高三第二次诊断性测试数学试题(理科)(附答案)

鲁实中学级第二次诊断性测试数学试题（理科）（.1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 60 分）注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置。

2.第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一、选择题：（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） (1) 定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，{}4,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（ ）A.6B.8C. 12D.16(2) 某单位有老年人28人，中年人56人，青年人80人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为41的样本，则适合的抽取方法是（ ）A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数表法D.分层抽样法 (3) 已知直线a 和平面βαβαβαβα、在，、a a a l ,,,⊄⊄= 内的射影分别是b 、c ，则b 、c 的位置关系是（ ） ①相交 ②平行 ③异面A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①③(4) 过抛物线x y 42=的焦点作直线与其交于M 、N 两点，作平行四边形MONP ,则P 点的轨迹方程为（ ）A. )2(42-=x yB. )2(42+-=x yC. )2(42+=x yD. 12-=x y (5)ABC ∆的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是（ ） A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以b 为斜边的直角三角形 C 、等边三角形 D 、其它三角形(6) 记7722107)1()1()1()21(x a x a x a a x -++-+-+=+ ，则7210a a a a ++++ 的值为( )A .1-B .1C .73-D .73（7）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x >时，139)(--=x x f x ，则函数()f x 的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（8）6名志愿者随机进入2个不同的全运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有两名志愿者的概率为（ ） A .31 B .121 C .43 D .3225 （9）给出右面的程序框图，那么，输出的数是（ ） A .3 B . 5 C .7 D .9(10)定义“等比数列”}{n a ：),1(,11i q i a +=-=*,1N n q a a n n ∈⋅=+，则在复平面内2011a 所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 (11)已知{}n a 是递减等比数列，5,2312=+=a a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（ ）A .[)16,12B .[)16,8C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 (12)已知函数()f x 的定义域为(2,2)-，导函数为xx x f cos 2)(2'+=且(0)0f =，则满足0)()1(2>-++x x f x f 的实数x 的取值范围为( ) A ．(1,1)- B．(1,1- C．(1- D．(1第II 卷（非选择题 90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）已知1cos sin =βα，则=-)sin(βα ． （14）设函数dt t x f xx)1()(2-=⎰，则)('x f =__________.（15）平面上存在点(,)P x y 满足0)ln()ln(=++-y x y x ，那么|2|y x -的最小值是 ． （16）在xoy 坐标平面内，若关于y x 、的不等式0)12(22≥+--xy k xy y kx 表示三角形区域，则实参数k 的取值集合为________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （17）（本小题满分12分）设平面上向量)0(),2sin ,2(cos πααα<≤=,)23,21(=,a 与b 不共线， （Ⅰ）证明向量a b +与a b -垂直；3a b +与b 3-α． （18）（本小题满分12分）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球. （Ⅰ）若有放回地摸出4个球，求取出的红球数不小于黑球数的概率1P ； （Ⅱ）若无放回地摸出4个球，①求取出的红球数ξ的概率分布列和数学期望；②求取出的红球数不小于黑球数的概率2P ，并比较21P P 、的大小. (19) (本小题满分12分)如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，平面ABD 和平面C B A 11的交线为MN .（Ⅰ）试证明MN AB //；（Ⅱ）若直线AD 与侧面C C BB 11所成的角为︒45，试求二面角C BD A --的大小． (20)（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率36=e ，0l 为过点)0,2(-A 和上顶点2B 的直线，下顶点1B 与0l 的距离为554. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的动弦CD 交0l 于M , 若M 为线段CD 的中点，线段CD 的中垂线和x 轴交点为)0,(n N ，试求n 的范围. (21)（本小题满分12分）已知)(x f y =，4)21(=f ，对任意实数y x ,满足：3)()()(-+=+y f x f y x f（Ⅰ）当*N n ∈时求)(n f 的表达式（Ⅱ）若)()1(1,1*11N n n f b b b b n nn ∈-⋅+==+，求n b（III ）记)(*4N n b c n n ∈=，试证89201021<+++c c c . (2２)（本小题满分14分）已知定义在R 上的奇函数d cx bx x x f +++=23)(在1±=x 处取得极值. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）试证：对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有4|)()(|21≤-x f x f 成立；（Ⅲ）若过点)2||,(),,(<∈m R n m n m P 且、可作曲线)(x f y =的三条切线，试求点P 对应平面区域的面积.鲁实中学级第二次诊断性测试注意事项：1.必须用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要字体工整、笔迹清晰。

严格按题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

2.保持答卷清洁、完整。

严禁折叠，严禁在答卷上作任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸和修正带。

3.若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。

第Ⅱ卷（考生须用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写）19.鲁实中学高三级第二次诊断性测试数学试题答案（理科）（.1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 60 分）注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置。

2.第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一．选择题（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） 1．.B 2．.D 3．.B 4．.A 5．.D 6．.B 7．.C8．.D9．D10．.A11．.C12．.A第Ⅱ卷（共90分）注意事项：第Ⅱ卷共2页。

考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题目的指定答题区域内作答，填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

在试卷上作答无效。

二、填空题（共4 题，每题 4分，共 16 分） 13．114．13-x15．316． φ三、解答题（共 6 题，共74分） 17．（本小题满分12分）解：（1）12sin 2cos ||22=+=ααa ，1)23()21(||22=+=0||||)()(2222=-=-=-⋅+∴()()a b a b ∴+⊥-----------------------------------5分（2）由题意：22)(3)a b a b +=-得：0a b ⋅=02sin 232cos 21=+∴αα 得0)62sin(=+παZ k k ∈=+∴,62ππα-------------------------------------------10分又πα<≤0 ，所以125πα=或1211π. -----------------------------12分18. （本小题满分12分）解：（1）依题意，摸出的红球个数为0、1、2，则22243341)74()73()73(74C C P +=24011377=----------------------4分（2）①随机变量ξ的所有取值为3,2,1,0.,3518)2(,3512)1(,351)0(4723244713344744=========C C C P C C C P C C P ξξξ 354)3(473314===C C C P ξ---------------------------8分712354335182351213510=⨯+⨯+⨯+⨯=E ∴ξ-------------------------------------------10分 ②353235183542=+=P -----------------------------------------------------11分 易知12P P >.----------------------------------------------------------------------------------12分(19) (本小题满分12分) 证明：（Ⅰ）由题意11//B A AB ,又1111B CA B A 平面⊂，11B CA AB 平面⊄，11//B CA AB 平面∴ξ 0123P351 3512 3518 354又DAB AB 平面⊂，MN B CA DAB =⋂11平面平面，MN AB //∴------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）取BC 中点E ，连AE ,过E 作BD EF ⊥于F,连AF ．ABC ∆ 是正三角形，BC AE ⊥∴． 又底面⊥ABC 侧面C C BB 11，且交线为BCAE ∴⊥侧面C C BB 11又BD EF ⊥∴AF BD ⊥AFE ∠∴为二面角C BD A --的平面角．-----------------------------------------7分连ED ，则直线AD 与侧面C C BB 11所成的角为︒=∠45ADE ． 设正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为x ．则在AED Rt ∆中，41345tan 2x EDAE+==︒解得22=x ．∴此正三棱柱的侧棱长为22．--------------------------------------------------------9分在BEF Rt ∆中，EBF BE EF ∠=sin ，又1,sin 3CDBE EBF BD=∠===，3EF =．又3=AE∴在AEF Rt ∆中，3tan ==∠EFAE AFE ． -----------------------------------------11分故二面角C BD A --的大小为3arctan ． ---------------------------------------12分注：若考生采用向量方法，请酌情给分.(20)（本小题满分12分） 解：（I ）直线0l 的方程为,12=+-byx 即b y bx 22-=-，又),0(1b B -， 5544|4|2=+∴b b ，解得1=b ，又aa ac 1362-==，得12=a .① 所以，椭圆方程为2213x y +=．-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设),,(),,(),,(002211y x M y x D y x C 又题意直线CD 的斜率存在，设为k ，则 ① ②②-①得0)(312121212=--⋅+++x x y y y y x x 03y x k -=∴------------------------------------------------------------------------------7分 ∴线段CD 的中垂线方程为：)(3000x x x y y y -=- 令0=y ，则032x n =.-------------------------------------------------------------------9分 又联立0l 与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-132222y x y x ，有01272=+x x ， 得7120-=、x ， 即有07120<<-x ，----------------------------------------------------------------11分 ∴078<<-n ------------------------------------------------------------------------12分 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--==+=+=+=+121202102122222121221313x x y y k y y y xx x y x y x(21)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）令21==y x ，得53)21(2)2121()1(=-=+=f f f 故3)1()()1(-+=+f n f n f 2)(+=n f ，∴2)()1(=-+n f n f当*N n ∈时)]1()2([)1()(f f f n f -+=)]2()3([f f -+)]1()([--++n f n f=32)1(25+=-+n n ----------------------------------------------4分（Ⅱ）由 )()1(1*1N n n f b b b n n n ∈-⋅+=+得)1(111-+=+n f b b n n 121++=n b n∴12111+=-+n b b nn 故111b b n =)11(12b b -+)11(23b b -+)11(1--++n n b b ＝2)12(531n n =-++++∴*2,1N n nb n ∈=----------------------------------------------------------------------------8分（III ）由（Ⅱ）知n b c n n 14==，11=c∵)2,(),1(21221*≥∈--=-+<+=n N n n n n n n n n∴)20092010(2)23(2)12(21201021-++-+-+<+++ c c c891452120102=-⨯<-=-----------------------------------------12分(2２)（本小题满分14分）解：（I ）由题意0)0(=f ，∴0=d ,∴c bx x x f ++=23)(2',又0)1()1(''=-=f f ，即,023023⎩⎨⎧=+-=++c b c b解得3,0-==c b .∴x x x f 3)(3-=-----------------------------------------------------------------------------4分（II ）∵x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2'-+=-=x x x x f ,当11<<-x 时，0)('<x f ，故)(x f 在区间[－1，1]上为减函数， ∴2)1()(,2)1()(min max -===-=f x f f x f 对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值21,x x ，∴4)1()1(|)()(|21=--≤-f f x f x f ---------------------------------------------------9分（III ）设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足.30300x x y -=因)1(3)(200-='x x f ，故切线l 的方程为：))(1(30200x x x y y --=-，∵l n m P ∈),(，∴))(1(3)3(020030x m x x x n --=-- 整理得03322030=++-n m mx x .∵若过点),(n m P 可作曲线)(x f y =的三条切线， ∴关于0x 方程03322030=++-n m mx x 有三个实根. 设n m mx x x g ++-=332)(20300，则)(666)(000200'm x x mx x x g -=-=，由0)(0'=x g ，得00=x 或m x =0. 由对称性，先考虑0>m∵)(0x g 在)0,(-∞，),(+∞m 上单调递增，在),0(m 上单调递减. ∴函数n m mx x x g ++-=332)(20300的极值点为00=x ,或m x =0 ∴关于0x 方程03322030=++-n m mx x 有三个实根的充要条件是⎩⎨⎧<>0)(0)0(m g g ，解得m m n m 333-<<-. 故20<<m 时，点P 对应平面区域的面积4|41)3()3(2042323===---=⎰⎰m dm m dm m m m S 故2||<m 时，所求点P 对应平面区域的面积为S 2，即8. ------------------------14分。