数学物理方法：第八章-分离变量法-4

柱坐标系中拉普拉斯方程的一般解为

(,,)()()()

m m n n m u r z R r Z z ϕϕ∞

==Φ∑∑其中对于不同的边界条件函数)的形式不样其中对于不同的边界条件，函数R m (r )Z n (z ) 的形式不一样。结论：

(1) 如果柱的侧面上是齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ，而且径向函数所遵从的方程为贝塞尔方程；

（2）如果两端为齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ = -ν 2，而且径向函数所遵从的方程为虚宗量贝塞尔方程。

因此，在求解柱坐标系中的拉普拉斯方程时，首先要分辨清楚是柱侧面为齐次边界条件，还是两端为齐次边界条件，以便确定本征值问题。

思考μ = 0????

方程的一般解：

()(,,,)()()()

m m n nj u r z t R r Z z T t ϕϕ∞

∞

=Φ∑∑∑10n

j m ==可见：对于波动方程在柱坐标系中的定解问题，存在三个本征值，即λ , ν 2，及μ= k 2-ν 2，它们分别由周期性条件，圆柱两端的齐次边界条件和圆柱侧面的齐次边界条件来确定。

对于输运方程，也可以得到类似的解：

()2210

(,,,)()()n

k a t m m n n

j m u r z t R r Z z e

ϕϕ∞

∞

-===Φ∑∑∑