十字相乘法教案

十字相乘法进行因式分解

【基础知识精讲】

（1）理解二次三项式的意义；

（2）理解十字相乘法的根据；

（3）能用十字相乘法分解二次三项式；

（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．

【重点难点解析】

1．二次三项式

22称为二次项，bx为一次项，多项式c，称为字母x的二次三项式，其中axaxc?bx?22都是关于x的二次三项式．为常数项．例如，和6?5xx?2x?3?x22y8xyx??6中，如果把y看作常数，就是关于x在多项式的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

222?7(ab)?32(ab)，就是关于ab看作一个整体，即在多项式的中，把

ab3??72aabb2?7(x?yy(x?))?12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋二次三项式．同样，多项式y的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．

2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：

2?pxx?q，如果能把常数项q分解成两个因数的二次三项式a，（1）对于二次项系数为12?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)x为一次项系数bp，那么它就可以运用公式b的积，并且a＋分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，

也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次

项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的

因数的符号与一次项系数的符号相

同．

2?bx?axc(a，b，c都是整数且a≠（2）对于二次项系数不是1的二次三项式0)来说，如??c?cac?ac?ca,a,,caa?acb，，果存在四个整数，且，使

11222121221122?(ac?ac)x?cc?(ax?c)(axa?ax?c)c?ax?bx它的特征是“拆两头，那么212221212111凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使

符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，

然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真

地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字

225x?6xy?8y?(x?2)(5x?4)母．如：（使交叉相乘再相加后的和等于一次项系数，在横向写出积的形式。）

3．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

1)将常数项分解成两个因数积的形式。

2)确定和为一次项系数的两个因数。

3)把这个多项式写成积形式。

例1 把下列各式分解因式：

222y?6?5xyx．；（2（1））15xx??2点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；

2y6可分为(－2y)(－3y）将2y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项)，而(－2y)（＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．

2?2x?15?(x?x3)(x?5)；1解：（）22?(x?2y)(?6yx?3yx)?5xy．2）（例2 把下列各式分解因式：

22?8x?35x?332xx?．）（1）；（22(ax?c)(ax?c)aa?ac??bxax，的形式，这里我们要把多项式分解成形如点悟：222111cc?cac?ac?b．而1121222?5x?3?(2x2x?1)(x?3)；）1（解：2．（2）)?3x?1)(x3x8?x?3?(3点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例3 把下列各式分解因式：

42；）（19??10xx32；）（2)yx?2(?5(x?y)x7(?y)?222?8aa)??8a)120?22(a(．（3 ）22的二次三项式；看作一整体，从而转化为关于（1）把点悟：xx（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；

22?8aa)a8?a)((的二次三项式．3）以为整体，转化为关于（4222?9x)(x)(x??10x1?9?）解：（1＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．

32?2(x?y)?5(x?y))7(x?y）2（＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]

＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．

222?8aa)?a?8)120?22(a(）3（点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．

22?2x?24)?)((x2?x?3x90．例4 分解因式：2?2xx看作一个变量，利用换元法解之．点

悟：把2?2xx?y，则设解：

原式＝(y－3)(y－24)＋90

＝(y－18)(y－9)

22．)?x9?2x?(x?2x?18)(2视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效点拨：本题中将x?x22一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．果．此外，)?9?18)(yyy?27?162?(y432．例5 分解因式6?xxx??5x5?386点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．

1122原式解：]?38(x??))?5?x[6(x2xx1122，]50?))??5(x?x?[6(x xx1，则令y??x

x22?5y?x50(6y)?原式．)?1?3)(3xx(x?2)(2?1)(x?点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花了乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．

22?5x?5y?x6?2xy?y．例6 分解因式点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式．

方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．

22?5x?5xy?yy?x6?2解法1：．)?6)(x?y??(x?y122?5x?5y?2xy?y?x62解法：

＝(x－y－6)(x－y＋1)．

．)b－a(ab＋)c－b(bc＋)a－c(ca分解因式：7 例

点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．

解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)

＝(a－b)(c－a)(c－b)．

点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a －b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解．422，求a已知值和这个多项式的其他因式．有一个因式是例8 4?x12?x??xxax?6422，根据多项式的乘法原点悟：因为是四次多项式，有一个因式是4axx?6x??x?12x?2（a、b是待是定常数），故有则可知道另一个因式3x??bx?2224?bx?3?4))((xx?ax．根据此恒等关系式，可求出a，b的值．??6?xxx?122，则解：设另一个多项式为

3bxx??432?(3a?4b)?4?ab)xx??x)?(a?bx12?(3，

43224?(3a?4b)x?xb)ab?(3?4?)x12xa?(?12?xx6?x?是同一个多项式，所以其与∵

对应项系数分别相等．即有

1，＝＝－1，b由①、③解得，a 代入②，等式成立．2．＝－1，另一个因式为∴a3?xx?点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．

【易错例题分析】

222y?10?23a5abyb．例9 分解因式：

，5×1＝5，2)－(×5＝10－∵错解：

5×5＋1×(－2)＝23，

∴原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)．

警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．

，．23＝2)－2)－(×1＋5×5(510515 正解：∵＝×，－＝×．)y2－ab)(5y5＋ab(原