第3节 初等多值函数
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初等多值函数知识点总结
初等多值函数知识点总结1. 多值函数的定义多值函数是指其自变量的不同取值对应了多个因变量的函数。
也就是说，对于同一个自变量的值，可能存在多个因变量的值与之对应。
多值函数的定义如下：设有函数 $f: X\rightarrow Y$，若对于 $x \in X$，通过 $f(x)$ 可以确定 $Y$ 中不止一个元素，即$f(x)$ 对应多个 $y \in Y$，则称 $f(x)$ 为多值函数。
2. 多值函数的表示多值函数的表示方法有很多种，其常见的表示方法包括集合表示、图像表示和数学表达式表示。
a) 集合表示：通过集合的方式来表示多值函数，通常表示为 $f(x) = \{ y_1, y_2, \ldots, y_n \}$，其中 $y_1, y_2, \ldots, y_n$ 是 $f(x)$ 对应的多个因变量的值。
b) 图像表示：通过绘制多值函数的图像来表示，但由于多值函数的复杂性，其图像可能不是一个简单的曲线或者曲面，通常需要使用多种色彩或者虚线来表示不同的取值情况。
c) 数学表达式表示：通过数学表达式或者符号来表示多值函数的关系，这种表示方式通常需要特殊的符号或者标记来表示多个因变量。
3. 多值函数的性质多值函数与单值函数相比，具有一些特殊的性质，主要体现在定义域、值域和解的情况上。
a) 定义域和值域：多值函数的定义域和值域通常比较复杂。
因为多值函数的自变量可以对应多个因变量的值，所以其定义域和值域可能是多个集合的并集或者交集。
b) 解的情况：多值函数的解通常会有多个解或者无解的情况。
因为对于同一个自变量的值，可能对应多个因变量的值，所以在求解多值函数的方程或者不等式时，需要考虑多个解的情况。
4. 多值函数的运算多值函数与单值函数一样，也可以进行加减乘除等基本运算，并且可以进行复合函数、反函数等复杂的运算。
但是由于多值函数的复杂性，其运算可能会涉及到多个因变量的组合，因此需要特别注意多值函数运算时的特殊性。
2.3初等函数
arg z1增加2， 辐角arg z1变为arg z1＋2 .
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的
数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数
1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
初等解析函数和多值函数.ppt
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
第2.1节_解析的概念与C-R方程
故ux , vx , 在点( x, y)处存在;且 f '( z) ux ivx
u v 存在 当x 0, y 0时, f '( z ) lim ( )， y 0 iy y
故uy , vy , 在点( x, y)处存在;且 f '( z) v iu y y
2、u( x, y)和v( x, y)在点( x, y)满足柯西-黎曼方程.
上述条件满足时, f ( z )在点z x yi的导数可以表为 下列形式之一
f '( z )
u x
i
v x
u x
i
u y
v y
i
v x
v y
i
u y
(2.7)
F(z)可导→结论1）2）成立
z0
y 0
x
当点沿平行于实轴的方 向(y 0)而使z 0时,
y f f ( z z ) f ( z ) lim 0, lim lim x 0 x i y z 0 z z 0 z y 0
当点沿平行于虚轴的方 向(x 0)而使z 0时,
(ax by 1x 2 y ) i (bx ay 2 x 1y )
于是 u ax by 1x 2y,
v bx ay 2x 1y .
因为 lim (z ) 0, 所以 lim 1 lim 2 0,
2.微分
若w f ( z)在z0可导, 则 w f '( z0 )z o(| z |) (z 0)
称f '( z0 )z为函数w=f ( z)在z0处的微分，记为
dw f '( z0 )z=f '( z0 )dz
第3节 初等多值函数
w Lnz ln | z | i arg z 2ki ln z 2ki,
1.定义2.8 规定根式函数w
n
z为幂函数z wn的
反函数(n是大于1的整数)
对每一个不为0或的z, 在w平面上函数w n z有n个值 注
w z e
1 n
arg z 2 k i n
1 n
, k 0,1, n 1
arg z i n
2. 函数w f 0 ( z ) z e
euiv rei
u 所以有： ln r, v 2k (k 0,1,2,)
容易看到，u是单值的，而由于幅角函数的 多值性知道，v 是多值的；因为 是z的幅角，
从而v 2k Argz,
故w Lnz ln|z| iArgz, z 0
2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函 数Lnz的主值lnz为：
{w |
z=w
n
n
arg w } {z | arg z } n n
z wn
v0i
z=wn
v0
{w | w u iv, v } {z | arg z }
z ew
二 根式函数
2 k 即凡不包含满足条件1 2 的角形区域,都 n n 是z w 的单叶性区域.
n
z wn的单叶性区域为
2 {w | arg w , 0 }, n {w | 2k
或
即顶点在原点, 张度不超过 z wn的单叶区域
arg w 2k }; n n 2
d 1 dz z 事实上,指数函数z ew在区域{ v arg z } 内
2.3初等多值函数
arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0
第3节：初等函数
第二章 解析函数
第3节 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
一、指数函数
f ( z) e x (cos y i sin y) 在复平面上处处解析，而且 f ( z) f ( z)
且当 y=0时, f (z)=ex与实指数函数一致, 故 1、定义
e iy e iy cos y , 2
e iy e iy sin y . 2i
e iz e iz e iz e iz cos z ; sin z ; 2 2i 正弦函数 余弦函数
iz e Eular公式的复数形式： cos z i sin z
2、三角函数的性质
(3) (shz ) chz , (chz ) shz ,
(4) shiy i sin y , chiy cos y , ch(x iy ) chx cos y ishx sin y , sh(x iy ) shx cos y i chx sin y ,
[书P52]
e
b (ln a iArg a )
e
b (ln a 2 k i )
当k=0时, 取到主值:
e
blna
e
b (ln a i arg a )
当a为正实数，b为实数时，其主值与实乘幂的定义一 致。
a e
b
bLna
e
b (ln a 2 k i )
e
b[ln a i (arg a 2 k )]
(4) sin z sin z, cos z cos z,
(5) sin z , cos z 不是有界函数. sin z =0 z k ( k 0, 1, 2,
第3节 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
一、指数函数
f ( z) e x (cos y i sin y) 在复平面上处处解析，而且 f ( z) f ( z)
且当 y=0时, f (z)=ex与实指数函数一致, 故 1、定义
e iy e iy cos y , 2
e iy e iy sin y . 2i
e iz e iz e iz e iz cos z ; sin z ; 2 2i 正弦函数 余弦函数
iz e Eular公式的复数形式： cos z i sin z
2、三角函数的性质
(3) (shz ) chz , (chz ) shz ,
(4) shiy i sin y , chiy cos y , ch(x iy ) chx cos y ishx sin y , sh(x iy ) shx cos y i chx sin y ,
[书P52]
e
b (ln a iArg a )
e
b (ln a 2 k i )
当k=0时, 取到主值:
e
blna
e
b (ln a i arg a )
当a为正实数，b为实数时，其主值与实乘幂的定义一 致。
a e
b
bLna
e
b (ln a 2 k i )
e
b[ln a i (arg a 2 k )]
(4) sin z sin z, cos z cos z,
(5) sin z , cos z 不是有界函数. sin z =0 z k ( k 0, 1, 2,
复变函数第二章第三节1
得区域 G ，则在此区域内 w = Argz 可分出无穷多个单值 连续分支函数，求满足条件 arg1 = 0 的那个单值连续分支 f ( z ) = arg z 在点 z = −1和 z = −4处的值．
z −1 例2 设 f1 ( z ) = z ( z − 1)( z − 2) ，f 2 ( z ) = ， z−2
z−a Δ C arg = Δ C arg( z − a ) − Δ C arg( z − b) z −b
n III 设 C 为一条简单曲线，为正整数，则
Δ C arg n z = 1 Δ C arg z n
例1 在复平面 ^上作割线
K = {z z + 1 = 1, Im z ≥ 0} ∪ (−3, −2) ∪ {z z + 4 = 1, Im z ≤ 0} ∪ (−∞, −5)
设 w = f ( z ) 是定义在区域 D 内的一个多值函数的分支函数， z0 为复平面（或扩充复平面）上的一点，如果在 z0 的一个 充分小的邻域内，存在一条仅围绕 z0 的简单闭曲线 C ， 使得当动点从 C 上某一点 z1 出发，沿 C 的正向或负向连续 w = f ( z )的值会发生改变，即 变化一周又回到 ( z ) 是辐角函数单值化后得到的单值函数，f ( z ) 要满 足
z → z0
lim ( f ( z ) − f ( z0 )) = 0
lim Δf ( z ) = 0
即
z → z0
Δf ( z ) 表示的是 z0变化成 z 的过程中辐角的改变量.
( w) k = arg z + 2kπ
其中 k 为任意确定的整数.
分支函数 第 k 分支函数
一般的区域内如何将辐角函数 w = Argz 单值化 设 G 为复平面 ^上的一个区域，若 G 是不包含原点的单连通 区域，此时无须对 G 作任何处理，已经是单值函数； 否则可用连接 0 和 ∞ 的连线作为支割线将 G割破，则在 割破的区域内, w = Argz 就可以单值化）. 注意： 1 辐角函数的支割线有无穷多条，任何一条从原点出发 无限延伸的曲线都可以作为支割线． 2 支割线的两侧，习惯上也称为两沿（或两岸），按照 位置关系支割线的两沿分别称为上沿和下沿(或者左岸和 右岸)．可以补充辐角函数的各单值分支函数在上，下沿处 的函数值就可使各单值分支函数延拓成直到支割线两沿 的连续函数．
复变函数2.3第三节 初等多值函数
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]
2ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2, )
2
2
01
2
arg(i 2) arctan1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( arctan1 )
10e 2 4
2
4
i arctan1
10e 2 3 .
例2：
例2、验证函数
w 4 z(1 z)3 ,
在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z a
的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连
续曲线作为 内，可以把
wK1割线z a，分得解一成个解区析域分D支1。。在
D1
幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面
的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的
圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。
a
幂函数的映射性质:
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
wn z
的n个分支
i 1 2 k
w n z(n 1 e n ) (k 0,1,2,...,n 1)
分别把区域D*双射成w平面的n个角形
复变函数 课件2-3
故对于每一个固定的 k , 下式确定一个单值函数, w = Lnz = ln z + 2kπ i ( k ∈ ) 称为 Ln z 的一 个 分支. 特别的, 当 z = x > 0 时, Lnz 的主值 ln z = ln x ,
是实变数对数函数.
© Copyright ＬＹNＵ 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
(3) e Lnz 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
2.计算公式及多值性说明： 计算公式及多值性说明： 计算公式及多值性说明
令 z = e , w = u + iv,
临沂师范学院数学系 iθ
w =Lnz ⇔ e w =z ⇔ e u+ iv = re iθ
例1 求 Ln 2, Ln ( − 1) 以及与它们相应的主值 .
临沂师范学院数学系
解
因为 Ln 2 = ln 2 + 2kπi , π
所以 Ln2 的主值就是 ln2. 因为 Ln( −1) = ln 1 + iArg( −1)
= ( 2k + 1)πi ( k为整数 ) 所以 Ln( −1) 的主值就是 πi . 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 数函数是实变数对数函数的拓广
′ = 1 , (Lnz )′ = 1 . (ln z ) z z
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性质(3) 设 z = x + iy , 当 x < 0 时, 证 性质 临沂师范学院数学系 lim− arg z = − π, lim+ arg z = π,
复变函数课件2.3(3)
i [Argz3Arg(1-z )]
e4
,
可能的支点为0、1与无穷，具体分析见下图
arg z增加2，arg(1 z)不
变，所以arg w增加 / 2， 01
arg(1 z)增加2，arg z不
01
变，所以arg w增加3 / 2，
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arg z增加2，arg(1 z)也增加2，所以arg w 增加(2 3 2 ) / 4 2 ,回到同一个分支。
i [arg z arg (z 1)arg (z 2)] k i
e2
(k 0,1)
中取k=0那支.
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如右图，
i
01 2
arg i ,arg(i 1) 3
2
4
arg(i 2) arctan 1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( 9 arctan 1 )
10e 2 4
2
4
i
1
1 2
(2)
(3)
3
2
2
w(z)
4
10e
i arctan 1
2
3
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我们求函数下述的解析分支
w z(z 1)(z 2), (w(1) 6i)
在z=i的值。在z = -1处，取
arg z arg(z 1) arg(z 2) ,
在w的两个解析分支为：
w
|
z(z 1)(z 2) |1/ 2
根式函数的支点: 原点(有限)和无穷远点 切割平面
如果一个多值复函数有多个有限支点, 情况如何?
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考虑对象
w n P(z) n A(z a1 )b1 ...(z am )bm a1,..., am不同，且b1 ... bm N
§3初等多值函数解读
§3 初等多值函数一、教学目标或要求：掌握 基本的初等多值函数的定义、性质； 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质； 重点：基本的初等多值函数的定义、性质； 难点：支点的概念 三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 21-26（习题课检查）§3 初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。
(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a为函数)F的支点．(z(3)根式函数n zw 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。
为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。
在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。
假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。
因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。
初等多值函数
|z1|
i1
)
相应地连续变动到
e e m(ln n
z1
2
n
)
m n
ln
z1
也即第一次回到了它从
z1
出发时的值。这时，我 m
们称原点和无穷远点是 w z n 的n-1阶支点，
也称n-1为阶代数支点。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
2 e e e 1i
(1i ) Ln2
(1i)[ln 2i(arg 22k )]
(1i)[ln 22ki)]
e e ln 22kii ln 22k
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂函数是无穷
多值函数；事实上，当是无理数时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
ln zi 2k
当 a bi(b 0)时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
5、当是有理数时，即
p q
(
p与q为互素
的整数，q 0）：
z e e e p q
p q
Lnz
qp[ln|z|i(arg z2k )]Leabharlann p qlnz
1 q
i
2
pk
由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，1，2， ,q 1时，得到q个不同的值，即这
时幂函数是一个q值的函数；
复变函数论第三版2.3
的整数，q > 0）：
p q p Lnz q
z =e =e =e 由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，2， , q − 1时，得到q个不同的值，即这 1， ⋯ 时幂函数是一个q值的函数；
p [ln| z|+ i (arg z + 2 kπ )] q
p ln z + 1 i 2 pkπ q q
n
1 n
时，有 1 1 1 1 ln z 2 kπi (ln| z |+ i arg z ) 2 kπi n n n n n w= z =e e =e e
= n | z |e
1 i (arg z + 2 kπ ) n
(−π < arg z ≤ π , k ∈ Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
=e
2Ln2
(1+i ) Ln2
(1+i )[ln 2+i (arg 2+ 2 kπ )]
(1+i )[ln 2+ 2 kπi )]
2
2
=e
2 [ln 2+i (arg 2+ 2 kπ )]
=e
2 ln 2+ 2 2kπi
=2 e
2
2 2kπi
(k = 0,±1,±2,⋯)
7、幂函数在C \ {Im z = 0, Re z ≤ 0}上解析，
(2)根式函数 w = n z的单值解析分支：
从原点O到点∞引一条射线，将z平面割破，得到 一个以此割线为边界的区域G.在G内指定一点z0 , 并指定z0的一个辐角值，则G内任意一点z的辐角， 都可以从z 都可以从z0的辐角连续变化而得到 .
复变函数初等多值函数
复数具有加法、减法、乘法和进行加法、减法、乘法和除法等运算。加法和减法运算与实数类似，对应于向量的加法和减法。乘法运 算时，两个复数的乘积的实部和虚部分别等于两个复数的实部和虚部乘积的和与差。除法运算时，可以用乘以共 轭复数的方法来化简分母。
系的横轴和纵轴。
复数的几何解释
总结词
复数可以用平面上的点或向量来表示，其实部和虚部分别对应于横轴和纵轴上 的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示，其实部和虚部分别对应于平面直角坐标系中的横 轴和纵轴。当我们在平面上画出复数对应的点或向量时，实部是点的横坐标， 虚部是点的纵坐标。
复数的运算性质
总结词
03 初等多值函数
幂函数
总结词
复数幂函数具有多值性，其定义域和值域都 是复数域。
详细描述
复数幂函数的形式为 (z^{a} = |z|^{a} cos(a arg(z) + arg(z^a)))，其中 (z = |z| exp(i
arg(z))) 是复数 (z) 的极坐标形式，(a) 是实 数或复数。当 (a) 是非整数时，幂函数具有多 值性，即对于不同的角度 (arg(z))，函数值不
解析性
要点一
总结词
解析性是指复变函数在某点及其邻域内可微的性质。
要点二
详细描述
解析性是复变函数的重要性质之一，它决定了函数在某点 附近的局部行为。如果一个复变函数在某点处可微，那么 在该点处函数具有极限存在且极限值等于函数值，并且函 数的导数存在。解析性对于研究函数的性质和展开式具有 重要意义。
可微性
在信号处理中，多值函数用于描述信号的频谱、 滤波等处理过程，提高信号的质量和特征提取。
在经济中的应用
金融衍生品定价
系的横轴和纵轴。
复数的几何解释
总结词
复数可以用平面上的点或向量来表示，其实部和虚部分别对应于横轴和纵轴上 的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示，其实部和虚部分别对应于平面直角坐标系中的横 轴和纵轴。当我们在平面上画出复数对应的点或向量时，实部是点的横坐标， 虚部是点的纵坐标。
复数的运算性质
总结词
03 初等多值函数
幂函数
总结词
复数幂函数具有多值性，其定义域和值域都 是复数域。
详细描述
复数幂函数的形式为 (z^{a} = |z|^{a} cos(a arg(z) + arg(z^a)))，其中 (z = |z| exp(i
arg(z))) 是复数 (z) 的极坐标形式，(a) 是实 数或复数。当 (a) 是非整数时，幂函数具有多 值性，即对于不同的角度 (arg(z))，函数值不
解析性
要点一
总结词
解析性是指复变函数在某点及其邻域内可微的性质。
要点二
详细描述
解析性是复变函数的重要性质之一，它决定了函数在某点 附近的局部行为。如果一个复变函数在某点处可微，那么 在该点处函数具有极限存在且极限值等于函数值，并且函 数的导数存在。解析性对于研究函数的性质和展开式具有 重要意义。
可微性
在信号处理中，多值函数用于描述信号的频谱、 滤波等处理过程，提高信号的质量和特征提取。
在经济中的应用
金融衍生品定价
第二章第三节：初等多值解析函数
arg a 2k arg a 2k | a | cos i sin n n
n
a,
其中k 0,1, 2, , ( n 1). 所以, 如果a z为一复变数, 就得到一般的幂 1 函数w z ;当b n与 时, 就分别得到通常的 n
b
幂函数w z n , 及w z
1 n
n
z.
3、幂函数的解析性 zn在复平面内是单值解析函数, (zn)'=nzn-1.
由于 Argz 为多值函数, 所以对数函数 w f ( z )也是多值函 数, 并且每两值相差 2πi的整数倍. 如果将 Lnz ln z iArgz 中 Argz 取主值arg z , 那末 Lnz 为一单值函数， 记为 ln z， 称为 Lnz 的主值.
w Lnz e z e re u e r , v 2k (k Z ) u ln r (实对数), v 2k (k Z ) Argz w Lnz ln r i( 2k ) (k Z ) 即Lnz ln | z | iArgz ln | z | i(arg z 2k ) (k Z )
5. w Lnz的支点和支割线
简单曲线可作为其支割线.
ห้องสมุดไป่ตู้
w Lnz 以 z 0与z 为支点，连接 0与 的任一（广义）
例1 设 w Lnz 定义在沿负实轴割破的平面上，且
w(1) 3 i（是下岸相应点的函数值）求 w(i)的值.
解：
wk (Lnz)k ln z i(arg z 2k ) ( arg z )
原点及负实轴的平面内的某一单值分支.
4. 分出w=Lnz的单值解析分支
初等多值函数
i
7 2
e
i
11 2
得到了多个值. 原因
3 1 w0 e i, 2 2 Z的幅角可相差 2k 倍，要对 arg z 进行必要限制.
arg z w0 2 . 通常 或者 或0e arg z i
i( 3 ) 2
i( ) 6
2
辐角 arg z不确定；限制幅角的范围.
也常采用割 破复平面的 说法!
为什么割破复平 面是限制幅角的 等价说法呢?
为什么割破复平 面是限制幅角的 生动形象地说法 ?
割破复平面
生动形象
限制幅角
小节与思考
原因：k的不确 定；辐角的不 确定 办法：取定k； 割破复平面(限制 幅角)
多值函数
对于不同的割破方式，第k支 f k (z) 的值会一样吗?
教 学 重 点 难 点
教学重点
多值的原因；分出单值分支的办法；支点，支
割线，将函数延拓到支割线岸上的概念。
教学难点
初等多值解析函数多值产生的原因，分出根 式函数的单值解析分支。
说 教 法 学 法
采用讲授法,运用多媒体与板书相结 合的教学手段，结合大量例子，启发引 导学生归纳总结 ,培养学生的自主学习 的习惯。
初等多值函数—— 根式函数
数学与统计学院
说 课
教材的地位作用 教学目标 教学的重点、难点 说教法学法
教材的地位和作用
1 2 3
4
两复杂性：
体现了 客观世界及 数学科学的 复杂性.
逻辑基础:
奠定了
本教材的逻 辑基础.
繁琐难点:
教科书 上都讲的过 于繁琐,同时 也是学生学 习的难点.
学习基础:
第3节：初等函数解析
是无穷多值的.
2
例4. 求1 2 , ii和 i 3 的值及其主值.
解 1 2 e 2Ln1 e 2(ln12k i ) e2 2k i
主值为：1
(k 0,1,2, ).
i i eiLni ei(lni2k i )
ei
2
i 2 k
i
e
2
2
k
(k
0,1,2,
).
主值为：e
解析，且 (L n z) 1 z
例3. 设ez 2i，求z.
三、乘幂与幂函数
1. 乘幂定义 设a,b为复数, 且 a 0, 定义乘幂 多值
a e e e b
bLna
b[ln a i (arga2k )]
b(ln a iArg a )
eb(lna2k i )
当k=0时, 取到主值:
e e blna
eu r z , v 2k Arg z,
u ln r ln z , v 2k Arg z,
w Ln z ln z iArg z.
由于Arg z 是多值的，所以对于每个非零 z，复对 数 Ln z 也是多值的。
若Arg z 取主值 arg z ，则取到 Ln z 的某一单值函 数，记作 ln z ，称为Ln z 的主值：
p q
时,
其中p,q
为互质整数,
且q>0, 则 ab 有q个值：
p[ln a i (arg a2k )]
ab eq
(k 0,1,2, ,q 1);
e
p q
ln
a
[cos(
p
arg
a
p 2k ) i sin(
p arg a
p 2k )]
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的曲线,称为支割线.
w n z的支割线为从原点出发的射线
注1 多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值, 且在支割线不连续.
注2 取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一 支为主值支.
w n z的主值支为: 1 arg z i w f0 (z) z n e n , arg z .
因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多 值性引起的，所以我们先研究辐角函数：
w Argz (z C \{0,}), w=Argz函数有无穷个不同的值：
w Argz arg z 2k (k Z), z 0,
其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的 任意一个确定的值记为argz )
3 2
2k
)
(k 0, 1, 2, )。
3.对数函数的运算性质
Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2
Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
和幅角的加法一样上面的等式应该理解为 集合相等，并且下面的等式将不再成立：
Lnz2 2Lnz,
Ln n
z
1 n
Lnz
而应是：Lnz2 2ln | z | i2arg z 2ki,
Ln n
z
1 n
ln
|
z
|
i
1 n
argz
2ki
4.对数函数的支点及支割线
函数w Lnz的支点为0及,
w Lnz的支割线为从原点出发的射线.
注:沿正实轴割破的z平面,也可分出w Lnz的无穷 多个单值解析分支
w Lnz ln | z | i(a rg z 2k )
数Lnz的主值lnz为：
w lnz ln | z | i arg z,
则这时，有
w Lnz ln | z | i arg z 2ki
ln z 2ki, k Z
例3 计算Ln(1), Ln(2 3i)的值。
解 因为| 1| 1， arg(1) ，
因z wn在Tk上单叶解析,故w fk (z)在G上也解析,且
f
' k
(
z
)
1 (wn
)'
1 nwn1
w nwn
1 nz fk (z).
k 1, 2, , n 1
结论 w n z在割破负实轴的z平面G上能分n个
单值解析分支
w (n
z )k
fk (z)
1
zn
fk' (z)
1 (ew )'
1 ew
1 z
结论: w Lnz在割破负实轴的z平面G上能分出无穷
多个单值解析分支
w fk (z) ln | z | i(argz 2k ), z G, k 0, 1, 2,
fk (z)的定义域为G,值域为Bk ,在G内单值解析.
2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函
注1 单值不一定单叶
例:f (z) z2在全平面是单值,但非单叶.
注2 区域D到区域E的单叶满变换就是D到E的1-1变换.
若w f (z)为D到E的单叶满变换,则z f 1(w)为E到D的 单叶满变换,即w f (z)与z f 1(w)为双方单值的1-1变换.
2. z wn与z ew的单叶性区域
3
ww 2 (z)T2
{w |
arg w
5 }
3
三 对数函数
1.复对数的定义 定义2.10 我们规定对数函数是指数函数的反函数，即若
ew z(z 0, ) 则复数w称为复数z对数，记为w Lnz。
注、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函 数是周期为2i 的周期函数，所以对数函数必然是 多值函数.
2.w n z的单值性区域
因w n z为z wn的反函数,而z wn的单叶区域为
Tk
{w |
2k 1
n
arg w
2k 1}
n
wznwzn
G {z | (2k 1) arg z (2k 1)}
其值域为:G C \{负实轴} {z | arg z }
或 {w | w u iv,(2k 1) v (2k 1)};
即平行于实轴,宽度不超过2的带形区域都是
z ew的单叶区域
3. z wn与z ew的变换性质
{w| 0 arg w }zwn{z | 0 arg z n}
n
z=wn
euiv rei 所以有： u ln r,v 2k (k 0,1,2,)
容易看到，u是单值的，而由于幅角函数的
多值性知道，v 是多值的；因为是z的幅角， 从而v 2k Argz,
故w Lnz ln|z| iArgz, z 0
因z ew在Bk上单叶解析,故w fk (z)在G上也解析,且
2.w Lnz的单值性区域
因w Lnz为z ew的反函数,而z ew的单叶区域为
Bk {w | (2k 1) Im w (2k 1)}
Z平面除去原点及负 实轴的区域.
z weL wnz G {z | (2k 1) arg z (2k 1)}
所以有 Ln(1) ln1 i( 2k ) (2k 1)i (k 0, 1, 2, )。
因为| 2 3i |
13，
arg(2
3i)
arctan
3 2
所以有
Ln(2 3i) ln
13
i(
arctan
3 2
2k
)
1 2
ln13
i(arctan
w fk (z) z 3 e 3 , k 0,1, 2; z G
4.w n z的支点及支割线
定义 如果当z沿z0的充分小邻域内任一闭曲线绕一圈时, 多值函数从一支变到另一支,则z0称为该多值函数的一个 支点.
函数w n z的支点为0及
定义 用来割破Z平面,借以分出多值函数单值解析分支
上沿 下沿
arg z |上沿 arg z |下沿
沿负实轴的割线：
一 单叶区域
1.定义2.8 设函数w f (z)在区域D内有定义,且对D内 任意不同的两点z1, z2都有f (z1) f (z2 ),则称函数f (z) 在D内是单叶的,并称区域D为f (z)的单叶性区域
例1写出w 3 z在G内所有单值解析分支
解
1 arg z i
w f0(z) z 3 e 3
w
f1(z)
z
e e 1 arg z2 i
3
3
2 i 3
f0 (z)
w
f2(z)
z e e 1 arg z4 i
3
3
4 i 3
f0 (z)
1 arg z2k i
0 argz 2 , k 0, 1, 2,
5.对数函数的几何性态：
对数函数的单值解析分支w ln z把z 平面
的C \{Re z 0,Im z 0}映照w 平面的带域
从而w n z的单值性区域为
Z平面除去原点及 负实轴的区域.
G {z | arg z }
且z wn在G上存在反函数w fk (z)
1 arg z2k i
fk : G Tk , fk (z) z n e n , k 0,1, 2, , n 1; z G
arg z2k i
en
1 arg z i 2k i
2k i
z n e n e n f0 (z)e n , k 0,1
, n 1; z G
fk (z)的定义域为G,值域为Tk ,在G内单值解析.
在G内随意指定一点z0 , 并指定z0的一辐角值, 则在G内任意的点z皆可根据z0的辐角, 依连续变 化而惟一确定z的辐角.
即eu1eiv1 eu2 eiv2 ,
则u1 u2;v1 v2 2k , k Z 即w1 w2 2k i, k Z
即凡不包含满足条件w1 w2 2ki的带形区域,都
是z ew的单叶性区域.
z ew的单叶性区域为
{w | v1 Im w v2 , v2 v1 2},
第三节 初等多值函数
Department of Mathematics
根式函数w n z , 对每一个不为0或的z,
在w平面上有n个值
1 arg z2k i
1 Arg z i
w z n e n z n e n , k 0,1 , n 1
w n z多值的原因: z定后, Argz不定,相差2k
1 3z
w2
(z)
w2' (i)
1 3(i)
w2 (i)
1 3i
4
2i
e3
1
7i
e6
3i
G
{z
|
arg
z
}
ww 0 (z)T0 w w1( z ) T1
{w | arg w }
3
3
{w | arg w }
{w | arg w } zwn{z | arg z }
n
n
v
y
z
n u z=wn
0
w n z的支割线为从原点出发的射线
注1 多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值, 且在支割线不连续.
注2 取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一 支为主值支.
w n z的主值支为: 1 arg z i w f0 (z) z n e n , arg z .
因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多 值性引起的，所以我们先研究辐角函数：
w Argz (z C \{0,}), w=Argz函数有无穷个不同的值：
w Argz arg z 2k (k Z), z 0,
其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的 任意一个确定的值记为argz )
3 2
2k
)
(k 0, 1, 2, )。
3.对数函数的运算性质
Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2
Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
和幅角的加法一样上面的等式应该理解为 集合相等，并且下面的等式将不再成立：
Lnz2 2Lnz,
Ln n
z
1 n
Lnz
而应是：Lnz2 2ln | z | i2arg z 2ki,
Ln n
z
1 n
ln
|
z
|
i
1 n
argz
2ki
4.对数函数的支点及支割线
函数w Lnz的支点为0及,
w Lnz的支割线为从原点出发的射线.
注:沿正实轴割破的z平面,也可分出w Lnz的无穷 多个单值解析分支
w Lnz ln | z | i(a rg z 2k )
数Lnz的主值lnz为：
w lnz ln | z | i arg z,
则这时，有
w Lnz ln | z | i arg z 2ki
ln z 2ki, k Z
例3 计算Ln(1), Ln(2 3i)的值。
解 因为| 1| 1， arg(1) ，
因z wn在Tk上单叶解析,故w fk (z)在G上也解析,且
f
' k
(
z
)
1 (wn
)'
1 nwn1
w nwn
1 nz fk (z).
k 1, 2, , n 1
结论 w n z在割破负实轴的z平面G上能分n个
单值解析分支
w (n
z )k
fk (z)
1
zn
fk' (z)
1 (ew )'
1 ew
1 z
结论: w Lnz在割破负实轴的z平面G上能分出无穷
多个单值解析分支
w fk (z) ln | z | i(argz 2k ), z G, k 0, 1, 2,
fk (z)的定义域为G,值域为Bk ,在G内单值解析.
2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函
注1 单值不一定单叶
例:f (z) z2在全平面是单值,但非单叶.
注2 区域D到区域E的单叶满变换就是D到E的1-1变换.
若w f (z)为D到E的单叶满变换,则z f 1(w)为E到D的 单叶满变换,即w f (z)与z f 1(w)为双方单值的1-1变换.
2. z wn与z ew的单叶性区域
3
ww 2 (z)T2
{w |
arg w
5 }
3
三 对数函数
1.复对数的定义 定义2.10 我们规定对数函数是指数函数的反函数，即若
ew z(z 0, ) 则复数w称为复数z对数，记为w Lnz。
注、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函 数是周期为2i 的周期函数，所以对数函数必然是 多值函数.
2.w n z的单值性区域
因w n z为z wn的反函数,而z wn的单叶区域为
Tk
{w |
2k 1
n
arg w
2k 1}
n
wznwzn
G {z | (2k 1) arg z (2k 1)}
其值域为:G C \{负实轴} {z | arg z }
或 {w | w u iv,(2k 1) v (2k 1)};
即平行于实轴,宽度不超过2的带形区域都是
z ew的单叶区域
3. z wn与z ew的变换性质
{w| 0 arg w }zwn{z | 0 arg z n}
n
z=wn
euiv rei 所以有： u ln r,v 2k (k 0,1,2,)
容易看到，u是单值的，而由于幅角函数的
多值性知道，v 是多值的；因为是z的幅角， 从而v 2k Argz,
故w Lnz ln|z| iArgz, z 0
因z ew在Bk上单叶解析,故w fk (z)在G上也解析,且
2.w Lnz的单值性区域
因w Lnz为z ew的反函数,而z ew的单叶区域为
Bk {w | (2k 1) Im w (2k 1)}
Z平面除去原点及负 实轴的区域.
z weL wnz G {z | (2k 1) arg z (2k 1)}
所以有 Ln(1) ln1 i( 2k ) (2k 1)i (k 0, 1, 2, )。
因为| 2 3i |
13，
arg(2
3i)
arctan
3 2
所以有
Ln(2 3i) ln
13
i(
arctan
3 2
2k
)
1 2
ln13
i(arctan
w fk (z) z 3 e 3 , k 0,1, 2; z G
4.w n z的支点及支割线
定义 如果当z沿z0的充分小邻域内任一闭曲线绕一圈时, 多值函数从一支变到另一支,则z0称为该多值函数的一个 支点.
函数w n z的支点为0及
定义 用来割破Z平面,借以分出多值函数单值解析分支
上沿 下沿
arg z |上沿 arg z |下沿
沿负实轴的割线：
一 单叶区域
1.定义2.8 设函数w f (z)在区域D内有定义,且对D内 任意不同的两点z1, z2都有f (z1) f (z2 ),则称函数f (z) 在D内是单叶的,并称区域D为f (z)的单叶性区域
例1写出w 3 z在G内所有单值解析分支
解
1 arg z i
w f0(z) z 3 e 3
w
f1(z)
z
e e 1 arg z2 i
3
3
2 i 3
f0 (z)
w
f2(z)
z e e 1 arg z4 i
3
3
4 i 3
f0 (z)
1 arg z2k i
0 argz 2 , k 0, 1, 2,
5.对数函数的几何性态：
对数函数的单值解析分支w ln z把z 平面
的C \{Re z 0,Im z 0}映照w 平面的带域
从而w n z的单值性区域为
Z平面除去原点及 负实轴的区域.
G {z | arg z }
且z wn在G上存在反函数w fk (z)
1 arg z2k i
fk : G Tk , fk (z) z n e n , k 0,1, 2, , n 1; z G
arg z2k i
en
1 arg z i 2k i
2k i
z n e n e n f0 (z)e n , k 0,1
, n 1; z G
fk (z)的定义域为G,值域为Tk ,在G内单值解析.
在G内随意指定一点z0 , 并指定z0的一辐角值, 则在G内任意的点z皆可根据z0的辐角, 依连续变 化而惟一确定z的辐角.
即eu1eiv1 eu2 eiv2 ,
则u1 u2;v1 v2 2k , k Z 即w1 w2 2k i, k Z
即凡不包含满足条件w1 w2 2ki的带形区域,都
是z ew的单叶性区域.
z ew的单叶性区域为
{w | v1 Im w v2 , v2 v1 2},
第三节 初等多值函数
Department of Mathematics
根式函数w n z , 对每一个不为0或的z,
在w平面上有n个值
1 arg z2k i
1 Arg z i
w z n e n z n e n , k 0,1 , n 1
w n z多值的原因: z定后, Argz不定,相差2k
1 3z
w2
(z)
w2' (i)
1 3(i)
w2 (i)
1 3i
4
2i
e3
1
7i
e6
3i
G
{z
|
arg
z
}
ww 0 (z)T0 w w1( z ) T1
{w | arg w }
3
3
{w | arg w }
{w | arg w } zwn{z | arg z }
n
n
v
y
z
n u z=wn
0