D3.1-3.2一维波动与热传导定解问题分离变量法

第三章 分离变量法
分离变量法是求解各种各样偏微分方程定解问题的典 分离变量法是求解各种各样偏微分方程定解问题的典 型方法之一。包括各类典型方程的初值、 型方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题 要求熟练掌握。 。要求熟练掌握。 初值问题(柯西问题 ：无边界条件的定解问题。 初值问题 柯西问题)：无边界条件的定解问题。 柯西问题 边值问题：无初值条件的定解问题。 边值问题：无初值条件的定解问题。
3
分离变量法的基本思想
将未知的多元函数假设为若干一元函 数之积， 数之积，把偏微分方程转化为求解常微分 方程（直接求特解的方法）。 方程（直接求特解的方法）。
4
(一)、波动方程定解问题的分离变量法 一、
齐次弦振动方程的混合问题求解
utt = a 2uxx , 0 < x < L, t > 0 L(1) u x=0 = 0, u x= L = 0L⋅⋅L⋅L⋅ (2) u t =0 = ϕ x , ut t =0 =ψ x L⋅⋅(3)
问题回顾： 问题回顾： 1、分离变量法的物理背景是什么？ 、分离变量法的物理背景是什么？ 2、分离变量法的使用条件是什么？ 、分离变量法的使用条件是什么？ 3、什么是分离变量法的固有值问题？ 、什么是分离变量法的固有值问题？ 4、小结分离变量法的步骤。 、小结分离变量法的步骤。
14
利用分离变量法求定解的步骤
∞
u t ( x , 0) = ψ ( x ) =
∑
∞
n =1
nπ a nπ x I Dn sin = δ ( x − x0 ) ρ l l
C n = 0 nπ x 0 2I D n = nπ a ρ sin l
定解问题的解为： 定解问题的解为：
nπ x0 2I ∞ 1 nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ n sin l sin l sin l πρ a n =1
(
)
( )
( )
分析： 分析： (1) 定解问题特点：方程是二阶线性齐次方程，所 定解问题特点：方程是二阶线性齐次方程， 以各特解的和也是方程的解。 以各特解的和也是方程的解。如果能够找到足够多的特 可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！ 解，可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！
5
(2) 物理模型：乐器发出的声音可以分解为若干 物理模型： 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为： 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为：
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例 2 两 端 固 定 的 弦 长 为 l ， 用 细 棒 敲 击 弦 上 x=x0 点处， 施加冲量，设其冲量为I 点处，亦即在点 x=x0 施加冲量，设其冲量为 。求 解弦的振动。 解弦的振动。 定解问题为： 解:定解问题为： 定解问题为
u tt = a 2 u xx , ( 0 < x < l , t > 0 ) u x = 0 = 0, u x = l = 0 u t = 0 = 0, u t t = 0 = I δ ( x − x 0 ) , ( 0 < x < l ) ρ
由分离变量法得定解问题的一般解为： 由分离变量法得定解问题的一般解为：
nπ at nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ (Cn cos + Dn sin ) sin l l l n =1
∞
21
由初始条件得： 由初始条件得：
nπ x u ( x , 0) = ϕ ( x ) = ∑ C n sin −=0 l n =1
混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。 混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。
1
本章主要内容
1、一维波动与热传导定解问题分离变量法 、 2、高维定解问题分离变量求解 、 3、非齐次定解问题的求解 、 学时： 学时 学时：8学时
2
本次课主要内容
一维波动与热传导定解问题分离变量法 (一)、波动方程定解问题的分离变量法 一、 (二)、热传导方程定解问题的分离变量法 二、
u ( x , t ) = T (t ) X ( x )L ( 4 )
代入(1)与 得 把(4)代入 与(2)得： 代入
T ′′ X ′′L⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5) 2 = X a T X (0) = 0, X ( L) = 0L(6)
注：如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条 能够得到(5)与 吗 件，能够得到 与(6)吗？ 答：不能！ 不能！ 所以定解问题要求是齐次方程与齐次边界条件， 所以定解问题要求是齐次方程与齐次边界条件， 否则，要作齐次化处理！见例3 否则，要作齐次化处理！见例
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例3 求解如下定解问题
4 8 u tt = 9 u xx − 9 (0 < x < π , t > 0 ) u x = 0 = 0, u x = π = 0 u t = 0 = sin 3 x + x 2 , u t t = 0 = 0
分析：方程不是齐次形式，要作齐次化处理！ 分析：方程不是齐次形式，要作齐次化处理！ 令：
2
求解得： 求解得： W ( x) = 原问题变为： 原问题变为：
x2
4 V tt = 9 V xx (0 < x < π , t > 0 ) V x = 0 = 0, V x = π = 0 V t = 0 = sin 3 x , V t t = 0 = 0
解: 1、分离变量 、
u ( x , t ) = T (t ) X ( x )
X ′′ + λX = 0 ′′ + λa 2T = 0 T
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2、求解固有值问题 、
X ′′ + λ X = 0 X (0) = 0, X ′( L) = 0
(1) 当
λ<0
−λ x
时
X ( x ) = Ae
A = 0, B sin
λL = 0
10
nπ sin λ L = 0 ⇒ λn = 2 L (n = 1, 2,3L) L
2 2
nπ x ⇒ X n ( x) = Bn sin L (10) L
的某些值， (8),(9)的非平凡解存 注：对于参数λ的某些值，问题(8),(9)的非平凡解存 对于参数 的某些值 问题(8),(9) 称这种λ值为固有值(本征值) 值为固有值 在，称这种 值为固有值(本征值)；同时称相应的非平 凡解X( ) 固有函数(本征函数) 求解固有值 固有值和 凡解 (x)为固有函数(本征函数)；求解固有值和固有 函数的问题称为固有值问题(本征值问题) 的问题称为固有值问题 函数的问题称为固有值问题(本征值问题)。 分离变量的核心问题是固有值问题(本征值问题)！ 分离变量的核心问题是固有值问题(本征值问题) 核心问题是固有值问题
u( x, t ) = c(t )sin λ x
因此， 因此，自然就会想到上面齐次方程的特解形式 可能为： 可能为：
u(x, t) = T (t) X ( x)
该等式的特征是把待求的多元函数分解为 一元函数乘积的形式。 一元函数乘积的形式。
6
设方程(1)具有可以分离变量的解 设方程 具有可以分离变量的解 :
2
L ( n = 0 , 1, 2 , 3 L )
固有函数为： 固有函数为：
(2n + 1)π x X n ( x) = Cn sin L (n = 0,1, 2L) 2L
3、求解如下微分方程 、
′′ + λn a 2T = 0L (n = 0,1, 2L) T
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(2n + 1)π at (2n + 1)π at Tn (t ) = An cos + Bn sin 2L 2L
nπ x u ( x, 0) = φ ( x) = ∑ Cn sin L n =1
∞
nπ a sin nπ x ut ( x,0) =ψ ( x) = ∑ Dn L L n=1
13
∞
[0,L]上按奇式傅里叶展开得： 将 ϕ ( x ),ψ ( x ) 在[0, ]上按奇式傅里叶展开得：
2 L nπ ξ C n = L ∫ 0 ϕ (ξ ) s in L d ξ L 2 nπ ξ D = n ∫ 0 ψ (ξ ) L d ξ nπ L
nπ at nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ Cn cos + Dn sin L (14) sin L L L n =1
∞
欲使(13) 满足方程和边界条件和初始条件。只需 欲使(13) 满足方程和边界条件和初始条件。 (14)代入初始条件 求出C 代入初始条件， 即可！ 把(14)代入初始条件，求出 n,Dn即可！
u ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x )
代入原方程得： 代入原方程得：
4 8 Vtt = (Vxx + W ′′) − 9 9
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欲使关于V(x,t)的定解问题可分离变量，W(x)要满足： 的定解问题可分离变量， 要满足： 欲使关于 的定解问题可分离变量 要满足
4 8 W ′′ − = 0 9 9 W (0) = 0, W (π ) = π
1、分离变量 、 2、求解固有值问题 、 3、求解其它常微分方程对应于固有值的解 、 4、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。 、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。
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例1 求下面定解问题
utt = a 2u xx , ( 0 < x < L, t > 0 ) u x =0 = 0, u x x = L = 0 u t =0 = ϕ ( x ) , ut t =0 = ψ ( x )
得：
+ Be −
−λ x
X ( x) ≡ 0
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(2) 当 λ
=0
时
X = Ax + B
(3) 当
A= B=0
时
λ >0
X (x) = Acos λ x + Bsin λ x
由条件得： 由条件得：
A = 0, B λ cos λ L = 0
18
所以，固有值为： 所以，固有值为：
λn
( 2 n + 1) 2 π = 2 4L
u n ( x , t ) = T n (t ) X n ( x )
nπ a t nπ a t nπ x = (C n c o s + D n sin ) sin L (1 3) L L L
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(13)是满足方程和边界条件的特解，但不满足初始 (13)是满足方程和边界条件的特解， 的特解 条件。由于方程与边界条件是线性的，因此， 条件。由于方程与边界条件是线性的，因此，由叠 加原理2 下面表达式仍然满足方程和边界条件 方程和边界条件。 加原理2，下面表达式仍然满足方程和边界条件。
8
(1) 当
λ<0
时
−λ x
X ( x ) = Ae
X ( L) = Ae
从而
+ Be −
−λ x
X ( 0) = A ⋅ 1 + B ⋅ 1 = 0
−λ L
+ Be −
−λ L
=0
X ( x) ≡ 0
9
(2) 当 λ
=0
时
X = Ax + B
(3) 当
⇒ A=B=0
时
λ >0
X (x) = Acos λ x + Bsin λ x
4、一般解为： 、一般解为：
(2n+1)πat (2n+1)πat (2n+1)πx u( x,t) = ∑ An cos + Bn sin sin 2L 2L 2L n=0
∞
2 L ( 2 n + 1)π ξ dξ A n = L ∫ 0 ϕ (ξ ) s i n 2L L 4 ( 2 n + 1)π ξ Bn = dξ ∫ 0 ψ (ξ ) s i n ( 2 n + 1)π a 2L
11
由(7)还可得： (7)还可得： 还可得
T ′′ + λ a T = 0L (11)
2
该方程对应于固有值λ 的通解为： 该方程对应于固有值 n的通解为：
nπ at nπ at Tn (t ) = Cn cos + Dn sin L (12) L L
把(10)、(12)代入(4)得： (10)、(12ຫໍສະໝຸດ Baidu代入(4)得 代入(4)
7
欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是， 欲使 成立，等式两端必须为常数。于是，令： 成立
T ′′ X ′′ = = −λ L(7) 2 aT X
考虑如下方程： 考虑如下方程：
X ′′ + λ X = 0L(8) X (0) = 0, X ( L) = 0L (9)
下面讨论该方程的解