湘教版九年级下册数学第4讲二次根式中考知识点梳理

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中考数学热点总复习(第4讲：二次根式)含解析

第4讲二次根式二次根式的有关概念二次根式一般地，形如a(①________)的式子叫做二次根式.最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).二次根式的性质两个重要的性质 (a)2＝a(a ②________)．a 2＝|a|＝{③ （a ≥0），④ （a ＜0）.积的算术平方根 ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0). 商的算术平方根a b ＝ab(a ≥0，b>0). 二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤____________，然后合并被开方数⑥________的二次根式.二次根式的乘法 a ·b ＝⑦________(a ≥0，b ≥0) 二次根式的除法 a b＝⑧________(a ≥0，b ＞0)二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨________，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).绝对值：|a|；偶次幂：a 2n；非负数的算术平方根：a (a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：(1)非负数形式有最小值为零；(2)几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．(·绵阳)要使代数式2－3x 有意义，则x 的() A ．最大值是23 B ．最小值是23C ．最大值是32D ．最小值是321．(·宜昌)下列式子没有意义的是()A.－3B.0C. 2D.（－1）22．(·株洲)x取下列各数中的哪个数时，二次根式x－3有意义() A．－2 B．0 C．2 D．43．(·内江)函数y＝2－x＋1x－1中自变量x的取值范围是() A．x≤2 B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1 D．x≠14．(·乐山)函数y＝x－2的自变量x的取值范围是________．(·广元)计算：27－12－3－12.【解答】对于二次根式的混合运算，其运算顺序同实数的运算顺序，即是先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的乘法运算中，若能使用整式乘法公式则尽量使用公式可使计算简便．运算结果一定要是最简二次根式．1．(·安徽)计算8×2的结果是()A.10 B．4 C. 6 D．22．(·凉山)下列根式中，不能与3合并的是()A.13B.13C.23D.123．(·眉山)计算：22－18＝________．4．(·滨州)计算(2＋3)(2－3)的结果为________．(·资阳)已知：(a＋6)2＋b2－2b－3＝0，则2b2－4b－a的值为________．【思路点拨】首先根据非负数的性质可求出a的值和b2－2b＝3，进而可求出2b2－4b－a的值．本题主要考查非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.1．(·攀枝花)已知实数x，y，m满足x＋2＋|3x＋y＋m|＝0，且y为负数，则m的取值范围是() A．m＞6 B．m＜6 C．m＞－6 D．m＜－62．(·巴中)若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足a2－9＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是________．3．(·巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．1．(·重庆A 卷)化简12的结果是()A ．4 3B ．2 3C ．3 2D ．2 6 2．(·重庆B 卷)计算32－2的值是()A ．2B ．3 C. 2 D ．2 23．(·金华)在式子1x －2、1x －3、x －2、x －3中，x 可以取2和3的是()A.1x －2B.1x －3C.x －2D.x －34．(·宁夏)下列计算正确的是()A.3＋2＝ 5B.12÷3＝2C ．(5)－1＝ 5D ．(3－1)2＝25．(·济宁)如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b，②ab·ba＝1，③ab ÷ab＝－b ，其中正确的是()A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．(·南京)计算5×153的结果是________． 7．(原创)若最简二次根式2a －b ＋4与3a ＋24a ＋3b 是同类二次根式，则a ＝________，b ＝________．8．(·临沂)计算：(3＋2－1)(3－2＋1)．9．已知a 、b 、c 满足||a －18＋b －7＋(c －32)2＝0.(1)求a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？如果能构成三角形，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．10．(·随州)若代数式1x－1＋x有意义，则实数x的取值范围是() A．x≠1 B．x≥0C．x≠0 D．x≥0且x≠111．(·孝感)已知x＝2－3，则代数式(7＋43)x2＋(2＋3)x＋3的值是() A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 312．(原创)对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝ 5.那么8※4＝________．13．观察下面的变形规律：12＋1＝2－1，13＋2＝3－2，14＋3＝4－3，15＋4＝5－4，…解答下面的问题：(1)若n为正整数，请你猜想1n＋1＋n＝________；(2)计算(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…12 015＋ 2 014)×( 2 016＋1)．参考答案考点解读考点1①a≥0②≥0③a④－a考点2⑤最简二次根式⑥相同⑦ab ⑧ab⑨乘除各个击破例1 A题组训练 1.A 2.D 3.B 4.x≥2例2原式＝33－2＋3（2－3）（2＋3）－23＝33－(2＋3)－23＝33－2－3－23＝－2.题组训练 1.B 2.C 3.－ 2 4.－1例312题组训练 1.A 2.1＜c＜5 3.5整合集训基础过关1．B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.5 7.0 18.原式＝[3＋(2－1)][3－(2－1)]＝(3)2－(2－1)2＝3－(2－22＋1)＝2 2.9.(1)由非负数的性质求得：a＝32，b＝7，c＝4 2.(2)因为a＋c＝32＋42＝72，所以a＋c>b，因为c－a＝42－32＝ 2.所以c－a<b.所以以a、b、c为边能构成三角形．三角形的周长为72＋7.能力提升10．D 11.C 12. 313.(1)n＋1－n(2)原式＝[(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 016－ 2 015)]( 2 016＋1) ＝( 2 016－1)( 2 016＋1)＝( 2 016)2－12＝2 016－1＝2 015.。

九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法知识精讲

初三数学二次根式的概念、二次根式的乘除法【本讲主要内容】二次根式的概念、二次根式的乘除法 1. 二次根式的概念 2. 二次根式的性质 3. 二次根式的乘法 4. 二次根式的除法【知识掌握】【知识点精析】一. 二次根式的概念：1. 定义：式子a a ()≥0叫做二次根式．注意：（1）根式定义中的a ≥0是定义的一个重要组成部分，不可省略；因为负数没有平方根，所以当a <0时，a 没有意义．如-2不是二次根式，()-22是二次根式，当a ≤0时，-a 是二次根式．（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式． 2. 最简二次根式（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．（2）化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简． ②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或质因式）的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上． “三化”即化去被开方数的分母．二. 二次根式的性质：1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的X 围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的X 围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．三. 二次根式的乘法ab a b a b =⋅≥≥()00，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．注意：（1）a b ≥≥00，是公式成立的必要重要条件．如()()-⨯-≠-⋅-4949 （2）公式中的a b ,可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．四. 二次根式的除法1.a baba b =≥>(,)00 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 2. 分母有理化（1）把分母中的根号化去，叫做分母有理化．（2）分母有理化的依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．（3）有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式．常用的互为有理化因式有如下几种类型： ①a a 与；②a b a b +-与； ③a b a b +-与； ④a b c d a b c d +-与．（4）分母有理化时分母要先化简．【解题方法指导】例1. x 为何值时下列式子有意义？（1）21x + （2）-+15x （3）x x+-13 分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数．解：（1）根据二次根式定义，得21012x x +≥∴≥-（2）根据二次根式定义，得-+≥∴+<∴<-1505005x x x ()分母不能为（3）根据二次根式定义，得x x+-≥130 ∴+≥->⎧⎨⎩x x 1030或x x +≤-<⎧⎨⎩1030∴≥-<⎧⎨⎩x x 13或x x ≤->⎧⎨⎩13（空集）∴-≤<13x例2. 计算：（1）()62；（2）()352；（3）()82-a 解：（1）()662=（2）()()35359545222=⨯=⨯= （3）()882-=-a a点评：此例体现了公式()a a 2=的应用．对于（3）题()82-a ，其运算是先开平方、再乘二次方，所以题目本身已隐含了80-≥a ．例3. 计算：（1）44176⨯；（2）-⨯⨯-4259169() （3）23483415⨯；（4）162436a a ⨯；（1）解法一：原式=⨯⨯=⨯=⋅=⨯=44444442442442882222 解法二：原式=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=11411161142114288222（2）解：原式=⨯⨯=⨯⨯425916925313222() =⋅⋅=253131303222()点评：运算时，（1）被开方数的积不要计算成一个结果，应是化简成幂的积的形式，以便于开方、化简；（2）被开方数的负因子要计算成正因子，才能用公式．（3）23483415⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=2334481512163351243565 （4）162436163246a a a a ⨯=⨯⋅=⨯⨯=⨯⨯=12646126262a a a ．例4. 化简．（1）19681；（2）27424c a b ；（3）385a ；（4）12a b a b ->()解法一：（1）原式==19681149（2）原式==⨯=27493232324222c a bc ab ab c ()解法二：（1）原式==()1491492 （2）原式=⋅=()323323222ab c ab c（3）原式=⋅⋅=a a a a 42321646注意：化去分母时，被开方数的分子、分母只要同乘2即可，若同乘8就太繁了．（4）原式=⨯--=--43232()()()a b a b a b a b 点评：化去被开方数的分母时，不能忘掉分子中开得尽方的因数的化简．例5. 把x yx y --分母有理化．解法一：原式=---=---=-()()()x y x y x y x y x yx yx y 2解法二：原式=--=-()x y x yx y 2（x y -中隐含条件x y ->0，故x y x y -=-()2）同样，55555101010101022====()()，例6. 化简：1235133552735773+++++++++()()()()分析：联想分式中逆用分式加、减法，得到分子为1而分母也很简单的式子．解：原式=+++++++++++()()()()()()()()1335133557735773=+++++++=-+-+-+-=11313515717312315375371() 点评：如果要直接化为同分母或先有理化分母，都太繁琐，但是，注意到数学中的公式总是双向的，如果根据题目的结构特点，灵活地逆用公式，在解题时便能左右逢源，得心应手．建议只能从左到右地运用公式而不习惯逆用（即由右到左）或变用公式的同学，对这几个题目多加分析，以求从熟悉、模仿到主动在解题中运用逆向思维的方法．例7. （2001年某某省中考题）填空题：化简a a b a a ab-+的结果是________．分析：因为分母是含字母的根式，可能使a ab -=0，所以不可将分子、分母同乘以分母的有理化因子．但是，如果注意到分子、分母可以分解为乘积的形式，也许可以解决问题．解：由所给算式知a b >≥00， ∴原式=-+=+-+=-a a b a a b a a b a b a a b a b ()()()()()【考点突破】【考点指要】二次根式的概念及其运算在中考说明中是C 级知识点，它们常与整式、分式、综合在一起，以选择题、填空题、计算题等题型出现在中考题中，大约占有4—8分左右．解决这类问题需熟练掌握二次根式的概念和运算法则．【典型例题分析】例1. 选择题：（1）（2006年某某省中考题）函数y x =-1中，自变量的取值X 围是（） A. x ≥1 B. x >1 C. x >0 D. x ≠1 （2）（2003年某某市中考题）选择题：如果()x x -=-222，那么x 的取值X 围是（）A. x ≤2B. x <0C. x ≥2D. x >2（3）选择题：若a a a a 2211-=-，则a 的取值X 围是（） A. a a >≠01且 B. a ≤0 C. a a ≠≠01且D. a <0（4）（1996年某某省中考题）选择题：若ab ≠0，则等式--=-a b b ab 531成立的条件是（）A. a b >>00，B. a b ><00，C. a b <>00，D. a b <<00，分析：正确运用二次根式性质的前提是被开方数的非负性（在分母上则不能为零）．解：（1）要使x -1有意义，x -≥10，∴≥x 1 答案：选A ．（2）等式()x x -=-222成立的条件是x -≥20，即x ≥2 故选C ．（3）由a a aa 2211-=-，得 ||()a a a a 111-=- 即-⋅-=-||a a a a 1111于是，-=||a a1∴<a 0．故选D ．（4）等式--=-a b bab 531变形为--=-1133||b ab b ab ，这个等式成立的条件是 ->=-⎧⎨⎩ab b b 0||即ab b <<⎧⎨⎩0 ∴><a b 00且故选B ．点评：正确运用二次根式性质的前提是掌握公式中被开方式中字母的取值X 围，而且这个X 围必须使每个二次根式都有意义，因本例的问题是找使公式能成立的条件，所以是逆向求字母的取值X 围，这种方法常归结为求不等式组的解的问题．★最简根式例2. 选择题：（1）（2004年某某市中考题）下列二次根式中，最简二次根式是（）A.12B. 8C. y 3D. a 21+ （2）（2002年某某市中考题）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. 4aB. a 4C. a4D. a 4（3）下列根式中，最简二次根式是（）A. 23aB. aa3 C. a b b a D. a a b 423+（4）（2001年某某省中考题）下列二次根式：2xy ，8，ab2，35xy ，x y +，12，其中最简二次根式共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：紧扣最简二次根式的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．解：（1）因为12中含有分母，822232=⋅=⋅和y y y 的被开方数中含开得尽方的因数或因式，它们都不是最简二次根式，只有a 21+满足最简二次根式的条件，故选D ．（2）选C ．（3）选B ．（4）只有2xy x y 和+是最简二次根式，故选A ．点评：判断一个二次根式是不是最简二次根式，必须抓住由“两条”刻画的“最简”含义，先看被开方数的因数是不是整数，因式是不是整式，再看被开方数是不是含有能开得尽方的因数或因式，如果“两条”都满足的就是最简二次根式，否则就不是最简二次根式．★对错难辨例3. （2001年某某市中考题）阅读下面的文字后，回答问题．小明和小芳解答题目“先化简下式，再求值：a a a +-+122，其中a =9”时，得到了不同的答案．小明的解答是：原式=+-=+-=a a a a ()()1112；小芳的解答是：原式=+-=+-=-=⨯-=a a a a a ()()1121291172；（1）__________的解答是错误的．（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________．答案：（1）小明（2）a a 2=||点评：本例中，小明的错误是同学最容易出现的错误，如a a a a 22=-=-，()，42=±，等等．纠正办法是：①明确“a ”表示算术平方根；②明确算术平方根的非负性，即a a ≥≥00()，也就是说a 只能是正数或0，而不可能是负数；③在化简a 2时，应利用公式a a 2=||过渡，稍作停留，冷静下来，看清算术根的实质，再去掉绝对值符号（需分类讨论时再分类写出答案），即可确保万无一失．★隐含条件例4. （1）（2002年市顺义区中考题）把二次根式a a-1化简，正确的结果是（） A. -aB. --aC. -aD. a（2）（2001年某某省中考题）化简二次根式a a a -+12的结果是（） A. --a 1B. ---a 1C. a -1D. --a 1分析：紧紧抓住：对于a ，只有当a ≥0时，a 才表示a 的算术平方根．解：（1）显然a ≠0，由->10a，得a <0 ∴-=-=⋅-=⋅-=--=--a a a a a a a aa a a a a a a 122||故选B ．点评：①因为二次根式a 隐含条件“a ≥0”，所以本题隐含了一个条件->10a②a a a a ||()()=>-<⎧⎨⎩1010（2）显然a ≠0．由a a aa 2201010>-+≥-+≥，，得() ∴≤-∴=-+=⋅-+=⋅-+a aa a a a a a a a 111122原式()()()|| =---=---aa a a 11 故选B ．点评：在化简二次根式a 2的问题中，要把根式的性质a a 2=||与绝对值||a 的概念结合起来，形成一条“等式链”：a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||(),()在具体解题时，强调在这个“等式链”的中间一环——||a 处“暂停”，以便由||a 再考虑a 的符号，以保证最后结果为非负数． ★对错难辨例5. （1）（2002年某某省中考题）选择题：化简132+．甲、乙两位同学的解法如下：甲：13232323232+=-+-=-()()乙：132323232323232+=-+=+-+=-()()对于甲、乙两位同学的解法，正确的判断是（）A. 甲、乙的解法都正确B. 甲正确、乙不正确C. 甲、乙的解法都不正确D. 甲不正确、乙正确（2）选择题：有理化分母：x yx y-+小聪和小明的解法如下：小聪的解法：原式=--+-()()()()x y x y x y x y=---=-()()x y x y x yx y小明的解法：原式=-+()()x y x y22=+-+=-()()x y x y x yx y对于小聪、小明的解法，正确的判断是（）A. 小聪、小明的解法都正确B. 小聪正确、小明不正确C. 小聪、小明的解法都不正确D. 小聪不正确、小明正确分析：在作二次根式的除法时，通常把除法写成分数的形式，所得的商应是分母中不含根号的式子．如果分母中含有根号，就要把分母中的根号化去．至于怎么“化去”分母中的根号，既可以采用根式的除法运算，也可以在分子、分母上同乘以分母的有理化因式，只要能使分母变成有理式（但分母的值不能为零！）解：（1）甲的解法是在分子、分母上同乘以分母()32+的有理化因式()32-，使分母变成了有理式1，所得的商是分母中不含根式的式子．所以，甲的解法正确．乙的解法是把分子1变成()32-后分解变形，变成()()3232+-，利用二次根式的除法运算（实际上是“约分”），也把分母变成了有理式1，所得的商也是分母中不含根式的式子，所以，乙的解法也正确．故选A ．（2）首先注意题目的隐含条件：由已知的算式可知，应该有x >0且y >0．但是，x y 、之间的大小关系，在已知算式中没有特别地表明，所以，x y 、之间的关系应该有：x y x y ≠=或．由此可见，小聪的解法不正确．错误的原因是：如果x y =，那么x y -=0，分子、分母就不能同乘以分母()x y +的有理化因式()x y -．小明的解法是正确的．因为他把分子x y -分解变形：由x y x y x y x y x y >>-=-=+-0022，，得()()()()，然后应用根式的除法运算使分母中的根号化去，符合分母有理化的标准，而且在这个过程中，保持分母不为零．所以，小明的解法正确．故选D ．点评：本题表现的是分母有理化的两种基本方法以及应该注意的地方．在作二次根式的除法时，特别是除式的两个根式的和的情形，如本例两个小题那样，为了化简或计算上避免作除数是近似小数的除法运算，要使所得的商是分母中不含根式的式子，就要化去分母中的根号（这个过程就是分母有理化），基本方法一是分子、分母同乘以分母的有理化因式，使分母变为有理式；二是通过分子的分解变形约去分母中的根号．这是代数中的基本功，一定要熟练掌握．当然，由于所给式子结构形式的其他特点，也可以采用其他的办法进行分母有理化．★化简求值例6. （1）（2002年某某省某某市中考题）当x =-21时，求x x x x x x x +-++⋅-++13114322的值．分析：先化简，再代入求值．解：x x x x x x x +-++⋅-++13114322 =+-++⋅+-++=+--+=+x x x x x x x x x x x x x 131111311111()()()()∴当x =-21时原式=-+==12111222（2）（2002年某某市中考题）填空题：已知x =+21，则代数式：x x x x x x x x -+--÷--++121221222的值等于______．解：原式=-+--⋅++--x x x x x x x x 121212222 =-+-+-⋅++-=-+-=+-x x x x x x x x x x x x x 1211112111112()()()()()∴当x =+21时原式=+++-=+=+211211212212()（3）（2001年某某省某某市中考题）已知a =+123，求a a a a a a a2226221--+--+-的值．分析：“目标”中有a a 221-+，化简时应由已知推知a -1的正负．解：由a =+=-<123231，得a -<10∴原式=+-+---()()()()a a a a a a 232112=----=-+--=+-a a a a a a a a a a31131113||()()a =-∴=-++-=23232331,原式点评：本题因化简()a -12需要将123+进行分母有理化，得到a =-<231，一方面解决了a -<10，从而()()a a -=--112，使原式顺利化简，另一方面又在最后求值计算a a +1时正好用上了，再注意到由已知即得123a=+，使计算合理、正确、迅速．这个题目设计巧妙，考查了有理式变形（因式分解、约分）和根式变形（化简()a -12、分母有理化），以及计算的灵活性、合理性，是一个多功能的好题．【综合测试】一. 选择题：1. （某某市）下列二次根式中，最简二次根式是（） A. 22xB. b 21+C. 4aD.1x2. （某某省）在下列式子中，正确的是（） A. -=-5533 B. -=-3606.. C. ()-=-13132D. 366=± 3. （市某某区）化简1231-的结果为（）A. 231+B. 231-C.23111- D. 23111+ 4. （某某市）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. 4aB. a 4C. a4 D. a 45. （某某市）化简132-的结果是（）A. 32-B. 32+C. --32D. -+326. （某某市）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. x2B. 8C. x 2D. x 21+7. （某某回族自治区）已知a =+132，b =-32，那么a 与b 的关系为（）A. a b =B. a b +=0C. ab =1D. ab =-18. （某某市）-a 3化简的结果为（）A. -a aB. a a -C. --a aD. a a 9. 在根式2823512xy ab xy x y ,,,,,+中，最简二次根式的个数是（） A. 2B. 3C. 4D. 510. （2001某某）能使等式xx xx -=-22成立的x 取值X 围是（）A. x ≠2B. x ≥0C. x >2D. x ≥2二. 填空题：1. （某某省）若x <5，则()x -=52_______．2. （某某市）若14<<x ，则化简()()x x -+-4122的结果是________．3. （某某市）计算⋅---+)3223(1313()3223+=_________．4. （某某市）已知x =-152，则x x -1的值等于_______． 5. （某某省）已知，实数a b ,在数轴上对应点的位置如图所示，化简：b b a --=()2_______．a 0 b6. （某某市）已知x ≤1，化简124422-+--+=x x x x _______．三. 当x 是何实数时，下列各式分别为二次根式？（1）21x +；（2）-52x ；（3）1-||x ；（4）x x 244-+四. 化简：1. ()()()x x x ---<<810810222. ()()x y x yx y ---<13. a ab ab b ab a b 2240+⋅+⋅<<()4. ()()m n mnm mn n n m 222220--+>>5. |()|||()x x x x --+-<22112五. 求代数式的值：1. （某某市）先化简，再求值：()1112+÷-x x x，其中x =22. （市东城区）已知a b =-=+152152,，求b a ab ++2的值． 3. （某某省）先化简，再求值：()()()2121212a a a +-+-，其中a =-512六. （某某市）化简352+，甲、乙两同学的解法如下：甲：3523525252+=-+-()()()=-52；乙：352525252+=+-+()()=-52对于他们的解法，正确的判断是（） A. 甲、乙的解法都正确B. 甲的解法正确，乙的解法不正确C. 乙的解法正确，甲的解法不正确D. 甲、乙的解法都不正确七. 把代数式()x y x y---1根号外的因式移到根号内，并化简．某同学这样解：原式=---=--=-()()x y x yx y y x 2问：他做得对吗？如果不对，就指出错误的原因，并写出正确的解法．八. 已知a b =51,是a 的小数部分，求a b21-的值．【综合测式答案】一. 1. B 2. A 3. D 4. C5. B6. D7. B8. C9. A10. C二. 1. 5-x 2. 33. 34-4. 45. a6. -1三.解：（1）要使21x +为二次根式，必须210x +≥，即x ≥-12∴当x ≥-12时，21x +为二次根式．（2）要使-52x 为二次根式，必须-≥502x ，即x 20≤，而x 2是非负的，得x =0．∴当x =0时，-52x 为二次根式．（3）要使1-||x 为二次根式，必须10-≥||x ，得||x ≤1，即-≤≤11x ．∴当-≤≤11x 时，1-||x 为二次根式．（4）要使x x 244-+为二次根式，必须04x 4x 2≥+-，而x x x 22442-+=-()，不论x 取何实数，()x -22是非负的，即()x -≥202．∴x 取任意实数时，x x 244-+都为二次根式．说明：通过本例我们应进一步明确a a ()≥0的意义．不是对任意的实数a a ,都有意义，只有当a 有意义时，它才叫做二次根式．四. 1. 原式=---=---=--+=-||||()x x x x x x x 810810810218 2. 原式=-----=--()()()x y x y x y y x3. 原式=++⋅=+=+()()()|()|a ab ab b ab a b a b ab a b 22222442=-+=--22222ab a b a b ab ()4. 原式=+--=-+()()(()m n m n n m)mn m n mn5. 原式=--+-=-++-=|()()|||x x x x x x 2212220五. 1. 原式=+⋅+-=-x x x x x x 11111()() 当x =2时，原式=-=+121212. a =-=+15252，b =+=-15252原式=+=++-+-==()()()()()a b ab 2225252525225120 3. 原式=++--4414122a a a ())1a 2(22a 41a 41a 4a 422+=+=+-++= 当a =-512时，原式52)115(2=+-=六. A七. 解：他做得不对．错误的原因是他没有考虑到原式成立的隐含条件是-->10x y，即x y -<0．因为把根号外的代数式移到根号内时，实际上是在逆用“等式链”a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()也就是说，应先考虑移到根号内的代数式的正、负，注意只能把正因式平方后移到根号内．正确的解法：由所给代数式知-->10x y，故x y -<0．∴原式=---()y x y x1=---=--()y x y x y x 2说明：如果你不能看出某同学解法的问题，就可以把具体的数代入算算看，例如取x y ==37,（思考：为什么不取x y ==73,呢？）那么，一方面，由题目的原式=---=-=-()371374142；另一方面，由这位同学解得的结果得原式=-=734=2．由此可见，这位同学做错了．八. 解：由495164<<，得7518<< ∴a 的小数部分b =-517 ∴-=--=-+-a b 2151215175125175149 272751251-=+-=。

2020年中考复习知识点梳理：第四课时二次根式

第四课时二次根式
知识梳理：
知识点一、二次根式的相关概念
1、式子_____________________叫做二次根式。

要点点拨：二次根式的相关概念
❶a既可以是数，也可以是式；
❷注意√a的双重非负性，即：a≥0;√a≥0。

2、最简二次根式：被开方数的因数是_______，因式是_______，被开方数中不含能开得尽方的__________的二次根式叫最简二次根式。

3、同类二次根式：化为最简二次根式之后，_____________相同的二次根式，叫做同类二次根式。

4、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

知识点二、二次根式的性质
（1）(√a)2=___________(a≥0)；
（2）√a2=________________；
（3）√ab=_______________(a≥0,b≥0)；
=_________________(a≥0,b>0)
（4）√a
b
知识点三、二次根式的运算
（1）二次根式的加减：将各二次根式化为_________________后，合并___________________。

（2）二次根式的乘法：_________________________
（3）二次根式的除法：_________________________
注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

九年级数学二次根式知识点

九年级数学二次根式知识点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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九年级数学二次根式复习总结知识点分析

二次根式复习总结★本章知识脉络★本章专题归纳专题一、有关二次根式的概念问题例1、ba,a b 应满足（） A 、0,0a b >> B 、,a b 同号 C 、0,0a b >≥ D 、0ba≥ 思维点击：b a 0ba≥，这里包含,a b 同号或0,0.a b ≠⎧⎨=⎩因A 、C 缺少,a b 同负的情况，所以是错误的，而在B 中缺分子0b =0有意义，也叫二次根式），所以也是错误的.答案：D.温馨提示：考虑问题要全面，不要漏解. 专题二、二次根式的性质的应用例2、若1a b -+()2008a b -=____________.思维点击：因为1a b -+即1a b -++0=，又1a b -+与都是非负数，所以由非负数性质可知10,240,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得2, 1.a b =-=-故()()()()200820082008211 1.a b -=---=-=⎡⎤⎣⎦答案：1.解后反思：利用绝对值与二次根式的非负性确定,a b 的值是解题关键所在. 例3、化简4412322x x x -+--()得（）。

A. 2B. -+44xC. -2D. 44x -思维点击：因为230x -≥，x x x ≥-=-3223232,()，所以21044121212x x x x x ->-+=-=-，|| 答案：A.温馨提示：本题主要应用二次根式的性质：（1）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()。

（2）()()a a a 20=≥。

正确应用二次根式的性质是解决本题的关键。

专题三、分母有理化例4、把下列各式化去分母中的根号（1）32 （2）7324- （3）245思维点击：解决这类题有两种解题思路：一是利用二次根式的除法法则把厨房变为商的算术平方根的形式，而后利用分式的基本性质把分母变为能开得尽方的形式，然后化简；另一个考虑办法是直接利用分式的基本性质，把分子、分母都直接乘以一个适当的二次根式，使分母中的二次根式变为一个二次根式的平方的形式，利用2a =的性质将分母中的根号化去.下面我们利用第二种解题思路进行化简.解：（1）23233363=⨯⨯=（2）211447737247324-=⨯⨯-=- （3）123066265625245=⨯⨯== 温馨提示：这种把分母中根号化去的方法，叫做分母有理化，分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质()20a a =≥，一般地，))20,0.a b aba b b ==≥>要注意在进行分母有理化时，应先把分子、分母中的二次根式化简，把能开得尽方的因式（数）都移到根号外，若分子、分母有公因式，也可以先约分，再分母有理化.例5、化简：12233-+ =___________思维点击：，可分子、分母都乘以2=，2可以提到根号外面.231-=--33.=-+=- 答案：3-.规律总结：分母是形如可使分母不带根号；分母是形如n b 的式子，构成平方差公式，也可使分母不带根号.专题四、二次根式的大小比较例6、不求方根的值，比较下列各组数的大小：（1）（2）-和-思维点击：对于二次根式，有下面的结论：若0,0a b >>，则a b >时，>比较两个二次根式的大小时，常通过比较它们的被开方数的大小来判定.解：（1）==，.∵128>126，∴>（2）===∵294252>，∴>，∴->-例7、.思维点击：本题两数均为正数，我们可以比较它们的平方的大小.解：∵221313=+=+又∵1313+<+，∴22<.0>0>，<点评：平方法比较数的大小的依据是：若0,0a b >>，当22a b >时，a b >；当22a b =时，a b =；当22a b <时，a b <.专题五、二次根式的运算二次根式的混合运算是根据实数运算律，注意先算乘方，后算乘除，最后算加减；如果有扩好就先算括号里面的.例8、（2007某某）下列计算错误．．的是( )==． (D)3=．思维点击：本题考查二次根式的运算。

初三数学二次根式

初三数学二次根式
初三数学中，关于二次根式的主要内容包括以下几个方面：
1. 二次根式的定义和性质：二次根式指的是含有根号的形式，如√2、3√5等。

这些式子可以进行简化、合并、化简，也可以进行加减乘除等运算。

2. 二次根式的化简：一般来说，我们希望将二次根式化简
为最简形式。

这需要运用一些技巧，如分解因数、用有理
化方法去除根号等。

3. 二次根式的运算：在进行加减乘除运算时，需要注意二
次根式的可加性和可乘性。

具体来说，需要注意同类项的
合并、乘方的运算等。

4. 二次根式的应用：二次根式在几何中有广泛的应用，例
如计算线段的长度、三角形的面积等。

在实际问题中，也
常常会涉及到二次根式的计算和应用。

初三数学中的二次根式内容相对简单，主要是为后续数学学习打下基础。

在高中阶段数学中，会进一步学习二次根式的性质和运算规律。

二次根式知识点

二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。

在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。

二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。

2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。

3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。

4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。

5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。

6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。

三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。

2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。

3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。

4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。

四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。

2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。

3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。

4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。

五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。

2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。

3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。

六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。

【教育资料】九年级数学二次根式知识点总结学习精品

九年级数学二次根式知识点总结除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了九年级数学二次根式知识点总结，希望对大家的学习有一定帮助。

知识点一：二次根式的概念形如a(a0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)，(x-1) (x1)等是二次根式，而(-2)，(-x2-7)等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。

知识点三：二次根式a(a0)的非负性a(a0)表示a的算术平方根，也就是说，a(a0)是一个非负数，即0(a0)。

注：因为二次根式a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a0)的算术平方根是非负数，即0(a0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若a+b=0，则a=0,b=0;若a+|b|=0，则a=0,b=0;若a+b2=0，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式(a) 的性质(a)2=a(a0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a0，则a=(a)2，如：2=(2)2，1/2=(1/2)2.知识点五：二次根式的性质a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即a2=|a|=a (a若a 是负数，则等于a的相反数-a,即a2=|a|=-a (a﹤0);2、a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义;3、化简a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。

初中数学二次根式知识点总结PPT

二次根式应用
面积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的面积时，如正方形、矩形、三角形等，可能会涉及到二次根式的计算。
体积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的体积时，如长方体、正方体、圆柱体等，也可能会涉及到二次根式的计算。
Part
05
拓展：复数和虚数单位i的引入
复数的定义和基本运算规则
易错难点剖析及应对策略
易错点一
忽视二次根式中被开方数的取值范围。应对策略：在解题时，要时刻注意被开方数的取值范围，
确保其非负。
易错点二
混淆二次根式的性质。应对策略：正确理解并区分二次根式的性质，如$sqrt{a^2}$和$(sqrt{a})^2$的区别。
易错点三
运算顺序出错。应对策略：遵循先乘除后加减的运算顺序，同时注意括号的使用。
运算规则与注意事项
加减运算
先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式。
乘除运算
根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算。
注意事项
在运算过程中，要保证被开方数是非负数，同时要注意运算顺序和符号问题。
Part
02
二次根式的化简与求值
化简方法与技巧
STEP 01
因式分解法
STEP 02
二次根式的性质
$sqrt{a^2} = |a|$，即正数的平方根是其本身，负数的平方根是其相反数，0的平方根是 0。
二次根式的运算法则
包括加法、减法、乘法和除法。其中，乘法法则为$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{ab}$（ $a geq 0, b geq 0$），除法法则为$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0, b > 0$）。

二次根式的概念复习课件(湘教版九年级全)

2-X≥0 X-2≥0 x ≤2
x≥2 ∴x=2, y=5
作业：
《作业精编》P1-2
a ≥0
( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说: 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (6) a 1 ,
2
(4) - m (m≤0),
(5) xy (x,y 异号)，
3
(7)
5
在实数范围内,负数没有平方根
?
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴ ⑶ ⑸ ⑺
1 2
，⑵ ，⑷
16
x 1
2
a 2a
2、求下列二次根式中字母x的取值范围： ⑴ ⑵ ⑶
2x 1
x
2
3
⑷
⑹
2x 2 x
.
x 1 x 1
⑸
2 x5
2 x 2 x
随堂练习3
1 已知有意义,那A(a, a
在二象限.
13 ？
3cm
2cm
b3
(b-3)cm2
半径r?
Scm2
？
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
13 、 b 3 、这样表示算术平方根的代数式都叫做二次根式。
像
（一）二次根式的概念
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式子. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0,
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
随堂练习4
1 下列式子 2 x 6 中字母x的 2x 取值范围是 __________ 3 x _0

中考数学总复习第4课时二次根式课件

5.已知 a,b 为两个连续的整数,且 a< 28<b,则 a+b=
.
答案:11
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命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
命题点 1 二次根式有意义的条件
【例 1】若使 ��+1有意义,则 x 的取值范围是
.
2-��
解析:x+1 与 2-x 都是二次根式的被开方数,都要大于等于零.由
第4课时二次根式
考点梳理自主测试
考点一二次根式
1.概念:形如 ��(�� ≥ 0)的式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件:要使二次根式 ��有意义,则 a≥0.
考点二二次根式的性质
1.( ��)2=a(a≥0). ��,�� ≥ 0,
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命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
命题点 3 最简二次根式、同类二次根式
【例 3】 (1)下列二次根式中,最简二次根式是( )
A. 2��2
B. ��2 + 1
C. 4��
D.
1 ��
(2)在下列二次根式中,与 ��是同类二次根式的是( )
(1)二次根式的乘法: �� · �� = ��(a≥0,b≥0).
(2)二次根式的除法:
��
=
��(a≥0,b>0).
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考点梳理自主测试
1.式子
2��+1有意义的
��-1
x
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初中数学二次根式基础知识点(共6篇)

初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。

1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。

单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。

2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。

3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

一个多项式有几项就叫做几项式。

2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。

湘教版二次根式知识点总结

第五章二次根式知识点知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：当a≧0时，有意义，2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，0（）。

注：这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）注：上面的公式也可以反过来应用：若，则.知识点五：二次根式的性质1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点 1、不同点：表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。

，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的性质和最简二次根式⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

知识点八：二次根式的乘法和除法二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）； b b a a=（b ≥0，a>0）． )0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；)0b ,0a (b a b a>≥=；知识点九：二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

九年级化学二次根式知识点

九年级化学二次根式知识点在九年级的化学学习中，二次根式是一个重要的知识点。

二次根式是指一个数的平方根，它的符号通常是√，下面我们来详细讨论一下二次根式的相关知识。

一、二次根式的定义二次根式是指具有以下形式的数：√a，其中a为非负实数。

根式中的√符号代表平方根，表示找到一个数的平方等于a。

例如，√4等于2，因为2的平方等于4。

二、二次根式的性质1. 二次根式的和差当两个二次根式相加或相减时，可以按照下面的规则进行运算：√a ± √b = √(a ± b)例如，√5 + √3 = √(5 + 3) = √8。

2. 二次根式的乘法当两个二次根式相乘时，可以按照下面的规则进行运算：√a * √b = √(a * b)例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。

3. 二次根式的化简化简二次根式是将其写成最简形式的过程，其中不存在二次根号。

化简的关键是寻找能被开方的完全平方数作为因子，用于和根号里面的数相乘。

例如：√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√34. 二次根式的有理化有理化二次根式就是将分母有根式的分数转化为分母不含根式的分数，常用的方法是乘以适当的形式为分母有理化的数。

例如：√(3/5) = √(3/5) * (√5/√5) = (√15)/5三、解二次方程在解二次方程的过程中，二次根式经常会出现。

二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数且a≠0。

解二次方程的关键步骤是使用根据二次根式的定义和性质来进行运算，首先通过移项将方程化为标准形式，然后使用求根公式得到方程的根。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中，b^2 - 4ac被称为判别式，根据判别式的值可以判断方程有几个不同的根或相同的根。

四、实际应用二次根式在实际生活和工作中有广泛的应用，例如在几何学中用于计算圆的直径、面积和周长；在物理学中用于计算物体的速度和加速度等。

初三数学知识点大全之二次根式讲解

初三数学知识点大全之二次根式讲解学好数学的关键就在于要适时过量地停止总结归类，接上去小编就为大家整理了这篇初三数学知识点大全之二次根式解说，希望可以对大家有所协助。

1.二次根式：普通地，式子叫做二次根式.留意：(1)假定这个条件不成立，那么不是二次根式; (2)是一个重要的非正数，即;0.2.重要公式：(1),(2)3.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;4.二次根式的乘法法那么：.5.二次根式比拟大小的方法：(1)应用近似值比大小;(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;(3)区分平方，然后比大小.6.商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7.二次根式的除法法那么：(1);(2);(3)分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8.最简二次根式：(1)满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式;(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母;(3)化简二次根式时，往往需求把被开方数先分解因数或分解因式;(4)二次根式计算的最后结果必需化为最简二次根式.10.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相反，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12.二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用;(2)二次根式的运算普通要先把二次根式停止适当化简，例如：化为同类二次根式才干兼并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;运用乘法公式等.初三数学知识点大全之二次根式解说就为大家引见到这里了，希望大家都能养成擅长总结的好习气。