高三第二次诊断性测试数学试题(理科)(附答案)

鲁实中学级第二次诊断性测试
数学试题（理科）（.1）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 60 分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置。

2.第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一、选择题：（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） (1) 定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，{}4,0=B ，则集合
B A ⊗的所有元素之和为（ ）
A.6
B.8
C. 12
D.16
(2) 某单位有老年人28人，中年人56人，青年人80人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为41的样本，则适合的抽取方法是（ ）
A.简单随机抽样法
B.抽签法
C.随机数表法
D.分层抽样法 (3) 已知直线a 和平面βαβαβαβα、在，、a a a l ,,,⊄
⊄= 内的射影分别是b 、c ，
则b 、c 的位置关系是（ ） ①相交 ②平行 ③异面
A. ①②
B. ①②③
C. ②③
D. ①③
(4) 过抛物线x y 42=的焦点作直线与其交于M 、N 两点，作平行四边形MONP ,则P 点的
轨迹方程为（ ）
A. )2(42-=x y
B. )2(42+-=x y
C. )2(42+=x y
D. 12-=x y (5)ABC ∆的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是（ ） A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以b 为斜边的直角三角形 C 、等边三角形 D 、其它三角形
(6) 记7
72
2107
)1()1()1()21(x a x a x a a x -++-+-+=+ ，则7210a a a a ++++ 的值为( )
A .1-
B .1
C .73-
D .73
（7）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x >时，139)(--=x x f x ，则函数()f x 的零点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（8）6名志愿者随机进入2个不同的全运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有两名志愿者的概率为（ ） A .
31 B .121 C .43 D .32
25 （9）给出右面的程序框图，那么，输出的数是（ ） A .3 B . 5 C .7 D .9
(10)定义“等比数列”}{n a ：
),1(,11i q i a +=-=*,1N n q a a n n ∈⋅=+，则在复平面内2011a 所对应的点在( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 (11)已知{}n a 是递减等比数列，5,2312=+=a a a ，则
()
*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（ ）
A .[)16,12
B .[)16,8
C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,
8 D .⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡332,316 (12)已知函数()f x 的定义域为(2,2)-，导函数为x
x x f cos 2)(2'+=且(0)0f =，则满足0)()1(2>-++x x f x f 的实数x 的取值范围为( ) A ．(1,1)- B
．(1,1- C
．(1- D
．(1
第II 卷（非选择题 90 分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）已知1cos sin =βα，则=-)sin(βα ． （14）设函数dt t x f x
x
)1()(2-=
⎰
，则)('x f =__________.
（15）平面上存在点(,)P x y 满足0)ln()ln(=++-y x y x ，那么|2|y x -的最小值是 ． （16）在xoy 坐标平面内，若关于y x 、的不等式0)12(22≥+--xy k xy y kx 表示三角形区域，则实参数k 的取值集合为________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （17）（本小题满分12分）
设平面上向量)0(),2sin ,2(cos πααα<≤=,)2
3
,
21
(=,a 与b 不共线， （Ⅰ）证明向量a b +与a b -垂直；
3a b +与b 3-α． （18）（本小题满分12分）
袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球. （Ⅰ）若有放回地摸出4个球，求取出的红球数不小于黑球数的概率1P ； （Ⅱ）若无放回地摸出4个球，
①求取出的红球数ξ的概率分布列和数学期望；
②求取出的红球数不小于黑球数的概率2P ，并比较21P P 、的大小. (19) (本小题满分12分)
如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，平面ABD 和平面C B A 11的交线为MN .
（Ⅰ）试证明MN AB //；
（Ⅱ）若直线AD 与侧面C C BB 11所成的角为︒45，试求二面角C BD A --的大小． (20)（本小题满分12分）
已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率36
=e ，0l 为过点)0,2(-A 和上顶点2
B 的直线，下顶点1B 与0l 的距离为5
5
4. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的动弦CD 交0l 于M , 若M 为线段CD 的中点，线段CD 的中垂线和x 轴交点为)0,(n N ，试求n 的范围. (21)（本小题满分12分）
已知)(x f y =，4)2
1(=f ，对任意实数y x ,满足：3)()()(-+=+y f x f y x f
（Ⅰ）当*N n ∈时求)(n f 的表达式
（Ⅱ）若)()
1(1,1*11N n n f b b b b n n
n ∈-⋅+==+，求n b
（III ）记)(*
4N n b c n n ∈=，试证89201021<+++c c c . (2２)（本小题满分14分）
已知定义在R 上的奇函数d cx bx x x f +++=23)(在1±=x 处取得极值. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有4|)()(|21≤-x f x f 成立；
（Ⅲ）若过点)2||,(),,(<∈m R n m n m P 且、可作曲线)(x f y =的三条切线，试求点P 对应平面区域的面积.
鲁实中学级第二次诊断性测试
注意事项：
1.必须用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要字体工整、笔迹清晰。

严格按题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

2.保持答卷清洁、完整。

严禁折叠，严禁在答卷上作任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸和
修正带。

3.若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。

第Ⅱ卷（考生须用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写）
19.
鲁实中学高三级第二次诊断性测试
数学试题答案（理科）（.1）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 60 分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置。

2.第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一．选择题（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） 1．.B 2．.D 3．.B 4．.A 5．.D 6．.B 7．.C
8．.D
9．D
10．.A
11．.C
12．.A
第Ⅱ卷（共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷共2页。

考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题目的指定答题区域内作答，填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

在试卷上作答无效。

二、填空题（共4 题，每题 4分，共 16 分） 13．1
14．13-x
15．3
16． φ
三、解答题（共 6 题，共74分） 17．（本小题满分12分）
解：（1）12sin 2cos ||22=+=
ααa ，1)2
3
()21(||22=+=
0||||)()(222
2
=-=-=-⋅+∴
()()a b a b ∴+⊥-
----------------------------------5分
（2）由题意：2
2
)(3)a b a b +=-
得：0a b ⋅=
02sin 2
32cos 21=+∴αα 得0)6
2sin(=+
π
α
Z k k ∈=+
∴,6
2ππ
α-------------------------------------------10分
又πα<≤0 ，所以125πα=或12
11π
. -----------------------------12分
18. （本小题满分12分）
解：（1）依题意，摸出的红球个数为0、1、2，则
2
2243341)74()73()73(74C C P +=2401
1377=----------------------4分
（2）①随机变量ξ的所有取值为3,2,1,0.
,3518)2(,3512)1(,351
)0(4
72324471334474
4=========C C C P C C C P C C P ξξξ 354
)3(4
7
3
314===C C C P ξ
---------------------------8分
712354335182351213510=⨯+⨯+⨯+⨯
=E ∴ξ-------------------------------------------10分 ②35
3235183542=+=P -----------------------------------------------------11分 易知12P P >.----------------------------------------------------------------------------------12分
(19) (本小题满分12分) 证明：（Ⅰ）由题意11//B A AB ,
又1111B CA B A 平面⊂，11B CA AB 平面⊄，
11//B CA AB 平面∴
ξ 0
1
2
3
P
35
1 35
12 35
18 35
4
又DAB AB 平面⊂，MN B CA DAB =⋂11平面平面，
MN AB //∴------------------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）取BC 中点E ，连AE ,过E 作BD EF ⊥于F,连AF ．
ABC ∆ 是正三角形，BC AE ⊥∴． 又底面⊥ABC 侧面C C BB 11，且交线为BC
AE ∴⊥侧面C C BB 11
又BD EF ⊥
∴AF BD ⊥
AFE ∠∴为二面角C BD A --的平面角．-----------------------------------------7分
连ED ，则直线AD 与侧面C C BB 11所成的角为︒=∠45ADE ． 设正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为x ．则在AED Rt ∆中，
4
1345tan 2
x ED
AE
+
==
︒解得22=x ．
∴此正三棱柱的侧棱长为22．--------------------------------------------------------9分
在BEF Rt ∆中，EBF BE EF ∠=sin ，又
1,sin 3
CD
BE EBF BD
=∠=
==
，
3EF =
．
又3=AE
∴在AEF Rt ∆中，3tan ==∠EF
AE AFE ． -----------------------------------------11分
故二面角C BD A --的大小为3arctan ． ---------------------------------------12分
注：若考生采用向量方法，请酌情给分.
(20)（本小题满分12分） 解：（I ）直线0l 的方程为
,12=+-b
y
x 即b y bx 22-=-，又),0(1b B -， 5
5
44|4|2
=
+∴
b b ，解得1=b ，
又a
a a
c 1
362-==，得12=a .① 所以，椭圆方程为2
213
x y +=．-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设),,(),,(),,(002211y x M y x D y x C 又题意直线CD 的斜率存在，设为k ，则 ① ②
②-①得
0)(31
21
21212=--⋅+++x x y y y y x x 0
3y x k -
=∴------------------------------------------------------------------------------7分 ∴线段CD 的中垂线方程为：)(300
0x x x y y y -=- 令0=y ，则03
2
x n =
.-------------------------------------------------------------------9分 又联立0l 与椭圆方程⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-13
222
2y x y x ，有01272=+x x ， 得7
120-=、
x ， 即有07
12
0<<-x ，----------------------------------------------------------------11分 ∴07
8
<<-
n ------------------------------------------------------------------------12分 ⎪
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧--==+=+=+=+12120210
21
22
2
22
121221313x x y y k y y y x
x x y x y x
(21)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）令21=
=y x ，得53)2
1
(2)2121()1(=-=+=f f f 故3)1()()1(-+=+f n f n f 2)(+=n f ，∴2)()1(=-+n f n f
当*N n ∈时)]1()2([)1()(f f f n f -+=)]2()3([f f -+)]1()([--++n f n f
=32)1(25+=-+n n ----------------------------------------------4分
（Ⅱ）由 )()1(1*1N n n f b b b n n n ∈-⋅+=
+得)1(111-+=+n f b b n n 121
++=n b n
∴
121
11
+=-
+n b b n
n 故
111b b n =)11(1
2b b -+)11(23b b -+)1
1(1--
++n n b b ＝2)12(531n n =-++++
∴*2,1
N n n
b n ∈=
----------------------------------------------------------------------------8分
（III ）由（Ⅱ）知n b c n n 14
==
，11=c
∵
)2,(),1(21
2
2
1
*≥∈--=-+<
+=
n N n n n n n n n n
∴)20092010(2)23(2)12(21201021-++-+-+<+++ c c c
891452120102=-⨯<-=-----------------------------------------12分
(2２)（本小题满分14分）
解：（I ）由题意0)0(=f ，∴0=d ,
∴c bx x x f ++=23)(2',又0)1()1(''=-=f f ，
即,0
230
23⎩⎨
⎧=+-=++c b c b
解得3,0-==c b .
∴x x x f 3)(3-=-----------------------------------------------------------------------------4分
（II ）∵x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2'-+=-=x x x x f ,
当11<<-x 时，0)('<x f ，故)(x f 在区间[－1，1]上为减函数， ∴2)1()(,2)1()(min max -===-=f x f f x f 对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值21,x x ，
∴4)1()1(|)()(|21=--≤-f f x f x f ---------------------------------------------------9
分
（III ）设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足.303
00x x y -=
因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线l 的方程为：
))(1(302
00x x x y y --=-，
∵l n m P ∈),(，∴))(1(3)3(02
0030x m x x x n --=-- 整理得03322
03
0=++-n m mx x .
∵若过点),(n m P 可作曲线)(x f y =的三条切线， ∴关于0x 方程03322
03
0=++-n m mx x 有三个实根. 设n m mx x x g ++-=332)(2
03
00，则
)(666)(000200'm x x mx x x g -=-=，
由0)(0'
=x g ，得00=x 或m x =0. 由对称性，先考虑0>m
∵)(0x g 在)0,(-∞，),(+∞m 上单调递增，在),0(m 上单调递减. ∴函数n m mx x x g ++-=332)(2
03
00的极值点为00=x ,或m x =0 ∴关于0x 方程03322
03
0=++-n m mx x 有三个实根的充要条件是
⎩⎨
⎧<>0
)(0
)0(m g g ，解得m m n m 333-<<-. 故20<<m 时，点P 对应平面区域的面积
4|4
1)3()3(2
042
32
3
==
=---=⎰⎰m dm m dm m m m S 故2||<m 时，所求点P 对应平面区域的面积为S 2，即8. ------------------------14
分。