有限元 第五章.等参数单元

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3. 两类坐标系的关系
以上坐标变换式给出了局部坐标和整体坐标之间的一一 对应关系。如果给定了局部坐标, , 的值，则可以求出整体 坐标 x, y, z 的对应值，反之亦然。
从图形变换的角度看， , , 和 x, y, z 可以分别看成是母单 元和子单元这两个不同单元的坐标系，它们都是直角坐标系。 而从另一角度看， , , 和 x, y, z 又可以看成是同一单元（子单 元）的两种不同的坐标系。 x, y, z 是子单元的直角坐标系，而 , , 可看成是子单元的曲线坐标系。可以看出 x, y, z始终扮演 同一角色，即子单元的直角坐标；而 , , 则扮演两种角色， 它既是母单元的直角坐标，又是子单元的曲线坐标。 在有限元分析中，两者的作用是不同的。直角坐标系在 x, y, z整个结构的所有子单元中共同采用，所以称为整体坐标。
描述位移和描述坐标都采用相同形函数 ，所以这种单元称为等 参数单元。
1. 平面坐标变换 在整体坐标系中，子单元内任一点的坐标用形函数表示如下
x N i , xi N1 , x1 N 2 , x2
y N i , yi N1 , y1 N 2 , y2
分别为两个、三个和四个。除四个交点外，其他结点位于各
边的二分点或三分点上。
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1) 线性单元（4结点）

4
3
N1 N3
1 1 1 1
4 4
N2 N4
1 1 1 1
4 4
1
o

2
(a) 线 性 单 元
2 三维母单元

10
12
4 3
11
(b) 二 次 单 元
图5-3
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2) 二次单元（20结点） 角点： 典型边中点：
i 0, i 1, i 1;
1 N i 1 2 1 0 1 0 4
Ni
1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 2 8
根据形函数的两条性质：
显然在四个节点处，上式所示的关系无疑是成立的现在 要证明在四条边上，这关系也是正确的。以1—2边为例， 在此边上局部坐标 ＝-1，代入，得
或改写成：
同样可得：
等号左边 (x,y)是整体坐标，等号右边 ( )是局部坐标，因此上式被称为坐标 , 变换式 。
通常称局部坐标的正方形单元为母单元或基本单元，称整体 坐标的任意四边形单元为子单元或实际单元。
1 3
(8-13)
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第二节
等参数元的概念
在平面问题的有限元中，最简单的单元是三节点的三角形单 元，由于这种单元中的应变及应力是常数，而通常计算对象 的应力场又往往随坐标而急剧变化，所以在应用常应变的三 角形单元时，必须划分大量的微小单元，才能得到较好的计 算精度，因而用三节点三角形单元算题时，往往节点数最多， 原始输入数据庞大。四节点的矩形单元能够比三角形单元更 好的反映实际应力变化，但它不能适府曲线边界和非直角的 直线边界，也不便随意改变大小。所以上述的两种单元都有 其不足之处。
上式可写成矩阵形式
x J y
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其中：[J]称为雅可比（Jacobi）矩阵
x J x
y y
1 9
2
1
图5-1 一维母单元
2. 二维母单元 二维母单元是平面中的2×2正方形
1 1 1 1
如图5-2所示，坐标原点在单位形心上。单元边界是四
条直线： 1 ， 1。为保证用形函数定义的未知量在相
邻单元之间的连续性，单元结点数目应与形函数阶次相适应 。因此，对于线性、二次和三次形函数，单元每边的结点数
图5-2 以上形函数也可以合并表示为
Ni
0
二维母单元
1 1
0
其中
4
（i=1, 2, 3, 4）
0 i
0 i

2) 二次单元（8结点）
角点：
Ni 1 1 0 1 0 0 0 1 4
8
4
7
3 6
o

1
（i=1, 2, 3, 4） 边中点：
如果有任意四边形单元，如图(a)所示就可以克服矩形单元 之不足，但是这种单元的位移模式如何能否满足前面所述的 条体则是本节要解决的问题。
在图（a)中的任意四边形单元上，作连接对边中点的直线，称 之为 及 ，取其交点为原点，并令四边上的坐标值分别为 1，就得出一新坐标系，称之为单元的局部坐标系。
9
19 12 11
=1
4 3
6
18 2
20
4 11
2
=1
10
z
0
x
=-1
（a）母单元 图5-6
（b）子单元 空间坐标变换
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2. 空间坐标变换
空间坐标变换公式如下
y N i , , y i N1 , , y1 N 2 , , y 2 x N i , , x i N1 , , x1 N 2 , , x 2
连续性分析：
二、形函数 在前面几章经过推倒将位移模式表示成：
形函数应满足下列两个条件：
1. 形函数 N i xi , yi ) 1 （ Ni x j , y j ) 0 （ ji 2. 在单元任一点上三个形 函数和为1 Ni N j N k 1
掌握了形函数的上述特点，就可以直接写出其表达式，而不必再由位移分量的 多项式方程推导出来，在下面分析等参数单元时，将直接用形函数表述。
第五章 等参数单元
第一节 位移模式和形函数
第二节 等参元的概念 第Hale Waihona Puke Baidu节 平面等参元 第三节 空间等参元
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第一节
位移模式和形函数
一、位移模式 在前面几章中已阐明位移模式就是：单元内任意 一点的位移，被表述为其坐标的函数。在平面问题 的单元中，任一点的位移分量可用下列多项式表示：
为了使有限元的解能够收敛于精确解，任何单 元的位移模式都必须满足以下三个条件： （1）位移模式中必须包括反应刚体位移的常数 项。 （2）位移模式中必须包括反应常应变的线性位 移项。 （3）位移模式必须能保证单元之间位移的连续 性。
(8-12)
3) 三次单元（32结点） 角点： 典型边中点：
1 Ni 1 0 1 0 1 0 9 2 2 2 19 64


i , i 1, i 1;
Ni 9 1 2 1 90 1 0 1 0 64
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而曲线坐标系 , , 则只适用于单个独立的子单元，所以称 为局部坐标。整体坐标在整体分析中采用，局部坐标则在单 元分析中采用。 现在讨论两类坐标系中有关偏导数的关系，以二维坐标 为例：根据复合函数的求导法则，有
x y x y x y x y
(8-14)
其中， N是用局部坐标表示的形函数，(x,y)是结点i 的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。
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图5-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单 元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是 因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。
y

3 1 2
1 -1
N1

1 , N
2
2
1 2 , N3
1
2
1 -1 2 0 (b) 二 次 单 元 3 1

3） 三次单元（4结点）
N1
1 9
16
2
1
N2
91 2 1 3 N3 16
16 91 1 N4 16
式（8-17）表示的是由和推导，的变换式，其逆变换式为
x 1 J y
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其中，[J]-1是[J]的逆阵
y 1 x J
1 N i 1 2 1 0 2 1 N i 1 2 1 0 2
2 5 (b) 二 次 单 元
（i = 5, 6）
(8-9)
（i = 7, 8）
3) 三次单元（12结点） 角点：
1 Ni 1 0 1 0 9 2 2 10 32
母单元 首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，我们称之为母单元。
1. 一维母单元 采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下： 1） 线性单元（2结点）
1 N1 2 1 N2 2
1 -1 0 (a) 线 性 单 元

2 1

2） 二次单元（3结点）
2
0
3 1

0
(b) 二 次 单 元
x
(a) 线 性 单 元
图5-4 一维单元的平面坐标变换
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图5-5表示了二维单元的平面坐标变换。母单元是正方形， 子单元则分别变换成任意四边形和曲边四边形。而且相邻子单 元在公共边上的整体坐标是连续的。以二次单元为例，两个相 邻单公共边界上都是二次曲线（抛物线），而在三个公共结点 上具有相同的坐标。因此，整个公共边界都有相同的坐标，即 相邻单元是连续的。


（i=1, 2, 3, 4） 边三分点：
Ni 9 1 0 1 2 1 90 32
（i = 5, 6, 7, 8） (8-10)
Ni 9 1 0 1 2 1 90 32
（i = 9, 10, 11, 12）
3. 三维母单元 三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体

y
3
6
4
7
1 3
7
8
o
5 2

0
4

8 1 5

6
1
2
1
1
1
（a）母单元
（b）子单元
x
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图5-5 二维单元的平面坐标变换
=1 5
13
16
8
15
y
5 13 16 15 17 14 7 9 1 12 19 10 3 8
6 =-1
18 17
14
=-1 7 20
1
1 1 1 1 1 1
如图5-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。 单元结点在角点及各边的等分点上。 1) 线性单元（8结点） 5 8
13
5
16
15 14
8

6
1
7 4
6
17 18 9
7 20
19
1
2
3
(a) 线 性 单 元
z N i , , z i N1 , , z1 N 2 , , z 2
其中：N是用局部坐标表示的形函数，(x,y,z)为结点i的整体坐 标。 经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线；原来 的平面将变成空间曲面；而原来的空间正六面体则将变成曲面 六面体，如图5-6所示。同样可证明相邻子单元在整体坐标下 是连续的 。

将局部坐标系改画成直角坐标系，则图 (a)中的任意四边形单元 就变成图 (b)所示的正方形单元。
这正方形单元的位移模式是：
而其中形函数为：
由图（b）可知
• 假如图 (a)中的任意四边形单元能用上式的位移 模式及形函数进行计算，则前面所提的位移连续 性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何 将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正 方形单元的局部坐标( , )。
J 1
y x
x J x
y x y x y y