刘徽割圆术.
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（一）刘徽简介
（二）“割圆术”的含义 （三）刘徽割圆术的主要内容和根据 （四）刘徽“割圆术”的意义
（一）刘徽简介
刘徽（约公元225年—295年），汉族， 山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古 典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一 个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张 直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方 式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学 刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高 尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的 伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形 算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边 形，正二十四边形，……以至于正九十六 边形每边的长，并且求出正一百九十二边 形的面积。 这相当于求得 π=3.14 1024。他在实际计算中，采用了 π=157/50=3.14 ， 不仅这样，刘徽还继续求到圆内 接正 三千零七十二边形的面积，验证了前面的 结果，并且得出更精确的圆周率值 π=3927/1250=3.1416
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了 坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重 要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是 很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形 面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家 阿基米德（前287—前212）用圆内接和外切正 多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到 事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题， 刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想， 这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵 的。
（一）祖冲之简介
祖冲之（公元４２９——５００年） 字文远，范阳郡遒县（今河北省保定市涞 水县）人，是我国南北朝时代一位成绩卓 著的科学家。他不仅在天文、数学等方面 有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等 方面也有许多发明创造。他的发明为促进 社会生产的发展，建立了不可磨灭的功绩， 受到了中国人民和世界人民的尊敬。
在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4 寸，方3寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也 能帮助他了。 父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来， 可大圆里的边形却越画越多，3072边、6144边……边数越多，边 长越短。父子俩蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也 不敢走神。 最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的 周长是3.1415926。 俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里 的图形，高兴地笑了。 后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过3.1415927。 所以，他得出结论，圆周率是在3.1415926和3.1415927这两个数 之间。 祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人， 比欧洲人早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角 形面积，而OADB的面 积再加上这样两个直角 三角形的面积，就有一 部分超出圆周了。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V· 奥托和荷兰人A· 安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是“祖 率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却说 不出来。
祖率（密率）是圆周率十分精确的近似值，且又很好 记，只要将113355一分为二，便是它的分母和分子了。 张景中院士在《数学家的眼光》一书中指出：它与π精 确值的误差不超过0.000000267。在数学家看来，好 的近似分数，既要精确，分母最好又不太大。现今数 学上己不难证明，在所有分母不超过16500的分数中， 密率355/113是当之无愧的冠军。
（二）“割圆术”的含义
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形 的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的 方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学 史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑 才创造出来的一种崭新的方法。
（三）刘徽“割圆术”的主要 内容和根据
第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。
第二，作正十二边形，从勾股定理出 发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。 早在一千四百多年以前，我国古代著 名的数学家祖冲之，就精密地计算出 圆的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上算 得最精确的数值----圆周率。
（三）圆周率的发展
―圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个 固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三”的 说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它的 周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。 东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国到西 晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3. 14159的 圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这 里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术” （在圆内做正6边形，6边形的周长刚好是直径的3 倍，然后再做12边形、24边形……边数越多，它的 周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。
（二）“割圆术”的含义 （三）刘徽割圆术的主要内容和根据 （四）刘徽“割圆术”的意义
（一）刘徽简介
刘徽（约公元225年—295年），汉族， 山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古 典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一 个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张 直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方 式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学 刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高 尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的 伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形 算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边 形，正二十四边形，……以至于正九十六 边形每边的长，并且求出正一百九十二边 形的面积。 这相当于求得 π=3.14 1024。他在实际计算中，采用了 π=157/50=3.14 ， 不仅这样，刘徽还继续求到圆内 接正 三千零七十二边形的面积，验证了前面的 结果，并且得出更精确的圆周率值 π=3927/1250=3.1416
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了 坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重 要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是 很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形 面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家 阿基米德（前287—前212）用圆内接和外切正 多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到 事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题， 刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想， 这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵 的。
（一）祖冲之简介
祖冲之（公元４２９——５００年） 字文远，范阳郡遒县（今河北省保定市涞 水县）人，是我国南北朝时代一位成绩卓 著的科学家。他不仅在天文、数学等方面 有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等 方面也有许多发明创造。他的发明为促进 社会生产的发展，建立了不可磨灭的功绩， 受到了中国人民和世界人民的尊敬。
在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4 寸，方3寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也 能帮助他了。 父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来， 可大圆里的边形却越画越多，3072边、6144边……边数越多，边 长越短。父子俩蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也 不敢走神。 最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的 周长是3.1415926。 俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里 的图形，高兴地笑了。 后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过3.1415927。 所以，他得出结论，圆周率是在3.1415926和3.1415927这两个数 之间。 祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人， 比欧洲人早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角 形面积，而OADB的面 积再加上这样两个直角 三角形的面积，就有一 部分超出圆周了。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V· 奥托和荷兰人A· 安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是“祖 率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却说 不出来。
祖率（密率）是圆周率十分精确的近似值，且又很好 记，只要将113355一分为二，便是它的分母和分子了。 张景中院士在《数学家的眼光》一书中指出：它与π精 确值的误差不超过0.000000267。在数学家看来，好 的近似分数，既要精确，分母最好又不太大。现今数 学上己不难证明，在所有分母不超过16500的分数中， 密率355/113是当之无愧的冠军。
（二）“割圆术”的含义
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形 的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的 方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学 史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑 才创造出来的一种崭新的方法。
（三）刘徽“割圆术”的主要 内容和根据
第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。
第二，作正十二边形，从勾股定理出 发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。 早在一千四百多年以前，我国古代著 名的数学家祖冲之，就精密地计算出 圆的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上算 得最精确的数值----圆周率。
（三）圆周率的发展
―圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个 固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三”的 说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它的 周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。 东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国到西 晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3. 14159的 圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这 里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术” （在圆内做正6边形，6边形的周长刚好是直径的3 倍，然后再做12边形、24边形……边数越多，它的 周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。