t 2 ∴∣ｔ∣= (x 3)2 ( y 1)2
2
∣t∣就是定点Ｍ0(3,１)到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M0M 的长的一半、
点拨:注意在例 1、例 2 中,参数ｔ的几何意义就是不同的,直线 l1 的参数方程
3
6
2
2
l1
的参数方程为
x
1 3
2
y
1 t
2
t
(t 为参数)
ｔ就是直线 l1 上定点 M0(1,0)到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M0M 的数
量、由
x
1
y
1t 2
3t 2
(1) (2)
(1)、(２)两式平方相加,得 (x 1)2 y 2 t 2
∣ｔ∣＝ (x 1)2 y 2 ∣ｔ∣就是定点Ｍ0(1,0)到ｔ对应的点Ｍ( x , y )的
例１:化直线 l1 的普通方程 x 3y 1 =0 为参数方程,并说明参数的几何意 义,说明∣ｔ∣的几何意义、
解:令 y=０,得 x =１,∴直线 l1 过定点(1,0)、
k=-
1 =－
3
3 3
直线的参数方程及其应用举例
设倾斜角为 ,tg =－ 3 , = 5 , coｓ =－ 3 , sｉn = 1